MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2 2
⎡⎛ ra
⎞ ⎤ ⎡⎛ ra
⎞ ⎤
⎢ 1⎥ pb
⎢ 1⎥
⎜ ⎟ − δ ⎜ ⎟ + δpb
⎢⎝ r ⎠ ⎥ ⎢⎝ r ⎠ ⎥
δσ
r
=
⎣ ⎦
, δσ , p p
2 ϑ
=
⎣ ⎦
δ =δ
2
b
.
⎛ r ⎞ ⎛
a
r ⎞
a
⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ −1
⎝ ri
⎠ ⎝ ri
⎠
Figyelembe véve, hogy dV = 2 rπh dr és Ae
= 2ri
πh
, majd minden egyes tagot
behelyettesítve a virtuális erők tételébe, eredményül kapjuk az alábbi egyenletet:
2
1 r ⎡
⎛
i
r ⎞ ⎤
a
− ⎢(1 − ν ) + (1 + ν) p 0
2
⎜ ⎟ ⎥
b
δ pb + uδ pb
= .
E ⎛ r ⎞ ⎢
r
a
i ⎥
1 ⎣
⎝ ⎠ ⎦
⎜ ⎟ −
⎝ ri
⎠
Elosztva δpb
-vel kifejezhetjük a keresett belső nyomást az előírt elmozdulás
függvényében:
⎛ r ⎞
a
⎜ ⎟ − 1
ri
E
pb
=
⎝ ⎠
2
ri
⎛ r ⎞
a
1 − ν + (1 + ν)
⎜ ⎟
⎝ ri
⎠
Az idegen munkák tétele
2
Vizsgáljunk meg két különböző, nem összetartozó („idegen”) valódi erőrendszert, kis
elmozdulásokkal és alakváltozásokkal, valamint lineárisan rugalmas anyagi viselkedéssel.
Az egyes munkák számításánál most koncentrált dinámok hatását is figyelembe vesszük.
Az első rendszer elemeit „egyes”, a másikét „kettes” indexszel jelöljük.
-1
f , g , q ⇒ σ ⇒ ε = D ⋅ σ ⇒ u , , (8.18)
f
1 1 1 1 1
1 1
e1
-1
2
g
2,
q
2
⇒ σ
2
⇒ ε
2
= D ⋅ σ
2
⇒ u
2
, e2
, . (8.19)
Számítsuk ki először az „első” halmaz általánosított erőinek a „második” halmaz
általánosított elmozdulás rendszerén végzett idegen munkáját, majd ugyanezt végezzük el
fordítva: a „második” rendszer adja az általánosított erőket, az „első” pedig az általánosított
elmozdulásokat:
W1 2, K
= f1 ⋅ e2
+ q1
⋅ u
2
dA+
g1
⋅u
2
dV , W12,
B
= − σ1
⋅ ε
2
dV , (8.20)
∫
A
∫
∫
V
∫
W21 , K
= f2 ⋅e1
+ q
2
⋅ u1
dA+
g
2
⋅u1
dV , W21,
B
=− σ
2
⋅ ε1
dV . (8.21)
A
V
A virtuális elmozdulások tételét mindkét esetben figyelembe véve:
W W = , W + W 0 . (8.22)
Írjuk fel most részletesen
12 , K
+
12, B
0
21, K 21,
B
=
W 12 , B
értékét:
-1
-1
∫ σ
1
⋅ ε
2
dV = −∫ ε
2
⋅ σ1
dV = − ∫ ( D ⋅ σ
2
) ⋅ σ
1
dV = − ∫ σ
2
⋅ D ⋅ σ dV =
W12
, B
= −
1
10.06.20. 127
u .
V V V V
= −∫ σ
2
⋅ ε 1
dV = W21
, B
(8.23)
V
Ebből az egyenletből és az előző munkatételekből újabb kapcsolati összefüggést írhatunk fel:
W
12 , K
= W21
, K
(8.24)
∫
∫