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www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 – 1. Numeri Divisione La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Dato che nell'insieme dei numeri razionali esiste sempre l'inverso di una frazione rispetto alla moltiplicazione, esclusa la frazione zero, si può sempre eseguire la divisione di due qualsiasi frazioni: Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione per l'inverso della seconda frazione. Esempi 2 3 : 7 4 il reciproco di 7 4 è 4 7 pertanto − 2 3 : −3 4 il reciproco di −3 4 è −4 3 2 3 : 7 4 = 2 3 ⋅4 7 = 8 21 . pertanto − 2 3 : −3 4 = −2 3 ⋅ −4 3 =8 9 . 2 : 0 il reciproco di 0 non esiste quindi la divisione non è eseguibile. 3 0 : 2 2 il reciproco di 3 3 è 3 pertanto 0 : 2 2 3 = 0⋅3 2 = 0 234 Calcola i seguenti quozienti fra frazioni 3 a) 2 : 4 − 6 3 5 3 : −2 3 2 : −3 2 2 5 : 5 8 6 : −5 235 Calcola i seguenti quozienti fra numeri razionali. a) −1, 1 : 18 1 2% : 5% 5 2 : 0,5 −3 : 1,4 : −120 % 4 236 Completa la seguente tabella a − 2 3 3 4 −1 0 −1, 6 −5 −0,21 b 7 3 − 5 8 2 5 15% 2,3 17 3 3 5 a : b b : a 237 Calcola a mente a) 0,30⋅0,40= 0,5⋅0,2= 0,4⋅3= 0,5⋅20= b) 0,5:0,1= 0,1⋅0,1= 0,1:0,1= 0,1⋅0,010= 54
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 – 1. Numeri Potenza di una frazione Come per ogni numero, anche per le frazioni, la potenza di una frazione non è altro che un prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quanto è il valore dell'esponente, pertanto si trova elevando il numeratore e il denominatore della frazione all'esponente della potenza. Esempi 3 3 −2 = − 8 27 − 2 3 3 = − 8 3 2 3 −2 = 4 9 Potenza con esponente uguale a 0 La definizione di potenza si estende anche al caso in cui l'esponente è zero. Dividendo due potenze con la stessa base e con lo stesso esponente, si ha: a n : a n = 1 infatti dividendo due numeri uguali si ha 1. D'altra parte, applicando le proprietà delle potenze a n : a n = a 0 . Possiamo allora concludere che per ogni frazione o numero razionale a diverso da zero a 0 =1 . Non è invece possibile la potenza 0 0 . Potenza con esponente un numero intero negativo La definizione di potenza si può estendere anche al caso in cui l'esponente sia uguale a un numero intero negativo: a −n =a 0 : a n = 1 : a n = 1 a n = 1n a n = 1 a Si può definire allora per ogni numero razionale diverso da zero n . a −n = 1 n a La potenza di un numero diverso da zero elevato a un esponente intero negativo è uguale a una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente l'opposto dell'esponente. Non è definita invece la potenza con esponente negativo di 0 , il numero 0 infatti non ha il reciproco. Pertanto, 0 −n è una scrittura priva di significato. 238 Calcola il valore delle seguenti potenze 2 a) 3 −2 −2 b) 3 −2 2 a) 2 −3 3 2 −1 2 −1 − 3 2 2 − 3 −2 2 1 3 2 −1 0 5 −3 − 5 6 . 1 5 −3 −3 −1 −2 1 −3 −4 10 239 Indica quali proprietà delle potenze sono state applicate nelle seguenti uguaglianze 3 5 2 3 −1 ⋅ 2 −3 = 2 −3 =− 35 2 2 −3 : −3 = 5 2 −3 =− 2 2 3 2 b) 2 −3 3 6 = 2 −3 = 36 2 6 240 Completa la seguente tabella. 5 2 : 2 25 2 10 = 5 2 2 : 5 2 a n = b a b ⋅ a b ⋅ a b ⋯⋅ a b = 5 2 5 ⋅ 2 2 =1 2 n a a 2 a −2 −a 2 −a 3 a −1 a 0 a 3 = an b n − 2 3 -0,1 −1, 6 3 10 241 Calcola a mente a) 3,4⋅10 2 = 0,34⋅10 4 = 0,34:10 3 = 3,04⋅10= b) 3,4:10 2 = 34,4:10 2 = 34,10⋅10 3 = 0,34:10 2 = 242 Calcola le seguenti potenze prestando particolare attenzione ai segni a) −−2 2 [−−1 2 ] 3 −−2 −4 −[−−1 −1 ] −2 b) 2 −1 3 −2 2 −2 3 −1 2 −2 −3 −1 2 −2 3 −1 −1 3 ⋅ 2−2 −5 −1 2 −2 5 2 R. 22 11 ;− 1 7 ;− 1 505 55
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