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www.matematicamente.<strong>it</strong> - Matematica C3 – Algebra 1 – <strong>1.</strong> Numeri<br />
►5. Proprietà delle operazioni<br />
Proprietà commutativa<br />
Una operazione gode della proprietà commutativa se, cambiando l'ordine dei numeri sui quali essa va<br />
esegu<strong>it</strong>a, il risultato non cambia.<br />
La proprietà commutativa vale sia per l’addizione che per la moltiplicazione.<br />
a b = b a ;<br />
3 5 = 5 3 = 8<br />
a⋅b = b⋅a;<br />
3⋅5 = 5 ⋅3 = 15<br />
La proprietà commutativa non vale per le seguenti operazioni: sottrazione, divisione, divisione intera,<br />
modulo e potenza.<br />
a − b ≠ b − a;<br />
a : b ≠ b : a;<br />
8 −3 = 5 ≠ 3 −8= non si può fare<br />
8 − 4 = 2 ≠ 4 − 8 = 0<br />
a div b ≠ b div a<br />
a mod b ≠ b mod a<br />
17 div 5 = 3 ≠ 5 div 17 = 0<br />
9 mod 2 = 1 ≠ 2 mod 9 = 2<br />
a b ≠b a<br />
3 2 =9≠2 3 =8<br />
Proprietà associativa<br />
Un'operazione gode della proprietà associativa se, presi arb<strong>it</strong>rariamente tre numeri legati da due operazioni,<br />
è indifferente da quale operazione si inizia, in quanto il risultato che si ottiene è sempre lo stesso.<br />
La proprietà associativa vale per l'addizione<br />
a b c = a b c ;<br />
3 5 2 = 3 5 2 = 10<br />
La proprietà associativa vale per la moltiplicazione<br />
a ⋅b⋅c = a⋅ b⋅c ;<br />
3⋅5⋅2 = 3⋅5⋅2 = 30<br />
La proprietà associativa non vale per le operazioni sottrazione, divisione, divisione intera e modulo.<br />
a − b − c ≠ a − b − c;<br />
10 − 5 − 2 = 3 ≠ 10 − 5 − 2 = 7<br />
a div b div c ≠ a div b div c<br />
17 div 5 div 2 = 1 ≠ 17 div 5 div 2 = 8<br />
3 div 2 = 1 ≠ 17 div 2 = 8<br />
a : b : c ≠ a : b : c;<br />
16 : 4 : 2 = 2 ≠ 16 : 4 : 2 = 8<br />
a mod b mod c ≠ a mod b mod c<br />
17 mod 7 mod 2 = 1 ≠ 17 mod 7 mod 2 = 0<br />
3 mod 2 = 1 ≠ 17 mod 1 = 0<br />
Elemento neutro<br />
Una operazione ha un elemento neutro se composto con qualsiasi altro numero lo lascia invariato, sia quando<br />
il numero è a destra, sia quando è a sinistra.<br />
L'elemento neutro dell'addizione è 0, sia che si trovi a destra che a sinistra:<br />
a 0 = 0 a = a<br />
L'elemento neutro della moltiplicazione è 1, sia che si trovi a destra che a sinistra:<br />
a ⋅1 = 1⋅a = a<br />
La divisione intera ha l'elemento neutro a destra, che è 1, ma non ha elemento neutro a sinistra.<br />
a div 1 = a 1 div a = 0 se a ≠ 1<br />
L'operazione modulo ha l'elemento neutro a sinistra, lo 0, ma non ha elemento neutro a destra.<br />
0 mod a = 0<br />
a mod 0 = non si può fare<br />
Proprietà distributiva<br />
La proprietà distributiva coinvolge due operazioni differenti.<br />
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:<br />
Moltiplicare il risultato dell'addizione di più numeri per un altro numero dà lo stesso risultato che<br />
moltiplicare ogni addendo per il fattore e addizionare i prodotti ottenuti. Questa proprietà vale sia se la<br />
somma è a destra sia se è a sinistra.<br />
a⋅b c = a⋅b a⋅c<br />
a b⋅c = a⋅c b⋅c<br />
Esempi<br />
3⋅2 4 = 3⋅2 3⋅4 = 18 2 4⋅3 = 2⋅3 4⋅3 = 18<br />
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