Dipartimento di Statistica, Probabilità e Statistiche ... - Sapienza

Nel seguito tratteremo modelli multivariati e successivamente si introdurrà
l'estensione multirisposta.
Esistono due diversi approcci allo studio della regressione non parametrica
multivariata. Il primo considera la possibilità di estendere il dominio degli stimatori ad
uno spazio RP, dove p è ilnumero di variabili esplicative, mentre il secondo, assumendo
l'additività degli .effetti, introduce gli stimatori univariati all'interno di una struttura
additiva.
2.2.5.1. Estensioni multivariate degli stimatorispUne
Supponiamo di avere p variabili esplicative Xh...,X p e di voler studiare le relazioni
con la variabile risposta Y. Avendo n osservazioni, consideriamo il seguente modello
Yi =f(Xli,· ..,Xpi) + Ei
con
E(Ei) = O E(E?) =0 2 ,
E(Ei Ej) = O i:;f=j i,j=l,...,n
per il quale occorre stimare la funzione f su R p. Noi ci limiteremo a considerare
estensioni multivariate dei soli stimatori smoothing spline e regression spline. Precisiamo
sin dall'inizio che, benchè la trattazione teorica consideri il caso generale di p variabili, i
notevoli problemi computazionali legati agli siimatori spline multivariati, rendono in
pratica poco utilizzabili gli stimatori con p>2.
Thin P1Qte Smoothing Spline
Consideriamo la seguente estensione multivariata della funzione dei nuruml
quadrati penalizzata già descritta nel caso univariato (par 2.2.1).
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