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www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 – 1. Numeri
Potenza di una frazione
Come per ogni numero, anche per le frazioni, la potenza di una frazione non è
altro che un prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quanto è il
valore dell'esponente, pertanto si trova elevando il numeratore e il
denominatore della frazione all'esponente della potenza.
Esempi
3
3
−2 = − 8
27
− 2 3
3
= − 8 3
2
3
−2 = 4 9
Potenza con esponente uguale a 0
La definizione di potenza si estende anche al caso in cui l'esponente è zero. Dividendo due potenze con la
stessa base e con lo stesso esponente, si ha: a n : a n = 1 infatti dividendo due numeri uguali si ha 1.
D'altra parte, applicando le proprietà delle potenze a n : a n = a 0 . Possiamo allora concludere che per ogni
frazione o numero razionale a diverso da zero a 0 =1 .
Non è invece possibile la potenza 0 0 .
Potenza con esponente un numero intero negativo
La definizione di potenza si può estendere anche al caso in cui l'esponente sia uguale a un numero intero
negativo:
a −n =a 0 : a n = 1 : a n = 1 a n = 1n
a n = 1 a
Si può definire allora per ogni numero razionale diverso da zero
n
.
a −n =
1 n
a
La potenza di un numero diverso da zero elevato a un esponente intero negativo è uguale a una potenza che
ha per base il reciproco della base e per esponente l'opposto dell'esponente.
Non è definita invece la potenza con esponente negativo di 0 , il numero 0 infatti non ha il reciproco.
Pertanto, 0 −n è una scrittura priva di significato.
238 Calcola il valore delle seguenti potenze
2
a)
3
−2
−2
b)
3
−2
2
a)
2
−3
3
2
−1
2
−1
− 3 2
2
− 3 −2
2
1 3
2
−1
0
5
−3
− 5 6
.
1
5
−3
−3
−1
−2
1
−3
−4
10
239 Indica quali proprietà delle potenze sono state applicate nelle seguenti uguaglianze
3
5 2
3
−1
⋅ 2
−3 =
2
−3 =− 35
2 2
−3 :
−3 = 5 2 −3 =−
2
2 3
2
b)
2
−3
3
6
=
2
−3 = 36
2
6
240 Completa la seguente tabella.
5 2
:
2 25
2
10
= 5 2 2
: 5 2
a n
=
b
a b ⋅ a b ⋅ a b ⋯⋅ a b
= 5 2 5
⋅ 2 2
=1 2
n
a a 2 a −2 −a 2 −a 3 a −1 a 0 a 3
= an
b n
− 2 3
-0,1
−1, 6
3
10
241 Calcola a mente
a) 3,4⋅10 2 = 0,34⋅10 4 = 0,34:10 3 = 3,04⋅10=
b) 3,4:10 2 = 34,4:10 2 = 34,10⋅10 3 = 0,34:10 2 =
242 Calcola le seguenti potenze prestando particolare attenzione ai segni
a) −−2 2 [−−1 2 ] 3 −−2 −4 −[−−1 −1 ] −2
b)
2 −1 3 −2
2 −2 3 −1 2 −2 −3 −1
2 −2 3 −1 −1 3 ⋅ 2−2 −5 −1
2 −2 5 2 R. 22
11 ;− 1 7 ;− 1
505
55