f(x) - Campus Rio Pomba

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CAPÍTULO 6 

EDITORA 

MAKRON 

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INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO 

DAVFSt 

Neste capítulo introduziremos a integral. Em primeiro lugar, trataremos da 

integração indefinida, que consiste no processo inverso da derivação. Em seguida, 

veremos a integral definida, que é a integral propriamente dita, e sua relação com o 

problema de determinar a área de uma figura plana. Por fim, apresentaremos o Teorema 

Fundamental do Cálculo, que é a peça Chave de todo Cálculo Diferencial e Integral, 

pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração. 

6.1 INTEGRAL INDEFINIDA 

6.1.1 Definição. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um 

intervalo 1 (ou simplesmente uma primitiva de .ftx)), se para todo x e 1, temos 

F ' (x) = f(x). 

Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função 

f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo 

e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções 

são primitivas de f no mesmo intervalo 1. 

329

330 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 

6.1.2 Exemplos 

x3 \ 

(i) F (x) = 3 é uma primitiva da função f(x) = x2, pois 

F ' (x) = 1/3 3x2 = x2 = f(x). 

(ii) As funções G(x) = x3/3 + 4, H(x) = 1/3 (x3 + 3) também são primitivas 

da função f(x) = x2, pois G ' (x) = H' (x) = f(x). 

(iii) A função F(x) = 1/2 sen 2x + c, onde c é uma constante, é primitiva da 

função f(x) = cos 2x. 

(iv) A função F(x) = 1/2x2 é uma primitiva da função f(x) = —1/x3 em 

qualquer intervalo que não contém a origem, pois para todo x O, temos F '(x) = fiz). 

Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais 

que uma primitiva. Temos as seguintes proposições. 

6.1.3 Proposição. Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante 

qualquer, a função G(x) F(x) + c também é primitiva de f(x). 

Prova. Como F(x) é primitiva de f(x), temos que F '(x) = f(x). Assim, 

G ' (x) = (F(x) + = F ' (x) + O = f(x), 

o que prova que G(x) é uma primitiva de f(x). 

6.1.4 Proposição. Se f ' (x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é 

constante em 

Prova. Sejam x, y E I, x < y. Como f é derivável em I, f é contínua em [x, y] e derivável 

em (x, y). Pelo Teorema do Valor Médio, existe z E (x, y), tal que 

f (z) f(Y) - flx) 

y — x

Introdução à integração 331 

Como f '(z) = O, vem que f(y) — f(x) = O ou f( y) = f(x). Sendo x e y dois pontos 

quaisquer de I, concluímos que f é constante em I. 

6.1.5 Proposição. Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então 

existe uma constante c tal que G(x) — F(x) = c, para todo x E I. 

Prova. Seja H(x) = G(x) — F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo I, temos 

F ' (x) = G ' (x) = f(x), para todo x E I. Assim, 

H ' (x) = G '(x) — F ' (x) = f(x) — f(x) = O, para todo x E 

Pela proposição 6.1.4, existe uma constante c, tal que H (x) = c, para todo 

x E I. Logo, para todo x E 1, temos 

G(x) — F(x) = c. 

Da proposição 6.1.5, concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f, 

então toda primitiva de f é da forma 

G(x) = F(x) + c, 

• onde c é uma constante. Assim o problema de determinar as primitivas de f, se resume 

em achar uma primitiva particular. 

6.1.6 Exemplo. Sabemos que (sen x)' = cos x. Assim, F(x) = sen x é uma primitiva 

da função flx) = cos x e toda primitiva de f(x) = cos x é da forma 

G(x) = sen x + c, 

para alguma constante c. 

6.1.7 Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada 

integral indefinida da função f(x) e é denotada por 

f .ffx) dx = F(x) + c .


De acordo com esta notação o símbolo 1. é chamado sinal de integração, f(x) 

função integrando e f(x) dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida 

de uma função é chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando 

serve para identificar a variável de integração. 

Da definição da integral indefinida, decorre que: 

(i) f (x) dx = F (x) + c F ' (x) = f (x). 

(ii)f f (x) dx representa uma família de funções (a família de todas as 

primitivas da função integrando). 

Propriedades da Integral Indefinida 

6.1.8 Proposição. Sejam f, g: I —> R e K uma constante. Então: 

Prova. 

(i) J K f (x) dx = K J f (x) dx. 

(ii)f (f (x) + g (x)) dx = Jf (x) g (x) dx. 

(i) Seja F (x) uma primitiva de f (x). Então K F (x) é uma primitiva 

de K f(x), pois (K F(x))' = K F ' (x) = K flx). Desta forma, temos 

IKf(x)dx = KF(x)+c=KF(x)+Kc i 

= K [F(x) + c] = K Jf (x) dx. 

(ii) Sejam F(x) e G(x) funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente. 

Então, F (x) + G (x) é uma primitiva da função (f (x) + g (x)), pois [F(x) + G(x)]' 

= F '(x) + G '(x) = f(x) + g(x).

Portanto, 

J(f (x) +g(x))dx = [F (x) + G (x)] + c 


= [F(x) + G(x)1 + c + c2 , onde c = c i + c2 

= [F(x) + c 1] + [G(x) + c2] 

= f (x) dx + S g (x) dx. 

O processo de integração exige muita intuição, pois conhecendo apenas a 

derivada de uma dada função nós queremos descobrir a função. Podemos obter uma 

tabela de integrais, chamadas imediatas, a partir das derivadas das funções elementares. 


(i) Sabemos que (sen = cos x. Então cos x dx = sen x + c. 

(ii) Como (—cos = sen O, então sen 8 d6 = — cos 6 + c. 

(iii) J ex dx = eX + c, pois (e)' = ex. 

(iv) X2/3 dx = — 3 x5/3 + c, pois (3/5 x 5/3 )'= X213 . 

5 

(v) J dt = 2 ' + c, pois (2 Vi5' = 1/Nií .

334 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 

6.1.10 Tabela de Integrais Imediatas 

(1) 

(2) — du = ln ru I + c 

c 

ua +1 

(3) ua du — + c (a é constante —1) 

J a + 1 

f u a" 

a du = a + c 

ln 

(5); e" du = e" + c 

(6) sen u du = — cos u + c 

(7) cos u du = sen u + c 

(8) 

(9) $ 

sec2 u du = tg u + c 

cosec2 u du = — cotg u + c 5,..— 

„.K., k' 

(10) f sec c/ = sec u + c 

, >c d 

ct5)') x 1 

(11) cosec u cotg u du = — cosec u + c 

(12) 

du 

— arc sen u + c 

'■1 1 — u2 

(13) du - arc tg u + c 

.1 1 + 

s..

du 

(14) j. 

— are sec u + c 

u .\442 — 1 

4's (15) S senh u du = cosh u + c 

(16) J. cosh u du = senh u + c 

(17) S sech2 u du = tgh u + c 

(18) cosech2 u du = — cotgh u + c 

(19) sech u • tgh u du = — sech u + c 

At(20) f cosech u • cotgh u du = — cosech u + c 

(21) 

du 

J "\11 + u2 

(22) f du 

(23) du 

(24) 

— 1 

1 — u2 

du 

u —u2 

arg senh u + c = ln u + -5,/u2 + 1 + c 

— arg cosh u + c = ln I u + 'Vu2 — 1 +c 

1 

= — 2 ln 

arg tgh u + c , se lul < 1 

arg cotgh u + c , se lul > 1 

1 + u 

1 — u 

+ c 

— —arg sech lu I+ c 

(25) du 

— —arg cosech lu I + c . 

u + u2 

Introdução à integração 335


Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos 

calcular a integral indefinida de algumas funções. 

6.1.11 Exemplos. Calcular as integrais indefinidas. 

(i) 5 (3x2 +5+ -Cx) dx . 'NA 

Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais;temos 

J 

3x2 + 5 + dx = 3 f x2 dx + 5 f dx + f x1/2 dz 

X3 

(ii) (3 sec x • tg x + cosec2 dx. 

Temos, 

x3/2 

= 3 — + 5x + + c 

3 3/2 

2 

= x3 + 5x + – 3 x3/2 + c . 

(3 sec x • tg x + cosec2 x) dx = 3 sec x tg x dx + cosec2 x dx 

sec2 x 

(iii) iii) dx . 

cosec x 

Neste caso, temos 

sec2 x dx = i• 1 sen x dx = 

cosec x J cos x cos x 

= 3 sec x – cotg x + c. 

tg x • sec x dx = sec x + c .

• 

(iv) ( 3 .•VX-2 + 1/3x) dx . 

Temos, 

f ( -‘172 + 

1/3x) j dx 3 x2 dx =I. + j 1/3x dx 

x4 + 3x 1/2 + 4 

( v ) 

dx . 

?Cic 

Temos, 

J 

. x4 + 3x- 

f x2/3 dx + 1 dx 

3 x 

x5/31 

5/3 + — ln lx 1 + c 

3 

3 x5/3 

ln lx 1 + c 

5 3 

V 

x1/2 + 4 

( -1/2 x4 

4 

3 1— dx 

3 

dx 

• 1,, 

1r; 

(x111. + 3x-516 + 4x 9 dx 

x11/3 dx + 3 .1' x-5/6 dx + 4 j. x-1/3 dx 

x14/3 14/3 


X 1/6 X2/3 

+ 3 • 1/6 + 4 • 2/3 + c 

= X1413 + 18x1/66X273 + c . 

14

338 

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 

1 \ 

(vi) f 2 [ cosx + -,- 

Temos, 

( 1\ 

2 cos x+ r- 

Nx 

(vii) 

Temos, 

f 

2 ex - 2 

Nx -- dx . 

dx f 2 cos x dx + _dx F- 

NX 

sen x2 

2 e - + — dx 

cos 2 x X7 

• 2 cos x dx + S x112 dx 

X1/2 

= 2 sen x + + c 

1/2 

= 2 sen x + + c. 

sen x2 sen x 2 dx 

+ dx J 2 e dx - S dx + 

2 

cos x X cos x x7 

• 21ex -I secx-tgxdx + 2 

= 2ex - sec x + 2 •+ c 

-6 

1 

= 2ex - sec x - + c. 

3x6 

sf x 7 dx

6.2 EXERCÍCIOS 

1' 

1. 

X3 

_ N 

— 

3. (ax4 + bx3 + 3c) dx 

5. 

7. 

(2x2 3)2 dx 

1 

.12y - 

'■/2y 

2. f 

4. 

6. 

dy 8. 

9. x3 dx 10. 

f x2 2+ 

1 dx 

sen x 

2 

dx 

cos x 

)1- -N/ 

J 

9t2 + 1-1 

Nt3 

1 

"\rx- 

dx2 

sen x 

'dt 

3/2 + 3 

± x 

3 

dt 

dx 

x5 + 2x2 - 1 dx 

X 4 

x2 ± 1 dx 

x2 

1 _ X2 


Nos exercícios de 1 a 10, calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir 

os resultados. 

Nos exercícios de 11 a 30, calcular as integrais indefinidas. 

J 

\4/ 

4 

4 

7 

X X- 

( 

e 

t 

17. f — + "\it- + - 

2 

1 dt 

t 

19. - e-x) dx 

dx 

Á.8x4 - 9x3 + 6x2 - 2x + 1 

cos O • tg OdO 

x2 

dx 

20. f(t + dt


21. J 

25. 

f 

x-1/3 - 5 dx 

x 

sec2 x (cosa x + 1) dx 

x2 — 1 

d 

+ 1x 

J x2 

27. J (et - 4 16t + ) dt 28. 

22. — h et + cosh t) dt 

f (a,2 a2 , 

a O, constante. 

26. '3N1 8 (t - 2)6 (t + ) 3 dt 

2 

ln x 

x ln x`- dx 

29. tg2 x cosec2 x dx 30: (x - 1)2 (x + 1)2 dx 

31. 

dt 

J - 1/2) t" 

onde n E z. 

32. Encontrar uma primitiva F, da função f(x) = x213 + x, que satisfaça F(1) = 1. 

33. Determinar a função f(x) tal que 

5 f(x) 

dx = x2 + 2 cos 2x + c . 

34. Encontrar uma primitiva da função f(x) = — + 1 que se anule no ponto x = 2. 

35. Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade 

1 

f( x) dx = sen x - x cos x - + c , determinar f (n/4). 

36. Encontrar uma função f tal que f '(x) + sen x = O e ,ff0) = 2.


6.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU 

MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO 

Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função, aplicando 

uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável. Este processo 

é análogo à regra da cadeia para derivação e pode ser justificad-o como segue. 

Sejam flx) e F(x) duas funções tais que F ' (x) = f(x). Suponhamos que g seja 

outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos 

considerar a função composta F o g. 

Pela regra da cadeia, temos 

[F(g(x))]' = F ' (g(x)) • g ' (x) = f(g(x)) • g '(x), isto é, F(g(x)) é uma primitiva 

de f(g(x)) • g ' (x). 

Temos, então 

f (g (x)) g' (x) dx = F (g (x)) + c . (1) 

Fazendo u = g(x), du =g '(x) dx e substituindo em (1), vem 

f (g (x)) g ' (x) dx = f (u) du = F (u) + c. 

Na prática, devemos então definir uma função u = g(x) conveniente, de tal 

forma que a integral obtida seja mais simples. 

6.3.1 Exemplos. Calcular as integrais: 

(i) 

\1- 

1 +2x x2dx,s 

Fazemos u = 1 x2. Então, du = 2x dx. Temos, 

du ,1 1 1 r 

1 + x2 dxu


= 111 114 + C 

(ii) sen2 x cos x dx. 

= ln (1 +x2)+ c. 

Se fizermos u = sen x, então du = cos x dx. Assim, 

sen2 x cos x dx = Ju2du 

(iii) sen (x + 7) dx. 

= - 

U3 

+ C 

3 

sena x 

3 

+ c 

Fazendo u = x + 7, temos du = dx. Então, 

J sen (x + 7) dx = J sen u du 

(iv) f tg x dx. 

= - COS U + C 

= - cos (x + 7) + c. 

Podemos escrever tg x dx = sen x dx 

cos x

Fazendo u = cos x, temos du = — sen x dx e então sen x dx = — du. Portanto, 

tg x dx = r — du 

u 

(v) I dx 

(3x — 5) 8 

= — ln I cos x 1 + c. 

du — — ln lu I + c 

Fazendo u = 3x — 5, temos du = 3 dx ou dx = 1/3 du. Portanto, 

(3x dx_ 5)8.1* 1/3 du 1 1 u - 7 

3 j . ir 8 du = 3 _ 7 + c 

u8 

(vi) (x + sec 2 3x) dx. 

Podemos escrever, 

f 

—1 

+ c . 

21 (3x — 5)7 

(x + sec2 3x) dx = f x dx + J sec2 3x dx 


x2 

— 2 + f sec2 3x dx . (1 ) 

Para resolver J sec2 3x dx fazemos a substituição u = 3x. Temos, então 

du = 3dx ou dx = 1/3 du Assim,


J 1 1 

sec2 3x dx = sec2 u • — 3 du = — 3 sec2 u du 

Substituindo em (I), obtemos 

1 1 

= — 3 tg u + c = — 3 tg 3x + c . 

X21 

(x + sec2 3x) dx = — — tg 3x + c . 

2 3 

du 

u2 , (a O). 2 

+ a 

Como a O, podemos escrever a integral dada na forma 

du1 f. 

u2 + u2 + 

a2 

du • 

+ 1 

a 2 

Fazemos a substituição v = u a. Temos então, dv = 1/a du ou du = a dv. 

Portanto, 

du1 f a dv 

u 2 + a 2 a2 J v2 + 1 

1f dv 

a -1 v2 1- 1 

1 

=— a arc tg v + c 

1 

= arc tg — + c . 

a 

a

Escrevemos, 

r2 + dx 6x + 13 • 

Introdução à integração 

Para resolver esta integral devemos completar o quadrado do denominador. 

x2 +6x+13 = x2 +2•3x+9-9+13 

Portanto, 

= (x + 3)2 + 4. 

dx dx 

x2 + 6x + 13 (x + 3)2 + 

Fazendo u = x + 3, du = dx e usando o exemplo anterior, obtemos 

dx du 

= — 12 arc tg + c 

/ .x2 + 6x + 13 

u.. ± 2 

2 

2 

(ix) — 2 

x + 1 

1 arc tg x + 3 

= — 2 2 + c . 

Neste caso, fazemos a substituição u = — 2 . Então, u2 = x — 2 ou x = u2 + 2, 

ou ainda, dx = 2 u du. 

Substituindo na integral, vem 

— 2 

x + 1 dx 2 u du 

u2 + 2 + 1 

2 u2 du 2 u2 du 

u2 + 3 u2 + 3 

345


Efetuando a divisão dos polinômios, temos 

— 2 

x + 1 

(x) J .Nit2 - 2 t4 dt . 

Escrevemos, 

— 3 

dx 2 ( 1 + ) du 

u2 3 

2 [ du 3 

= 2 u — 6 J. du 

u2 + 3 

du 

u2 + 3 

6 

ar c= 2 u — tg + c 

.N13 '‘1 3 

6 x — 

= 2 -■ix — 2 — arc tg •Ni 2 + c . 

'Vt2 —2 t4 d = f t2 (1 — 2 t2) dt = J t — 2 t2 dt . 

— 

Fazendo u = 1 — 2t2, temos du = — 4t dt e então t dt = du Assim, 

.\it2 - 2 t4 dt 

u1/2 — du 

4 

1 u3/2— 1 

4 3/2 4- c 

1 

_ — 4 u 1/2 du 

— 2 t2)3/2 + C .


Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição. 


(2x2 + 2x — 3) 10 (2x + 1) dx (x3 — 2) 1/7 x2 dx 

f 5 x dx 

.\1X — 

1 1Ix2 + 2x4 dx f 

et dt 

u et + 4 1 

11. 

15. 1 

. 5x "‘/4 — 3x2 dx 

(e2t + 2) 1/3 e2t dt 

ei/x + 2 

tg x sec2 x dx 10. senil x cos x dx 

sen x dx 

COS 5 X 

ex cos 2 et dx 

5. sen (50 — 7t) de 

2 sec2 0 de 

a + b tg 0 

19( dy 

y` — 4y + 4 

1 

x2 

dx 

2 sen x — 5 cos x dx 

cos x 

cos X2 dx 

3i.arc sen y 

dy 

—y2 

18. 

( 16 dx + r2 

).‘./ S sen 0 cos g O de


21. 

23. 

25. 

27. 

29. 

31. 

33. 

35. 

37. 

39. 

41. 

43. 

ln x2\, 

dx 22. 

x 

f 'N/3 t4 + t2 dt 24. 

3 dx 

-I x2 - 4x + 1 

+ 3 

x - 1 

dx 

26. 

28. 

f (sen 4x + cos 27c) dx 30. 

f x e3x2 dx 

dt 

t ln t 

.f (e2x + 2)5 e2x dx 

cos x f dx 

3 - sen x 

5 x2 -V1 + x dx 

32. 

34. 

36. 

38. 

40. 

f t cos t2 dt 42. 

1 sen1/2 2 O cos 2 O dO 44. 

(e" + e-arf dx 

4 dx 

4 xa + 20x + 34 

est dx 

e2x + 16 

3 dx 

x lna 3x 

( 2x2 1- x dx 

dt 

(2 + 

8x \I1 - 2x2 dx 

ef 4 t dt 

'‘/4 t2 + 5 

l' dv 

i 'i-v- (1 + 'Nfv-)5 

f x4 e- x s dx 

5 8x2 16x3 + 5 dx 

5 seca (5x + 3) dx

45. 

sen O dO 

•/ (5 - cos 0) 3 

46. $ 


cotg u du 

47. f (1 + e-at)3/2 e-at dt , a > O 48. 1 cos 

x 

49. r ,Ft - 4 dt 50. x2 (sen 2x3 + 4x) dx 

$ 

6.5 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 

ou, 

ou ainda, 

Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos, 

[f(x) g(x)]' = f(x) - g ' (x) + g(x) • f ' (x) 

f(x) • g ' (x) = [f(x) g(x)]' - g(x) • f ' (x)• 

Integrando ambos os lados dessa equação, obtemos 

f (x) • g ' (x) dx = f [f (x) g (x)r dx - g (x) • f ' (x) dx, 

f (x) • g ' (x) dx = f (x) • g (x) -1 g (x) • f ' (x) dx. (1) 

Observamos que na expressão (1) deixamos de escrever a constante de integração, 

já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. Todas elas podem 

ser representadas por uma única constante c, que introduziremos no final do processo. 

Na prática, costumamos fazer 

u = f(x) du = f ' (x) dx 

dx


e 

v = g(x) dv = g '(x) dx. 

Substituindo em (1), vem 

que é a fórmula de integração por partes. 


(i) Calcular j x e-2x dx. 

Antes de resolver esta integral, queremos salientar que a escolha de u e dv 

são feitas convenientemente. 

e obtemos 

Neste exemplo, escolhemos u = x e dv = e-2x dx. Temos, 

u= x du= dx 

dv = e-2x dx v= j e-2x dx = 2 1 e-2x . 

Aplicamos então a fórmula 

f udv=u•vivdu 

dx = 

— 1 

2 

e- 2x 

— 1 

2 

dx

Calculando a última integral, vem 

x • e-2x dx — 2 

1 1 

x e — — —4 e — + c . 


Observamos que se tivéssemos escolhido u = C2x e dv = x dx, o processo nos 

levaria a uma integral mais complicada. 

(ii) Calcular ln x dx. 

Seja 

u x du = llx dx 

dv = dx v = dx = x. 

Integrando por partes, vem 

5 ln xdx = (ln x)• x — x• 1 dx 

= xlnx—f dx 

x ln x — x + c. 

(iii) Calcular x2 sen x dx. 

Neste exemplo, vamos aplicar o método duas vezes. Seja 

u = x2du=2xdx 

dv = sen x dx v = sen x dx = — cos x.

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 

Integrando por partes, vem 

x2 •sen x dx = x2 (— cos x) — J(— cos x) 2x dx 

= —x2 cosx+2fxcosxdx. 

A integral x cos x dx deve ser resolvida também por partes. Fazemos, 

u = x du = dx 

dv = cos x dx v = J cos x dx = sen x. 

Temos, 

x cos x dx = x sen x — J sen xdx. 

Logo, 

. x2 sen j x dx = cos x + 2 [x sen x — sen x dx] 

(iv) Calcular eax sen x dx. 

—x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + c. 

Este exemplo ilustra um artifício para o cálculo, que envolve também duas 

aplicações da fórmula de integração por partes. 

Seja 

u = e2x du = 2 e2x dx 

dv = sen x dx v = J sen x dx = — cosi.

Aplicando a integração por partes, vem 

e21` sen x dx e2r (- cos x) - f (- cos x) 2e2x dx 

—e2x COS X 1- 2 e2x cos x dx. 


Resolvendo .1 e2x cos x dx por partes, fazendo u = e2x e dv = cos x dx, 

encontramos 

S e2x 

sen x dx = -e2x cos x + 2 [e2x sen x - f sen x • 2 elt. dx] 

= -e2x cos x + 2 e2x sen x - 4 f ea' sen x dz. (2) 

Observamos que a integral do 2 membro é exatamente a integral que quere- 

mos calcular. Somando 4 f e2x sen x dx a ambos os lados de (2) , obtemos 

5 .1 e2x sen x dx = -e2x cos x + 2 e2x sen x. 

Logo, 

e2x sen x dx = 5 (2 e2x sen x - e2x cos x) + c . 

(v) Calcular f sena x dx. 

Neste caso, fazemos 

u = sen2 x du = 2 sen x cos x dx 

dv = sen x dx v = f sen x dx = - cos x. 

.r, 

, C' s 

ttik - 

V --


Então, 

J 

sena x dx = sen2 x (- cos x) - - cos x • 2 sen x cos x dx 


- sen2 x cos x + 2 cos2 x sen x dx 

COS 3 X 

= - sen 2 X COS X — 2 

3 + c . 

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. 

1. $ x sen 5x dx G 5 ln (1 — x) dx 

3. f t e4t dt 4. (x f + 1 ) cos 2 x dx 

5. f x ln 3 x dx 6. i cos3 x dx 

7. f ex cos ";, dx 8. 5 \rx ln x dx 

9. cosec3 x dx 10. $ x2 cos a x dx 

11. $ x cosec2 x dx 12. j. arc cotg 2x dx

13. f e" sen bx dx 

15. X3 — X2 dX 

14. 


ln (ax + b) 

dx 

"■Iax + b 

16. J 1n3 2 x dx 

17. j. are tg a x dx 18. 5 x3 sen 4x dx 

19. f (x — 1) e' dx 20. f x2 ln x dx 

21. f x2 ex dx 22. i arc sen ; dx 

23. (x — 1) sec2 x dx J 24. e3x cos 4x dx 

25. x"- ln x dx , n E N 26. 5 

in(x2 +1)dx 

27. ln (x + 1 + x2 ) dx 28. x arc tg x dx 

29. dx 30. x cose x dx 

31. J (x+ 3)2 ex dx 32. J x + 1 dx 

33. cos (ln x) dx 34. arc cos x dx 

35. seca x dx 36. 

x3 

evx dx.


6.7 ÁREA 

Desde os tempos mais antigos os matemáticos se predcupam com o problema 

de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da 

exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são 

conhecidas. 

Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos 

um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por Pn (Figura 6.1(a)). 

Seja An a área do polígono P n. Então, An = n AT , onde AT é a área do 

triângulo de base /n e altura hn (Figura 6.1(b)). 

(a) (b) 

Figura 6-1 

I • 

n n 

Como A 

T — e o perímetro do polígono Pn é dado por p n = nin, 

2 

vem 

h 

A n = n • 

In hn pn hn 

2 2 

Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, n + co, o polígono Pn toma-se uma 

aproximação do círculo. O perímetro p n aproxima-se do comprimento do círculo 2nr e 

a altura hn aproxima-se do raio r.

Temos, 

2 icr r 

lim A = 

n — n r2 , que é a área do círculo. 

n --) 

2 


Para definir a área de uma figura plana qualquer, procedemos de forma análoga. 

Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos 

métodos da geometria elementar. 

Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S, 

delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por 

duas retas x = a e x = b (ver Figura 6.2). 

Figura 6-2 

Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a, b], isto é, dividimos o intervalo 

[a, b] em n subintervalos, escolhendo os pontos 

a = x < x < < x. < x. < ...< x n = b . 

o 1-1 

Seja Axi = xi - xi_ 1 o comprimento do intervalo [x i_ 1 , xi]. 

Em cada um destes intervalos [x i_ 1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci . 

Para cada i, i = 1, n, construímos um retângulo de base Ax i e altura f(ci) 

(ver Figura 6.3).


Figura 6-3 

A Figura 6.4 ilustra esses retângulos nos casos n = 4 e n = 8. 

Figura 6-4 

A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por: 

Sn = f(c 1) Axi +1(c2) &2 +... +.ficn) An 

= fici) Axi . 

i = 1 

Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).


Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada Azi, i = 1, n, 

torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente 

entendemos como a área de S. 

6.7.1 Definição. Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área 

sob a curva y =flx), de a até b, é definida por 

A = Hm 

n 

máx A x. —> O i = 1 

flc i) A xi, 

onde para cada i = 1, n, c i é um ponto arbitrário do intervalo 

É possível provar que o limite desta definição existe e é um 

negativo. 

6.8 INTEGRAL DEFINIDA 

[xi_i , xil. 

número não 

A integral definida está associada ao limite da definição 6.7.1. Ela nasceu com 

a formalização matemática dos problemas de áreas. De acordo com a terminologia 

introduzida na seção anterior, temos a seguinte definição. 

6.8.1 Definição. Seja f uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma 

partição qualquer de [a, b]. A integral definida de f de a até b, denotada por 

r f(x) dx , 

a 

é dada por 

fb flx) dx = lim 

a máx Ari —> O 

desde que o limite do 2° membro exista.


Se fb f(x) dx existe, dizemos que f é integrável em [a, b]. 

a 

Na notação sb f(x) dx , os números a e b são chamados limites de integração 

a 

(a = limite inferior e b = limite superior). 

Se f é integrável em [a, b], então 

Sb f(x) dx = f(t) dt = fb f(s) ds , 

a a a 

isto é, podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente. 

Quando a função f é contínua e não negativa em [a, b], a definição da integral 

definida coincide com a definição da área (Definição 6.7.1). Portanto, neste caso, a 

integral definida 

f(x) dx 

a 

é a área da região sob o gráfico de f de a até b. 

Sempre que utilizamos um intervalo [a, b], supomos a < b. Assim, em nossa 

definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite 

superior. 

6.8.2 Definição 

(a) Se a > b, então 

J(x) dx = — r f(x) dx , 

se a integral à direita existir. 

(b) Se a = b e f(a) existe, então 

f f(x) dx = O . 

a


É muito importante saber quais funções são integráveis. Uma ampla classe de 

funções usadas no Cálculo é a classe das funções contínuas. O teorema abaixo, cuja 

demonstração será omitida, garante que elas são integráveis. 

6.8.3 Teorema. Se f é contínua sobre [a, b], então f é integrável em [a, b]. 

Propriedades da Integral Definida 

6.8.4 Proposição. Se f é integrável em [a, b] e k é um número real arbitrário, então 

k f é integrável em [a, b] e 

Sb k f(x) dx = k f f(x) dx 

a a 

Prova. Como f é integrável em [a, b], existe o 

lim 

máx Ax. O 

= 1 

f(c i) Axi , 

e portanto, podemos escrever 

Sb k f(x) dx lim k f(c Axi 

a máx exiO =. 1 

k lim (c. Axi 

áx Az . O = 

= k t f(x) dx . 

a 

n


6.8.5 Proposição. Se f e g são funções integráveis em [a, b], então f + g é integrável 

em [a, b] e 

r „(x) ,g(x)1dx f(x) dx + g(x) dx. 

a a a 

Prova. Se f é integrável em [a, b] existe o limite 

lim fiC i) ,\x , que é a fb f(x) dx . 

máx Az. --> O i = 1 a 

Se g é integrável em [a, b] , existe o limite 

n 

lim E g(c i) Axi , que é a fb g(x) dx . 

máx Ax —> O = a 

Escrevemos então, 

fb+ g(x)1 dx = lim Cffci) + g(c) ) Axi 

a máxAxi-÷0 i=1 

lim f(c i) Axi + lim g(c i) 

máx O i = 1máx O i = 1 

Ç f(x) dx + g(x) dx 

a a 

Observamos que esta proposição pode ser estendida para um número finito de 

funções, ou seja,

[Ti (x) + f2(x) + + fn(x)] dx = 

a 


fi (x) dx + Sb f2 (x) dx ... 

a 

+ fb fn (x)dx 

a 

Vale também para o caso de termos diferença de funções, isto é, 

fb [f(x) — g(x)] dx = r f(x) dx — g(x) dx . 

a a a 

6.8.6 Proposição. Se a


Usando a definição de integral definida, vem 

fb flx) dx lim f(ci) Axi 

a máxhai -› o 

1 

lim 

máx Azi -> O 

( r 

i = 1 

fici)Axi + f(ci)Axi 

= r + 1 

llm f(ci)Axi + lim flc)Axi 

MáJC AXiO i MáX AXi -> O i=r+i 

f(x) dx + fb fix) dx 

a c 

Esta propriedade pode ser generalizada: "Se f é integrável em um intervalo 

fechado e se a, b, c são pontos quaisquer desse intervalo, então 

fb flx) dx = Sc f(x) dx + fb fix) dx ." 

a a c 

A Figura 6.5 ilustra a proposição 6.8.6, para o caso em que f(x) > O. A área 

do trapezóide ABCD adicionada à área do trapezóide BEFC é igual à área do trapezóide 

AEFD. 

Figura 6-5


6.8.7 Proposição. Se f é integrável e se f(x) >_ O para todo x em [a, b], então 

Sb f(x) dx O . 

a 

Prova. Como .Aci ) O para todo ci em [xi_ 1 , xi], segue que 

Portanto, 

= 1 

f(ci) AxiO . 

n 

lim .Ac i)A ^. O 

MáXAXi -4 O = 1 

e dessa forma fb f(x) dx O . 

a 

6.8.8 Proposição. Se f e g são integráveis em [a, b] e f(x) g(x) para todo x em 

[a, b], então 

Prova. Fazemos 

.ftx) dx r g(x) dx . 

a a 

I = r f(x) dx — g(x) dx . 

a a


Devemos mostrar que 1 _^ O. Usando a proposição 6.8.5, podemos escrever 

1 = Sb f(x) dx — jb g(x) dx 

a a 

= fb Ú(x) — g(x)) dx . 

a 

Como f(x) g(x) para todo x e [a, b] temos que f(x) — g(x) O, para todo 

x e [a, b]. 

Usando a proposição 6.8.7, concluímos que I _^ O. 

6.8.9 Proposição. Se f é uma função contínua em [a, b], então 

fb f(x) dx 

a 

Sb I f(x) dx 

a 

Prova. Se f é contínua em [a, b], então 

a) f é integrável em [a, b]; 

b) I f 1 é contínua em [a, b]; 

c) I f 1 também é integrável em [a, b]. 

Sabemos que 

— I f(x) I f(x) I f(x) I . 

Usando a proposição 6.8.8, escrevemos 

fb — ifix) dx fb f(x) dx r,fix)I dx . 

a a a

Pela proposição 6.8.4, vem 

— fb 1f(x) 1 dx 5 f(x) dx 5_ fb Igx) 1 dx . 

a a a 

Usando a propriedade 1.3.3(i), segue que 

f(x) dx 

a 

sb f(x) dx 

a 


Na proposição a seguir, cuja demonstração será omitida, apresentamos o Teorema 

do Valor Médio para integrais. 

6.8.10 Proposição. Se f é uma função contínua em [a, b], existe um ponto c entre a 

e b tal que 

fb flx) dx = (b — a) f(c) . 

a 

Seflx) O, x e [a, b], podemos visualizar geometricamente esta proposição. 

Ela nos diz que a área abaixo da curva y =f(x), entre a e b, é igual à área de um retângulo 

de base b — a e altura f(c) (ver Figura 6.6). 

Figura 6-6

. 368 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 

6.9 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 

O teorema fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de 

derivação e integração. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma função 

contínua f: [a, b] —> I?, podemos calcular a sua integral definida f(t) dt . Com 

a 

isso, obtemos uma maneira rápida e simples de resolver inúmeros problemas práticos 

que envolvem o cálculo da integral definida. 

Para apresentar formalmente o teorema, inicialmente vamos definir uma 

importante função auxiliar, como segue. 

Tomamos a integral definida 

ff(t)dt , 

a 

fixamos o limite inferior a e fazemos variar o limite superior. Então, o valor da integral 

dependerá desse limite superior variável, que indicaremos por x. Fazendo x variar no 

intervalo [a, b], obtemos uma função G(x), dada por 

G(x) = r flt) dt . 

a 

Intuitivamente, podemoS compreender o significado de G(x), através de uma 

análise geométrica. Conforme vimos na seção 6.8, se f(t) _^ O, V t E [a, b], a integral 

f(t) dt 

a 

representa a área abaixo do gráfico de f entre a e b (ver Figura 6.7(a)). 

Da mesma forma, 

G(x) = f f(t) dt 

a 

nos dá a área abaixo do gráfico de f entre a e x (ver Figura 6.7(b)). Podemos observar 

que G(a) = O e G(b) nos dá a área da Figura 6.7(a).

lição. 


Y = f(t) Y = f 

(a) (b) 

Figura 6-7 

Vamos agora, determinar a derivada da função G(x). Temos a seguinte propo- 

6.9.1 Proposição. Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b]. Então 

a função G: [a, b] —> n definida por 

G(x) = f(t) dt , 

a 

tem derivada em todos os pontos x E [a, b] que é dada por 

G ' (x) = f(x), ou seja, 

dx 

,fft) dt = f(x) . 

Prova. Vamos determinar a derivada G ' (x), usando a definição 

G '(x) = lim G(x + Ar) — G(x) 

Ax 

Ax —> O


e então, 

Temos, 

r G(x) = f(t) dt ; 

a 

+Ax 

G(x + Ax) = r ,f(t)dt ; 

a 

+Ax 

G(x + dx) — G(x) = J f(t) dt — J f(t) dt . 

a a 

Usando a proposição 6.8.6, podemos escrever 

ix+Ax 

r f(t) dt = f(t) dt + r+Ax f(t) dt 

j a a 

G(x + Az) — G(x) = 

+Ax 

f(t) dt + r f(t) dt — f 

a+Ax 

flt) dt 

x 

J 

,fit) dt 

a 

Como f é contínua em [x, x + Ax}, pela proposição 6.8.10, existe um ponto 

x entre x e x + Ax tal que 

rx+Ax 

f(t) dt = (x + A x — x) f( x ) 

= f(x- ) Ax 

■

Portanto, 

lim G(x + A x) — G(x)lim f( ) A x 

Ar -4 0 Ax o Ax 

= ) . 

Az —> O 


Como x está entre x e x + Ax, segue que x x quando Ax —> O. Como f é 

contínua, temos 

lim f(x ) = lim f( x ) = f(x). 

Ax —> X -) X 

Logo, 

G (. x + A x) — G(x) 

hm — f(x) , ou seja, 

Ax 

G '(x) = f(x). 

Observamos que quando x é um dos extremos do intervalo [a, b], os limites 

usados na demonstração serão limites laterais. G '(a) será uma derivada à direita e G' (b) 

uma derivada à esquerda. 

Uma importante conseqüência desta proposição é que toda função f(x) contínua 

num intervalo [a, b] possui uma primitiva que é dada por 

G(x) = r f(t) dt . 

a 

Outro resultado importante obtém-se da análise geométrica. Voltando à Figura 

6.7, podemos dizer que a taxa de variação da área da Figura 6.7(b) com relação a t é 

igual ao lado direito da região. 

Podemos agora, estabelecer formalmente' o Teorema Fundamental do Cálculo.


6.9.2 Teorema. Se f é contínua sobre [a, b] e se F é uma primitiva de f neste 

intervalo, então 

fb f(t) dt = F(b) — F(a) . 

a 

Prova. Como f é contínua sobre [a, b], pela proposição 6.9.1, segue que 

G(x) = r f(t) dt 

a 

é uma primitiva de f nesse intervalo. 

Seja F(x) uma primitiva qualquer de f sobre [a, b]. Pela proposição 6.1.5, 

temos que 

F(x) = G(x) + C, V x E [a, b]. 

Como G(a) = ja f(t) dt = O e G(b) = Sb f(t) dt , calculando a diferença 

a a 

F(b) — F(a), obtemos 

F(t) 

b 

a 

F(b) — F(a) = (G(b) + c) — (G(a) + c) 

= G(b) — G(a) 

= fb f(t) dt — O 

a 

= r f(t) dt 

a 

Observamos que a diferença F(b) — F(a) usualmente é denotada por 

. Também escrevemos, 

fb f(x) dx = F(x) 

a 

b 

a 

= F(b) — F(a) .

6.9.3 Exemplos. Calcular as integrais definidas: 

(i) 53 x dx . 


1 

Sabemos que F(x) = 

2 x2 é uma primitiva de f(x) = x. Portanto, 

x dx _ 1 

2 x2 

2 

(ii) cos t dt 

o 

3 

1 

— 32 - 2 

1 

2 

12 9 1 4 

2 2 

A função F(t) = sen t é uma primitiva de f(t) = cos t. Logo, 

J 

o 

cos t dt = sen t 

n/2 

(iii) 

o (x3 — 4x2 + 1) dx . 

o 

= sen —7t — sen O = 1. 

2 

Usando as propriedades da integral definida e o Teorema Fundamental do 

Cálculo, temos 

1 

(x3 — 4x2 + 1) dx = x3 dx — 4 x2 dx + dx 

O o o 

x4 

4 

—4 

x3 

3 

= ( — 4 — O) — ( — 4 — O) + (1 — O) 

3 

= —1/12. 

1 

+ x 

1 

o


1 x dx 

(iv) 10X2 ± 1 

Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida 

/ x dx 

x2 + 1 • 

Para isso, fazemos a substituição u = x2 + 1. Temos então, du = 2x dx ou 

du 

x dx = — . Portanto, 

2 

du/2 1 du 

– 1 

J u 2 u 2 

ln lul + c 

1 

• – 2 ln (x2 + 1) + c . 

Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos 

1.1 x dx 

1 

• ln (x2 

J0 

+ 1) 

x2 + 1 2 

1 

= – 2 ln 2 – 1 ln 1 

2 

In 2 . 

Observamos que, para resolver esta integral, também podemos fazer a mudança 

de variáveis na integral definida, desde que façamos a correspondente mudança nos 

limites de integração. 

Ao efetuarmos a mudança de variável fazendo u = x2 + 1, vemos que: 

x = O u = 1; 

x = 1 u = 2. 

1 

■

Então, 

1 x dx 

-I o x2 ± 1 — 

(v) 12 x e -X.2 +1 dx . 

1 

2 du/21 2 du1 — ln I u I 

2 1 u 2 

= — 1 (ln 2 — ln 1) = — 1 ln 2 . 

2 

Calculamos primeiro a integral indefinida 1= x e 


2 

1 

2 

x + 1 

Fazendo u = —x2 + 1, temos du = —2x dx ou x dx = -- du • Assim, 

2 

= S eu — du — 1 s — 1 

— eu du 

2 

2 

Logo, 

2 — 

x e-x + 1 dx — 1 

.1 

2 


x2 + 1 

2 

eu + c 

1 c_x2 + + c . 

2 

—14 + 1 1 - 1 + 1 — 1 e 3 + 

C + — 

2 2 2 2 

2 2 2 

1. Calculando as integrais / 1 = f x2 dx , 12 = x dx e 13 = dx , 

obtemos // = 7/3, /2 = 3/2 e I3 = 1. Usando estes resultados, encontrar o valor de:

376 Cálculo A- Funções, Limite, Derivação, Integração 

a) 12 

c-1) dx b) 2x (x + 1) dx 

c) 2 (x - 1) (x - 2) dx d) 52 (3x + 2) 2 dx 

1 

2. Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdades: 

a) f 3 

(3X2 + 4) dx $ 3(2x2 

+ 5) dx 

1 1 

b) 

-1 dx < 

-2 X -2 2 

s3rc✓2 

c) sen x dx O 

- cos x dx O . 

o ni2 

3. 

1 5,--- 

Se f Nx2 dx = 

O 

7 r calcular dt. 

4. 

r./ 2 

Se 9 cos2 t dt = 9 71 calcular 

o 

4 ' 

- cos2 O dO. 

5. Verificar se o resultado das seguintes integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las. 

a) fo dx$2. n 

c) 

0 x + 2 

(2x + 1) dx 

2 

6. Determinar as seguintes derivadas: 

a) dx r 2 "\it 4 dt I L. 

c) 

d 

d 8 s 1 

t sen t dt 

b) 

o 

3 

1 

sen t dt 

(X2 — 2x - 3) dx 

m d 2x A_ 

dy J 3 x2 + 9 `4-4

a) f(x) = 

2x + , — 1 x < O 

5 , 0 x


10. Se f(x) é contínua e m 5f(x) para todo x em [a, b], provar que 

m (b - a) fb f(x) dx . Ilustrar graficamente, supondo m > 0. 

a 

11. Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10, para encontrar o menor e o maior valor possível 

das integrais dadas a seguir: 

4 

a) r 5x dx b) 1 2x2 dX 

3 -2 

c) .14 I x - 11 dx 14 (x4 - 8,12 + 16) dx 

-1 

Nos exercícios de 12 a 34, calcular as integrais. 

12. x(1,_ x3) dx 13. r (x2_ 4x + 7) dx 

-1 - 3 

14. s2 dx 

6 

1 x 

16. 

18. 

20. 

22. 

dy 

o '13y + 1 

f1 x2 dx 

- 1 

,1x3 + 9 

4 dx 

r.,Ix2+ 9 

24. _ 'NI2x - 1 dx 25. 

15. r 2t dt 

4 

17. 7. 

19. 

$ 12t - 4 I dt 21. 

-2 5 

1 021c 

23. JJ o 

r/4 

n/4 

sen x cos x dx 

I sen xl dx 

1x2 - 3x + 2 dx 

v2 dv 

- 2 ( v 3 — 2)2 

dx 

,(,,,+,)3

26. x + x dx 

J o 

2 

cos x 

28. 

J7 (1 + sen x)5 dx 

27. ri2 

29. f 


O 

O 

sen2 x dx 

(2x + 1)- 1 /2 dx 

r 5x3 7x2 

30. ecx dx 

31. 

- 5x + 2 

dx 

o 

1 x2 2 1 2 

32. 1.2 x ln x dx 33. s- (t — — ) dt 

*I 1 - 3 t 

s- 1 x3 8 

34. 

dx . 

o x + 2 

35. Seja f contínua em [-a, a]. Mostrar que: 

a) Se f é par então ia f(x) dx = 2 ia f(x) dx . 

-a O 

b) Se f é ímpar então f f(x) dx = O . 

-a 

36. Usar o resultado do exercício 35 para calcular: 

a) fn 2 sen x dx 

-rz 

c) 

fl 

- 1 

(x4 + x2) dx . 

6.11 CÁLCULO DE ÁREAS 

b) 

- 

cos x dx 

• 7t 

O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração. Vejamos as 

situações que comumente ocorrem.


6.11.1 Caso I. Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas 

x = a, x = b e o eixo dos x, ondef é contínua e.fix) O, V XE [a, b] (ver Figura 

6.8). 

Neste caso, a área é dada por 

fb f(x) dx . 

a 

Figura 6-8 

6.11.2 Exemplo. Encontre a área limitada pela curva y = 4 x 2 e o eixo dos x. 

A curva y = 4 — x2 intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa —2 e 2 (ver 

Figura 6.9). 

Figura 6-9

2 

A = (4 — x2) 1 dx 

-2 

2 

X3 

4x — — 

3 

/ -2 

N‘N 

y= f(x) 


No intervalo [-2 , 2], y = 4 — x2 ^ 0. Assim, a área procurada é a área sob o 

gráfico de y = 4 — x2 de —2 até 2. Temos, 

[ (8 — 8/3) — 8 — 

Portanto, A = 32/3 u • a (32/3 unidades de área). 

2) 3 \ = 32 

3 — 3 ' 

6.11.3 Caso II. Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas 

x = a, x = b e o eixo dos x, ondef é contínua eflx) 0, V x E [a, b] (ver Figura 

6.10). 

É fácil constatar que neste caso basta tomar o módulo da integral 

r f(x) dx , ou seja, 

a 

A = 

jb f(x) dx 

a 

Figura 6-10


6.11.4 Exemplos. 

(i) Encontre a área limitada pela curva y = — 4 + x 2 e o eixo dos x. 

A curva y = x2 — 4 intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa —2 e 2 (ver 

Figura 6.11). 

Figura 6-11 

No intervalo [-2, 2], y = x 2 — 4 O. Assim, 

A = 

f2 (x2 — 4) dx 

- 2 

— 32 

3 

32 3 u.a. 

(ii) Encontre a área da região S, limitada pela curva y = sen x e pelo eixo 

dos x de O até 27c. 

Precisamos dividir a região S em duas subregiões S 1 e S2 (ver Figura 6.12).

Figura 6-12 


No intervalo [O, n], y = sen x ^ O e no intervalo [n, 2n], y = sen x O. Portanto, 

se A l é a área de S 1 e A 2 é a área de S2, temos 

A = A i +A 2 

= sen x dx + 

o 

= — cos X 

1.27t sen x dx 

7C 

— cos x 

o 7t 

—cos n + cos O + I —cos 2n + cos TC I 

— (— 1) + 1 + j — 1 1- (— 1) 

= 4 u.a. 

6.11.5 Caso III. Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, 

pelas retas x = a ex= b, onde f e g são funções contínuas em [a, b] 

e f(x) ^ g(x), V x e [a, b]. 

Neste caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores 

não negativos para todo x E [a, b] (ver Figura 6.13).


Figura 6-13 

Então a área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área 

sob o gráfico de g, ou ainda, 

A rf(x) dx — g(x) dx 

a a 

• fb (f(x) — g(x)) dx . 

a 

Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado. Basta imaginar o eixo dos x 

deslocado de tal maneira que as funções se tornem não-negativas, V x e [a, b]. 

Observando a Figura 6.14, concluímos que 

A' A fb (/ (x) — g 1 (x)) dx 

a 

• fb (f(x) — g(x)) dx . 

a 

f


Figura 6-14 

(i) Encontre a área limitada por y = x 2 e y = x + 2. 


As curvas y = x2 ey=x+ 2 interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e 2 (ver 

Figura 6.15). 

No intervalo [-1, 2], temos x + 2 x2. Então, 

x2x3 

A = $2 (x ± 2- x2) dx = [-2- + 2x' - -3- 

= — 22 

2 

9 

= 2 u.a. 

2 3 \ ( (-- 1)2( 1) 3 

2 + 2 • (- 1) - 

3 

3 

) 

2


Figura 6-15 

(ii) Encontre a área limitada pelas curvas y = x 3 e y x. 

As curvas y = x 3 e y = x interceptam-se nos pontos de abscissa -1, O e 1 (ver 

Figura 6.16). 

t 

Figura 6-16 

No intervalo [-1, 0], x < x3 e no intervalo [0, 1], x > x3. Logo, 

A = J.° (x3 - x) dx + (x - x3) dx 

-1 O 

= 1 u.a. 

2 

o 

-1 

x2 x4 

( —2 —4 

1


Observamos que poderíamos ter calculado a área da seguinte forma: 

1 

A = 2 (x - x3) dx = - u.a. , 

O 

2 

pois a área à esquerda do eixo dos y é igual a que se encontra à sua direita. 

(iii) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x 2 - 1 e y = x + 1. 

As curvas y = x2 -1 e y = x + 1 interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e 

2 (ver Figura 6.17). 

Figura 6-17 

No intervalo [-1, 2], x + 1 _^ x2 - 1. Logo, 

2 

A = [(x + 1) - (x2 - 1)] dx 

- 1 

f2 

- 1 

( x2 

2 

= 9/2 u.a. 

— X2 ± 2) dx 

+ 2x 

2


(iv) Encontre a área da região S limitada pelas curvas y - x = 6, y - x3 = O e 

2y + x = O. 

Devemos dividir a região em duas subregiões S 1 e S2 (ver Figura 6.18). 

Figura 6-18 

No intervalo [- 4, O], a região está compreendida entre os gráficos de 

x 

y= e y= 6+ x (região S i ). 

2 

A = A l + A 2' 

No intervalo [O, 2], está entre os gráficos de y = x 3 e y = x + 6 (região S2). 

Se A l é a área de S 1 e A2 é a área de S 2, então a área A procurada é dada por 

x 

Cálculo de A • No intervalo [- 4 , O] , 6 + x - - 

1- . Assim, 

2 

A = [(6 + x) - (-x/2)] dx 

- 4 

J t) ( 6 + 

-4 2 

dx

= 12 u.a. 

+ 3x2 

4 

o 

—4 

Cálculo de A 2: No intervalo [O, 2], 6 + x ?_ x3. Então, 

A = j.2 [(6 + x) — x3] dx 

2 O 

6x + 

= 10 u.a. 

x2 x4 

Portanto, A = A l + A 2 = 12 + 10 = 22 u.a. 


4 

) 


Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitaria pelas curvas dadas. 

1. x=1/2, x= '■47 . e y= x+2 y2 = 2x e x2 = 2y 

3. y=5—x2 e y=x+3 4. y = x2 e y = 6 

5. y=1—x2 e y=-3 6. x+y=3 e y+x2 =3 

7. x=y2 , y—x=2 , y2 e y=3 8. y=x3 — x e y=0 

9. y=e' , x=0 , x=1 e y=0 10. x = y3 e x = y 

2 

o


11. y=lnx , y=0 e x = 4 12. y=lnx , x=1 e y = 4 

13. y = sen x e y = - sen x , x E [O, 2n] 

14. y = cos x e y = -cos x, x e - - 1 7G 3n [ - 

2 2 

15. y = coshx , y=senhx , x=-1 e x=1 16. y = tgx , x=0 e y=1 

17. y=e-x , y=x+1 e x = -1 18. y=sen2x , y=x+2 , x=0 e x=7"c/2 

19. y=-1-x2 , y=-2x-4 

- 33 7t 4n 

20. y = cos x , y - x+ 

5n 10 x E 2 3 

21. y - 1 

1 

- ,y= 2x+lex=-3 

x - 11 ,y= x 

1 

22. x = y2 e y = - - 2 x 

24. x=y2 +1 e x+y=7 

23. y=4 -x2 e y = x2 - 14 

25. y= x , y=rx e y=4 

26. y = arc sen x , y = na e x = O 27. y = 2cosh X2 , x=-2,x=-2ey=0 

28. y=lx- 2 I e y = 2 - (x- 2)229. y = - 1 , y= -x e x = 1. 

30. Encontrar a área das regiões S 1 e S2, vistas na figura a seguir

Introdução à integração 391

f(x) - Campus Rio Pomba

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