Dipartimento di Statistica, Probabilità e Statistiche ... - Sapienza

Seguendo un approccio più vicino alla RRR di Davies,Tso (1982), piuttosto che
alla PCAIV di Ecoufier (1987), si propone una diversa versione del metodo di Durand
che ammette una soluzione diretta e non iterativa e nella quale non sono considerate
esplicitamente le metriche, tale versione è stata denominata spline-RDA.
Consideriamo ilmodello additivo multirisposta
Y = ±Sj(Xj)Bj +E
j=l
dove Sj (n,dj) j=I,...,p sono p le ba.si spline di ordine e nodi fissati a pnon e Bj (dj>m)
per j=I,...,p le matrici dei coefficienti. Scritto in forma più compatta
Y=S(X)B+E
p
dove S(X) = {St(Xl),S2(X2),""Sp(xp)} è la matrice di ordine (n, Ldj) contenente le basi
j=l
di spline di ordine e nodi fissati e
p
B(L dj ,m)
j=l
è la matrice dei coefficienti
B = (Bl,B 2 ,...,Bp)'.
La stima del modello si ottiene attraverso la minimizzazione della seguente funzione
obiettivo
min Ily - SBI1 2
Poniamo inoltre il vincolo di riduzione di rango su B, rango (B) ::; r ,owero
B=FG'
con F(s,r) e G(m,r)
La soluzione si ricava calcolando la stima dei minimi quadrati per B non vincolata,
utilizzando lo stimatore regression spline (Eubank, 1988)
:B = (S' S)-lS'y
ed effettuando poi la SVD della matrice dei valori stimati
1\ 1\
Y =SB =UAV'
La stima di rango ridotto, secondo la procedura della RRR, sarà
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