Dipartimento di Statistica, Probabilità e Statistiche ... - Sapienza

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successivi paragrafi vedremo come questa idea può essere attuata utilizzando gli strumenti propri dell'analisi d,ei dati. 2.3.1 Spline-PCAIV e spline-RDA Per studiare le relazioni non lineari e simmetriche tra i due insiemi di variabili e per attuare l'idea di riduzione del modello (2.9), prima esposta, ci sembra naturale cercare un metodo non lineare di RDA seguendo l'impostazione della regressione non parametrica. Durand (199j) ha proposto un metodo di analisi canonica in cui le variabili predittive sono trasformate attraverso spline dei· minimi quadrati, denominandolo spline PCAIV (principal Component Analysis with respect to Instrumental Variables), con riferimento all'omonimo metodo lineare proposto da Escoufier (1987). Data la tema (Y, Q, D), dove Q e D sono le metriche esplicitamente definite rispettivamente per lo spazio delle unità e per lo spazio delle variabili, e l'insieme delle variabili esplicative X, si cerca la trasformata T di X e la metrica R tale che la distanza tra gli operatori caratteristici di rappresentazione degli oggetti sia minima owero: min IIYQY'D - TRT'DI1 2 T,R essendo T = {tj}j=l,...,p con. tj = S/l)1bj e Sj (n,dj) basi spline di ordine e nodi fissati a pnon e d j = (ordine dellaj-esima spline)+(numero di nodi dellaj-esima spline). Tale problema di minimo non ha una soluzione esplicita. Una soluzione approssimata si ottiene adottando una procedura iterativa che calcola in modo alternato la metrica R, dati i coefficienti b j G=I, ..,p), secondo l'espressione R(bh...,b p ) ,;., (T'DT) T'DYQY'DT(T'DT) 33
dove () indica l'inversa generalizzata, e i coefficienti bj (j=l,..,p), data R, in base al metodo del gradiente; la direzione di discesa ed il passo sono calcolati con il metodo quasi-Newton oppure con il metodo IIsteepest descent ll (Durand, 1993). Una volta determinati R e T si applica l' ACP alla tema (T,R,D) o equivalentemente alla 1\. . tema (Y,Q,D) dove 1\ _ Y = T(T'DT) T'DY ovvero la proiezione D-ortogonale di Y nel sottospazio di Rn generato dalle colonne di T. Il modello di ricostruzione dei dati, considerando r componenti, è: A Y == (Y)r= T(T'DT)· T'DY VrVr' =TMN' dove Vr è la matrice di ordine (m,r) costituita dai primi r autovettori associati alla A matrice Y, M e N sono·le matrici dei coefficienti canonici - M = (T'DT) T'DY V r N=V r In termini estesi (Yk)r= t(±tjmjSJnks s=1 j=1 (2.10) si ha che le trasformate spline ty ottenute utilizzando lo stimatore regression spline, sono comuni a tutte le variabili Y k per k=l,...,m. Consideriamo, ad esempio, il caso di r=2 1\ p P (Ykh = L tjmjlnlk + L tjmj2n2k j=l j=l si hanno due combinazioni lineari delle variabili trasformate tj per ciascuna variabile Yk e esplicitando i coefficienti delle trasformate spline si ha Cercando un'analogia con il modello della RDA, potremmo dire che mjl e mj2 sono i coefficienti canonici e Sjbjmjh Sjbjmj2 sono le variabili canoniche. 34
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