f(x) - Campus Rio Pomba

. 368 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
6.9 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
O teorema fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de
derivação e integração. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma função
contínua f: [a, b] —> I?, podemos calcular a sua integral definida f(t) dt . Com
a
isso, obtemos uma maneira rápida e simples de resolver inúmeros problemas práticos
que envolvem o cálculo da integral definida.
Para apresentar formalmente o teorema, inicialmente vamos definir uma
importante função auxiliar, como segue.
Tomamos a integral definida
ff(t)dt ,
a
fixamos o limite inferior a e fazemos variar o limite superior. Então, o valor da integral
dependerá desse limite superior variável, que indicaremos por x. Fazendo x variar no
intervalo [a, b], obtemos uma função G(x), dada por
G(x) = r flt) dt .
a
Intuitivamente, podemoS compreender o significado de G(x), através de uma
análise geométrica. Conforme vimos na seção 6.8, se f(t) _^ O, V t E [a, b], a integral
f(t) dt
a
representa a área abaixo do gráfico de f entre a e b (ver Figura 6.7(a)).
Da mesma forma,
G(x) = f f(t) dt
a
nos dá a área abaixo do gráfico de f entre a e x (ver Figura 6.7(b)). Podemos observar
que G(a) = O e G(b) nos dá a área da Figura 6.7(a).