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CAPÍTULO 6<br />
EDITORA<br />
MAKRON<br />
Books<br />
INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO<br />
DAVFSt<br />
Neste capítulo introduziremos a integral. Em primeiro lugar, trataremos da<br />
integração indefinida, que consiste no processo inverso da derivação. Em seguida,<br />
veremos a integral definida, que é a integral propriamente dita, e sua relação com o<br />
problema de determinar a área de uma figura plana. Por fim, apresentaremos o Teorema<br />
Fundamental do Cálculo, que é a peça Chave de todo Cálculo Diferencial e Integral,<br />
pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração.<br />
6.1 INTEGRAL INDEFINIDA<br />
6.1.1 Definição. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um<br />
intervalo 1 (ou simplesmente uma primitiva de .ftx)), se para todo x e 1, temos<br />
F ' (x) = f(x).<br />
Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função<br />
f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo<br />
e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções<br />
são primitivas de f no mesmo intervalo 1.<br />
329
330 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
6.1.2 Exemplos<br />
x3 \<br />
(i) F (x) = 3 é uma primitiva da função f(x) = x2, pois<br />
F ' (x) = 1/3 3x2 = x2 = f(x).<br />
(ii) As funções G(x) = x3/3 + 4, H(x) = 1/3 (x3 + 3) também são primitivas<br />
da função f(x) = x2, pois G ' (x) = H' (x) = f(x).<br />
(iii) A função F(x) = 1/2 sen 2x + c, onde c é uma constante, é primitiva da<br />
função f(x) = cos 2x.<br />
(iv) A função F(x) = 1/2x2 é uma primitiva da função f(x) = —1/x3 em<br />
qualquer intervalo que não contém a origem, pois para todo x O, temos F '(x) = fiz).<br />
Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais<br />
que uma primitiva. Temos as seguintes proposições.<br />
6.1.3 Proposição. Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante<br />
qualquer, a função G(x) F(x) + c também é primitiva de f(x).<br />
Prova. Como F(x) é primitiva de f(x), temos que F '(x) = f(x). Assim,<br />
G ' (x) = (F(x) + = F ' (x) + O = f(x),<br />
o que prova que G(x) é uma primitiva de f(x).<br />
6.1.4 Proposição. Se f ' (x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é<br />
constante em<br />
Prova. Sejam x, y E I, x < y. Como f é derivável em I, f é contínua em [x, y] e derivável<br />
em (x, y). Pelo Teorema do Valor Médio, existe z E (x, y), tal que<br />
f (z) f(Y) - flx)<br />
y — x
Introdução à integração 331<br />
Como f '(z) = O, vem que f(y) — f(x) = O ou f( y) = f(x). Sendo x e y dois pontos<br />
quaisquer de I, concluímos que f é constante em I.<br />
6.1.5 Proposição. Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então<br />
existe uma constante c tal que G(x) — F(x) = c, para todo x E I.<br />
Prova. Seja H(x) = G(x) — F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo I, temos<br />
F ' (x) = G ' (x) = f(x), para todo x E I. Assim,<br />
H ' (x) = G '(x) — F ' (x) = f(x) — f(x) = O, para todo x E<br />
Pela proposição 6.1.4, existe uma constante c, tal que H (x) = c, para todo<br />
x E I. Logo, para todo x E 1, temos<br />
G(x) — F(x) = c.<br />
Da proposição 6.1.5, concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f,<br />
então toda primitiva de f é da forma<br />
G(x) = F(x) + c,<br />
• onde c é uma constante. Assim o problema de determinar as primitivas de f, se resume<br />
em achar uma primitiva particular.<br />
6.1.6 Exemplo. Sabemos que (sen x)' = cos x. Assim, F(x) = sen x é uma primitiva<br />
da função flx) = cos x e toda primitiva de f(x) = cos x é da forma<br />
G(x) = sen x + c,<br />
para alguma constante c.<br />
6.1.7 Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada<br />
integral indefinida da função f(x) e é denotada por<br />
f .ffx) dx = F(x) + c .
332 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
De acordo com esta notação o símbolo 1. é chamado sinal de integração, f(x)<br />
função integrando e f(x) dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida<br />
de uma função é chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando<br />
serve para identificar a variável de integração.<br />
Da definição da integral indefinida, decorre que:<br />
(i) f (x) dx = F (x) + c F ' (x) = f (x).<br />
(ii)f f (x) dx representa uma família de funções (a família de todas as<br />
primitivas da função integrando).<br />
Propriedades da Integral Indefinida<br />
6.1.8 Proposição. Sejam f, g: I —> R e K uma constante. Então:<br />
Prova.<br />
(i) J K f (x) dx = K J f (x) dx.<br />
(ii)f (f (x) + g (x)) dx = Jf (x) g (x) dx.<br />
(i) Seja F (x) uma primitiva de f (x). Então K F (x) é uma primitiva<br />
de K f(x), pois (K F(x))' = K F ' (x) = K flx). Desta forma, temos<br />
IKf(x)dx = KF(x)+c=KF(x)+Kc i<br />
= K [F(x) + c] = K Jf (x) dx.<br />
(ii) Sejam F(x) e G(x) funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente.<br />
Então, F (x) + G (x) é uma primitiva da função (f (x) + g (x)), pois [F(x) + G(x)]'<br />
= F '(x) + G '(x) = f(x) + g(x).
Portanto,<br />
J(f (x) +g(x))dx = [F (x) + G (x)] + c<br />
Introdução à integração 333<br />
= [F(x) + G(x)1 + c + c2 , onde c = c i + c2<br />
= [F(x) + c 1] + [G(x) + c2]<br />
= f (x) dx + S g (x) dx.<br />
O processo de integração exige muita intuição, pois conhecendo apenas a<br />
derivada de uma dada função nós queremos descobrir a função. Podemos obter uma<br />
tabela de integrais, chamadas imediatas, a partir das derivadas das funções elementares.<br />
6.1.9 Exemplos<br />
(i) Sabemos que (sen = cos x. Então cos x dx = sen x + c.<br />
(ii) Como (—cos = sen O, então sen 8 d6 = — cos 6 + c.<br />
(iii) J ex dx = eX + c, pois (e)' = ex.<br />
(iv) X2/3 dx = — 3 x5/3 + c, pois (3/5 x 5/3 )'= X213 .<br />
5<br />
(v) J dt = 2 ' + c, pois (2 Vi5' = 1/Nií .
334 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
6.1.10 Tabela de Integrais Imediatas<br />
(1)<br />
(2) — du = ln ru I + c<br />
c<br />
ua +1<br />
(3) ua du — + c (a é constante —1)<br />
J a + 1<br />
f u a"<br />
a du = a + c<br />
ln<br />
(5); e" du = e" + c<br />
(6) sen u du = — cos u + c<br />
(7) cos u du = sen u + c<br />
(8)<br />
(9) $<br />
sec2 u du = tg u + c<br />
cosec2 u du = — cotg u + c 5,..—<br />
„.K., k'<br />
(10) f sec c/ = sec u + c<br />
, >c d<br />
ct5)') x 1<br />
(11) cosec u cotg u du = — cosec u + c<br />
(12)<br />
du<br />
— arc sen u + c<br />
'■1 1 — u2<br />
(13) du - arc tg u + c<br />
.1 1 +<br />
s..
du<br />
(14) j.<br />
— are sec u + c<br />
u .\442 — 1<br />
4's (15) S senh u du = cosh u + c<br />
(16) J. cosh u du = senh u + c<br />
(17) S sech2 u du = tgh u + c<br />
(18) cosech2 u du = — cotgh u + c<br />
(19) sech u • tgh u du = — sech u + c<br />
At(20) f cosech u • cotgh u du = — cosech u + c<br />
(21)<br />
du<br />
J "\11 + u2<br />
(22) f du<br />
(23) du<br />
(24)<br />
— 1<br />
1 — u2<br />
du<br />
u —u2<br />
arg senh u + c = ln u + -5,/u2 + 1 + c<br />
— arg cosh u + c = ln I u + 'Vu2 — 1 +c<br />
1<br />
= — 2 ln<br />
arg tgh u + c , se lul < 1<br />
arg cotgh u + c , se lul > 1<br />
1 + u<br />
1 — u<br />
+ c<br />
— —arg sech lu I+ c<br />
(25) du<br />
— —arg cosech lu I + c .<br />
u + u2<br />
Introdução à integração 335
336 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos<br />
calcular a integral indefinida de algumas funções.<br />
6.1.11 Exemplos. Calcular as integrais indefinidas.<br />
(i) 5 (3x2 +5+ -Cx) dx . 'NA<br />
Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais;temos<br />
J<br />
3x2 + 5 + dx = 3 f x2 dx + 5 f dx + f x1/2 dz<br />
X3<br />
(ii) (3 sec x • tg x + cosec2 dx.<br />
Temos,<br />
x3/2<br />
= 3 — + 5x + + c<br />
3 3/2<br />
2<br />
= x3 + 5x + – 3 x3/2 + c .<br />
(3 sec x • tg x + cosec2 x) dx = 3 sec x tg x dx + cosec2 x dx<br />
sec2 x<br />
(iii) iii) dx .<br />
cosec x<br />
Neste caso, temos<br />
sec2 x dx = i• 1 sen x dx =<br />
cosec x J cos x cos x<br />
= 3 sec x – cotg x + c.<br />
tg x • sec x dx = sec x + c .
•<br />
(iv) ( 3 .•VX-2 + 1/3x) dx .<br />
Temos,<br />
f ( -‘172 +<br />
1/3x) j dx 3 x2 dx =I. + j 1/3x dx<br />
x4 + 3x 1/2 + 4<br />
( v )<br />
dx .<br />
?Cic<br />
Temos,<br />
J<br />
. x4 + 3x-<br />
f x2/3 dx + 1 dx<br />
3 x<br />
x5/31<br />
5/3 + — ln lx 1 + c<br />
3<br />
3 x5/3<br />
ln lx 1 + c<br />
5 3<br />
V<br />
x1/2 + 4<br />
( -1/2 x4<br />
4<br />
3 1— dx<br />
3<br />
dx<br />
• 1,,<br />
1r;<br />
(x111. + 3x-516 + 4x 9 dx<br />
x11/3 dx + 3 .1' x-5/6 dx + 4 j. x-1/3 dx<br />
x14/3 14/3<br />
Introdução à integração 337<br />
X 1/6 X2/3<br />
+ 3 • 1/6 + 4 • 2/3 + c<br />
= X1413 + 18x1/66X273 + c .<br />
14
338<br />
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
1 \<br />
(vi) f 2 [ cosx + -,-<br />
Temos,<br />
( 1\<br />
2 cos x+ r-<br />
Nx<br />
(vii)<br />
Temos,<br />
f<br />
2 ex - 2<br />
Nx -- dx .<br />
dx f 2 cos x dx + _dx F-<br />
NX<br />
sen x2<br />
2 e - + — dx<br />
cos 2 x X7<br />
• 2 cos x dx + S x112 dx<br />
X1/2<br />
= 2 sen x + + c<br />
1/2<br />
= 2 sen x + + c.<br />
sen x2 sen x 2 dx<br />
+ dx J 2 e dx - S dx +<br />
2<br />
cos x X cos x x7<br />
• 21ex -I secx-tgxdx + 2<br />
= 2ex - sec x + 2 •+ c<br />
-6<br />
1<br />
= 2ex - sec x - + c.<br />
3x6<br />
sf x 7 dx
6.2 EXERCÍCIOS<br />
1'<br />
1.<br />
X3<br />
_ N<br />
—<br />
3. (ax4 + bx3 + 3c) dx<br />
5.<br />
7.<br />
(2x2 3)2 dx<br />
1<br />
.12y -<br />
'■/2y<br />
2. f<br />
4.<br />
6.<br />
dy 8.<br />
9. x3 dx 10.<br />
f x2 2+<br />
1 dx<br />
sen x<br />
2<br />
dx<br />
cos x<br />
)1- -N/<br />
J<br />
9t2 + 1-1<br />
Nt3<br />
1<br />
"\rx-<br />
dx2<br />
sen x<br />
'dt<br />
3/2 + 3<br />
± x<br />
3<br />
dt<br />
dx<br />
x5 + 2x2 - 1 dx<br />
X 4<br />
x2 ± 1 dx<br />
x2<br />
1 _ X2<br />
Introdução à integração 339<br />
Nos exercícios de 1 a 10, calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir<br />
os resultados.<br />
Nos exercícios de 11 a 30, calcular as integrais indefinidas.<br />
J<br />
\4/<br />
4<br />
4<br />
7<br />
X X-<br />
(<br />
e<br />
t<br />
17. f — + "\it- + -<br />
2<br />
1 dt<br />
t<br />
19. - e-x) dx<br />
dx<br />
Á.8x4 - 9x3 + 6x2 - 2x + 1<br />
cos O • tg OdO<br />
x2<br />
dx<br />
20. f(t + dt
340 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
21. J<br />
25.<br />
f<br />
x-1/3 - 5 dx<br />
x<br />
sec2 x (cosa x + 1) dx<br />
x2 — 1<br />
d<br />
+ 1x<br />
J x2<br />
27. J (et - 4 16t + ) dt 28.<br />
22. — h et + cosh t) dt<br />
f (a,2 a2 ,<br />
a O, constante.<br />
26. '3N1 8 (t - 2)6 (t + ) 3 dt<br />
2<br />
ln x<br />
x ln x`- dx<br />
29. tg2 x cosec2 x dx 30: (x - 1)2 (x + 1)2 dx<br />
31.<br />
dt<br />
J - 1/2) t"<br />
onde n E z.<br />
32. Encontrar uma primitiva F, da função f(x) = x213 + x, que satisfaça F(1) = 1.<br />
33. Determinar a função f(x) tal que<br />
5 f(x)<br />
dx = x2 + 2 cos 2x + c .<br />
34. Encontrar uma primitiva da função f(x) = — + 1 que se anule no ponto x = 2.<br />
35. Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade<br />
1<br />
f( x) dx = sen x - x cos x - + c , determinar f (n/4).<br />
36. Encontrar uma função f tal que f '(x) + sen x = O e ,ff0) = 2.
Introdução à integração 341<br />
6.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU<br />
MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO<br />
Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função, aplicando<br />
uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável. Este processo<br />
é análogo à regra da cadeia para derivação e pode ser justificad-o como segue.<br />
Sejam flx) e F(x) duas funções tais que F ' (x) = f(x). Suponhamos que g seja<br />
outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos<br />
considerar a função composta F o g.<br />
Pela regra da cadeia, temos<br />
[F(g(x))]' = F ' (g(x)) • g ' (x) = f(g(x)) • g '(x), isto é, F(g(x)) é uma primitiva<br />
de f(g(x)) • g ' (x).<br />
Temos, então<br />
f (g (x)) g' (x) dx = F (g (x)) + c . (1)<br />
Fazendo u = g(x), du =g '(x) dx e substituindo em (1), vem<br />
f (g (x)) g ' (x) dx = f (u) du = F (u) + c.<br />
Na prática, devemos então definir uma função u = g(x) conveniente, de tal<br />
forma que a integral obtida seja mais simples.<br />
6.3.1 Exemplos. Calcular as integrais:<br />
(i)<br />
\1-<br />
1 +2x x2dx,s<br />
Fazemos u = 1 x2. Então, du = 2x dx. Temos,<br />
du ,1 1 1 r<br />
1 + x2 dxu
342 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
= 111 114 + C<br />
(ii) sen2 x cos x dx.<br />
= ln (1 +x2)+ c.<br />
Se fizermos u = sen x, então du = cos x dx. Assim,<br />
sen2 x cos x dx = Ju2du<br />
(iii) sen (x + 7) dx.<br />
= -<br />
U3<br />
+ C<br />
3<br />
sena x<br />
3<br />
+ c<br />
Fazendo u = x + 7, temos du = dx. Então,<br />
J sen (x + 7) dx = J sen u du<br />
(iv) f tg x dx.<br />
= - COS U + C<br />
= - cos (x + 7) + c.<br />
Podemos escrever tg x dx = sen x dx<br />
cos x
Fazendo u = cos x, temos du = — sen x dx e então sen x dx = — du. Portanto,<br />
tg x dx = r — du<br />
u<br />
(v) I dx<br />
(3x — 5) 8<br />
= — ln I cos x 1 + c.<br />
du — — ln lu I + c<br />
Fazendo u = 3x — 5, temos du = 3 dx ou dx = 1/3 du. Portanto,<br />
(3x dx_ 5)8.1* 1/3 du 1 1 u - 7<br />
3 j . ir 8 du = 3 _ 7 + c<br />
u8<br />
(vi) (x + sec 2 3x) dx.<br />
Podemos escrever,<br />
f<br />
—1<br />
+ c .<br />
21 (3x — 5)7<br />
(x + sec2 3x) dx = f x dx + J sec2 3x dx<br />
Introdução à integração 343<br />
x2<br />
— 2 + f sec2 3x dx . (1 )<br />
Para resolver J sec2 3x dx fazemos a substituição u = 3x. Temos, então<br />
du = 3dx ou dx = 1/3 du Assim,
344 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
J 1 1<br />
sec2 3x dx = sec2 u • — 3 du = — 3 sec2 u du<br />
Substituindo em (I), obtemos<br />
1 1<br />
= — 3 tg u + c = — 3 tg 3x + c .<br />
X21<br />
(x + sec2 3x) dx = — — tg 3x + c .<br />
2 3<br />
du<br />
u2 , (a O). 2<br />
+ a<br />
Como a O, podemos escrever a integral dada na forma<br />
du1 f.<br />
u2 + u2 +<br />
a2<br />
du •<br />
+ 1<br />
a 2<br />
Fazemos a substituição v = u a. Temos então, dv = 1/a du ou du = a dv.<br />
Portanto,<br />
du1 f a dv<br />
u 2 + a 2 a2 J v2 + 1<br />
1f dv<br />
a -1 v2 1- 1<br />
1<br />
=— a arc tg v + c<br />
1<br />
= arc tg — + c .<br />
a<br />
a
Escrevemos,<br />
r2 + dx 6x + 13 •<br />
Introdução à integração<br />
Para resolver esta integral devemos completar o quadrado do denominador.<br />
x2 +6x+13 = x2 +2•3x+9-9+13<br />
Portanto,<br />
= (x + 3)2 + 4.<br />
dx dx<br />
x2 + 6x + 13 (x + 3)2 +<br />
Fazendo u = x + 3, du = dx e usando o exemplo anterior, obtemos<br />
dx du<br />
= — 12 arc tg + c<br />
/ .x2 + 6x + 13<br />
u.. ± 2<br />
2<br />
2<br />
(ix) — 2<br />
x + 1<br />
1 arc tg x + 3<br />
= — 2 2 + c .<br />
Neste caso, fazemos a substituição u = — 2 . Então, u2 = x — 2 ou x = u2 + 2,<br />
ou ainda, dx = 2 u du.<br />
Substituindo na integral, vem<br />
— 2<br />
x + 1 dx 2 u du<br />
u2 + 2 + 1<br />
2 u2 du 2 u2 du<br />
u2 + 3 u2 + 3<br />
345
346 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
Efetuando a divisão dos polinômios, temos<br />
— 2<br />
x + 1<br />
(x) J .Nit2 - 2 t4 dt .<br />
Escrevemos,<br />
— 3<br />
dx 2 ( 1 + ) du<br />
u2 3<br />
2 [ du 3<br />
= 2 u — 6 J. du<br />
u2 + 3<br />
du<br />
u2 + 3<br />
6<br />
ar c= 2 u — tg + c<br />
.N13 '‘1 3<br />
6 x —<br />
= 2 -■ix — 2 — arc tg •Ni 2 + c .<br />
'Vt2 —2 t4 d = f t2 (1 — 2 t2) dt = J t — 2 t2 dt .<br />
—<br />
Fazendo u = 1 — 2t2, temos du = — 4t dt e então t dt = du Assim,<br />
.\it2 - 2 t4 dt<br />
u1/2 — du<br />
4<br />
1 u3/2— 1<br />
4 3/2 4- c<br />
1<br />
_ — 4 u 1/2 du<br />
— 2 t2)3/2 + C .
6.4 EXERCÍCIOS<br />
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.<br />
Introdução à integração 347<br />
(2x2 + 2x — 3) 10 (2x + 1) dx (x3 — 2) 1/7 x2 dx<br />
f 5 x dx<br />
.\1X —<br />
1 1Ix2 + 2x4 dx f<br />
et dt<br />
u et + 4 1<br />
11.<br />
15. 1<br />
. 5x "‘/4 — 3x2 dx<br />
(e2t + 2) 1/3 e2t dt<br />
ei/x + 2<br />
tg x sec2 x dx 10. senil x cos x dx<br />
sen x dx<br />
COS 5 X<br />
ex cos 2 et dx<br />
5. sen (50 — 7t) de<br />
2 sec2 0 de<br />
a + b tg 0<br />
19( dy<br />
y` — 4y + 4<br />
1<br />
x2<br />
dx<br />
2 sen x — 5 cos x dx<br />
cos x<br />
cos X2 dx<br />
3i.arc sen y<br />
dy<br />
—y2<br />
18.<br />
( 16 dx + r2<br />
).‘./ S sen 0 cos g O de
348 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
21.<br />
23.<br />
25.<br />
27.<br />
29.<br />
31.<br />
33.<br />
35.<br />
37.<br />
39.<br />
41.<br />
43.<br />
ln x2\,<br />
dx 22.<br />
x<br />
f 'N/3 t4 + t2 dt 24.<br />
3 dx<br />
-I x2 - 4x + 1<br />
+ 3<br />
x - 1<br />
dx<br />
26.<br />
28.<br />
f (sen 4x + cos 27c) dx 30.<br />
f x e3x2 dx<br />
dt<br />
t ln t<br />
.f (e2x + 2)5 e2x dx<br />
cos x f dx<br />
3 - sen x<br />
5 x2 -V1 + x dx<br />
32.<br />
34.<br />
36.<br />
38.<br />
40.<br />
f t cos t2 dt 42.<br />
1 sen1/2 2 O cos 2 O dO 44.<br />
(e" + e-arf dx<br />
4 dx<br />
4 xa + 20x + 34<br />
est dx<br />
e2x + 16<br />
3 dx<br />
x lna 3x<br />
( 2x2 1- x dx<br />
dt<br />
(2 +<br />
8x \I1 - 2x2 dx<br />
ef 4 t dt<br />
'‘/4 t2 + 5<br />
l' dv<br />
i 'i-v- (1 + 'Nfv-)5<br />
f x4 e- x s dx<br />
5 8x2 16x3 + 5 dx<br />
5 seca (5x + 3) dx
45.<br />
sen O dO<br />
•/ (5 - cos 0) 3<br />
46. $<br />
Introdução à integração 349<br />
cotg u du<br />
47. f (1 + e-at)3/2 e-at dt , a > O 48. 1 cos<br />
x<br />
49. r ,Ft - 4 dt 50. x2 (sen 2x3 + 4x) dx<br />
$<br />
6.5 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES<br />
ou,<br />
ou ainda,<br />
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos,<br />
[f(x) g(x)]' = f(x) - g ' (x) + g(x) • f ' (x)<br />
f(x) • g ' (x) = [f(x) g(x)]' - g(x) • f ' (x)•<br />
Integrando ambos os lados dessa equação, obtemos<br />
f (x) • g ' (x) dx = f [f (x) g (x)r dx - g (x) • f ' (x) dx,<br />
f (x) • g ' (x) dx = f (x) • g (x) -1 g (x) • f ' (x) dx. (1)<br />
Observamos que na expressão (1) deixamos de escrever a constante de integração,<br />
já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. Todas elas podem<br />
ser representadas por uma única constante c, que introduziremos no final do processo.<br />
Na prática, costumamos fazer<br />
u = f(x) du = f ' (x) dx<br />
dx
350 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
e<br />
v = g(x) dv = g '(x) dx.<br />
Substituindo em (1), vem<br />
que é a fórmula de integração por partes.<br />
6.5.1 Exemplos<br />
(i) Calcular j x e-2x dx.<br />
Antes de resolver esta integral, queremos salientar que a escolha de u e dv<br />
são feitas convenientemente.<br />
e obtemos<br />
Neste exemplo, escolhemos u = x e dv = e-2x dx. Temos,<br />
u= x du= dx<br />
dv = e-2x dx v= j e-2x dx = 2 1 e-2x .<br />
Aplicamos então a fórmula<br />
f udv=u•vivdu<br />
dx =<br />
— 1<br />
2<br />
e- 2x<br />
— 1<br />
2<br />
dx
Calculando a última integral, vem<br />
x • e-2x dx — 2<br />
1 1<br />
x e — — —4 e — + c .<br />
Introdução à integração 351<br />
Observamos que se tivéssemos escolhido u = C2x e dv = x dx, o processo nos<br />
levaria a uma integral mais complicada.<br />
(ii) Calcular ln x dx.<br />
Seja<br />
u x du = llx dx<br />
dv = dx v = dx = x.<br />
Integrando por partes, vem<br />
5 ln xdx = (ln x)• x — x• 1 dx<br />
= xlnx—f dx<br />
x ln x — x + c.<br />
(iii) Calcular x2 sen x dx.<br />
Neste exemplo, vamos aplicar o método duas vezes. Seja<br />
u = x2du=2xdx<br />
dv = sen x dx v = sen x dx = — cos x.
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
Integrando por partes, vem<br />
x2 •sen x dx = x2 (— cos x) — J(— cos x) 2x dx<br />
= —x2 cosx+2fxcosxdx.<br />
A integral x cos x dx deve ser resolvida também por partes. Fazemos,<br />
u = x du = dx<br />
dv = cos x dx v = J cos x dx = sen x.<br />
Temos,<br />
x cos x dx = x sen x — J sen xdx.<br />
Logo,<br />
. x2 sen j x dx = cos x + 2 [x sen x — sen x dx]<br />
(iv) Calcular eax sen x dx.<br />
—x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + c.<br />
Este exemplo ilustra um artifício para o cálculo, que envolve também duas<br />
aplicações da fórmula de integração por partes.<br />
Seja<br />
u = e2x du = 2 e2x dx<br />
dv = sen x dx v = J sen x dx = — cosi.
Aplicando a integração por partes, vem<br />
e21` sen x dx e2r (- cos x) - f (- cos x) 2e2x dx<br />
—e2x COS X 1- 2 e2x cos x dx.<br />
Introdução à integração 353<br />
Resolvendo .1 e2x cos x dx por partes, fazendo u = e2x e dv = cos x dx,<br />
encontramos<br />
S e2x<br />
sen x dx = -e2x cos x + 2 [e2x sen x - f sen x • 2 elt. dx]<br />
= -e2x cos x + 2 e2x sen x - 4 f ea' sen x dz. (2)<br />
Observamos que a integral do 2 membro é exatamente a integral que quere-<br />
mos calcular. Somando 4 f e2x sen x dx a ambos os lados de (2) , obtemos<br />
5 .1 e2x sen x dx = -e2x cos x + 2 e2x sen x.<br />
Logo,<br />
e2x sen x dx = 5 (2 e2x sen x - e2x cos x) + c .<br />
(v) Calcular f sena x dx.<br />
Neste caso, fazemos<br />
u = sen2 x du = 2 sen x cos x dx<br />
dv = sen x dx v = f sen x dx = - cos x.<br />
.r,<br />
, C' s<br />
ttik -<br />
V --
354 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
Então,<br />
J<br />
sena x dx = sen2 x (- cos x) - - cos x • 2 sen x cos x dx<br />
6.6 EXERCÍCIOS<br />
- sen2 x cos x + 2 cos2 x sen x dx<br />
COS 3 X<br />
= - sen 2 X COS X — 2<br />
3 + c .<br />
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.<br />
1. $ x sen 5x dx G 5 ln (1 — x) dx<br />
3. f t e4t dt 4. (x f + 1 ) cos 2 x dx<br />
5. f x ln 3 x dx 6. i cos3 x dx<br />
7. f ex cos ";, dx 8. 5 \rx ln x dx<br />
9. cosec3 x dx 10. $ x2 cos a x dx<br />
11. $ x cosec2 x dx 12. j. arc cotg 2x dx
13. f e" sen bx dx<br />
15. X3 — X2 dX<br />
14.<br />
Introdução à integração 355<br />
ln (ax + b)<br />
dx<br />
"■Iax + b<br />
16. J 1n3 2 x dx<br />
17. j. are tg a x dx 18. 5 x3 sen 4x dx<br />
19. f (x — 1) e' dx 20. f x2 ln x dx<br />
21. f x2 ex dx 22. i arc sen ; dx<br />
23. (x — 1) sec2 x dx J 24. e3x cos 4x dx<br />
25. x"- ln x dx , n E N 26. 5<br />
in(x2 +1)dx<br />
27. ln (x + 1 + x2 ) dx 28. x arc tg x dx<br />
29. dx 30. x cose x dx<br />
31. J (x+ 3)2 ex dx 32. J x + 1 dx<br />
33. cos (ln x) dx 34. arc cos x dx<br />
35. seca x dx 36.<br />
x3<br />
evx dx.
356 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
6.7 ÁREA<br />
Desde os tempos mais antigos os matemáticos se predcupam com o problema<br />
de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da<br />
exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são<br />
conhecidas.<br />
Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos<br />
um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por Pn (Figura 6.1(a)).<br />
Seja An a área do polígono P n. Então, An = n AT , onde AT é a área do<br />
triângulo de base /n e altura hn (Figura 6.1(b)).<br />
(a) (b)<br />
Figura 6-1<br />
I •<br />
n n<br />
Como A<br />
T — e o perímetro do polígono Pn é dado por p n = nin,<br />
2<br />
vem<br />
h<br />
A n = n •<br />
In hn pn hn<br />
2 2<br />
Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, n + co, o polígono Pn toma-se uma<br />
aproximação do círculo. O perímetro p n aproxima-se do comprimento do círculo 2nr e<br />
a altura hn aproxima-se do raio r.
Temos,<br />
2 icr r<br />
lim A =<br />
n — n r2 , que é a área do círculo.<br />
n --)<br />
2<br />
Introdução à integração 357<br />
Para definir a área de uma figura plana qualquer, procedemos de forma análoga.<br />
Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos<br />
métodos da geometria elementar.<br />
Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S,<br />
delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por<br />
duas retas x = a e x = b (ver Figura 6.2).<br />
Figura 6-2<br />
Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a, b], isto é, dividimos o intervalo<br />
[a, b] em n subintervalos, escolhendo os pontos<br />
a = x < x < < x. < x. < ...< x n = b .<br />
o 1-1<br />
Seja Axi = xi - xi_ 1 o comprimento do intervalo [x i_ 1 , xi].<br />
Em cada um destes intervalos [x i_ 1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci .<br />
Para cada i, i = 1, n, construímos um retângulo de base Ax i e altura f(ci)<br />
(ver Figura 6.3).
358 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
Figura 6-3<br />
A Figura 6.4 ilustra esses retângulos nos casos n = 4 e n = 8.<br />
Figura 6-4<br />
A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por:<br />
Sn = f(c 1) Axi +1(c2) &2 +... +.ficn) An<br />
= fici) Axi .<br />
i = 1<br />
Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).
Introdução à integração 359<br />
Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada Azi, i = 1, n,<br />
torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente<br />
entendemos como a área de S.<br />
6.7.1 Definição. Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área<br />
sob a curva y =flx), de a até b, é definida por<br />
A = Hm<br />
n<br />
máx A x. —> O i = 1<br />
flc i) A xi,<br />
onde para cada i = 1, n, c i é um ponto arbitrário do intervalo<br />
É possível provar que o limite desta definição existe e é um<br />
negativo.<br />
6.8 INTEGRAL DEFINIDA<br />
[xi_i , xil.<br />
número não<br />
A integral definida está associada ao limite da definição 6.7.1. Ela nasceu com<br />
a formalização matemática dos problemas de áreas. De acordo com a terminologia<br />
introduzida na seção anterior, temos a seguinte definição.<br />
6.8.1 Definição. Seja f uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma<br />
partição qualquer de [a, b]. A integral definida de f de a até b, denotada por<br />
r f(x) dx ,<br />
a<br />
é dada por<br />
fb flx) dx = lim<br />
a máx Ari —> O<br />
desde que o limite do 2° membro exista.
360 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
Se fb f(x) dx existe, dizemos que f é integrável em [a, b].<br />
a<br />
Na notação sb f(x) dx , os números a e b são chamados limites de integração<br />
a<br />
(a = limite inferior e b = limite superior).<br />
Se f é integrável em [a, b], então<br />
Sb f(x) dx = f(t) dt = fb f(s) ds ,<br />
a a a<br />
isto é, podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente.<br />
Quando a função f é contínua e não negativa em [a, b], a definição da integral<br />
definida coincide com a definição da área (Definição 6.7.1). Portanto, neste caso, a<br />
integral definida<br />
f(x) dx<br />
a<br />
é a área da região sob o gráfico de f de a até b.<br />
Sempre que utilizamos um intervalo [a, b], supomos a < b. Assim, em nossa<br />
definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite<br />
superior.<br />
6.8.2 Definição<br />
(a) Se a > b, então<br />
J(x) dx = — r f(x) dx ,<br />
se a integral à direita existir.<br />
(b) Se a = b e f(a) existe, então<br />
f f(x) dx = O .<br />
a
Introdução à integração 361<br />
É muito importante saber quais funções são integráveis. Uma ampla classe de<br />
funções usadas no Cálculo é a classe das funções contínuas. O teorema abaixo, cuja<br />
demonstração será omitida, garante que elas são integráveis.<br />
6.8.3 Teorema. Se f é contínua sobre [a, b], então f é integrável em [a, b].<br />
Propriedades da Integral Definida<br />
6.8.4 Proposição. Se f é integrável em [a, b] e k é um número real arbitrário, então<br />
k f é integrável em [a, b] e<br />
Sb k f(x) dx = k f f(x) dx<br />
a a<br />
Prova. Como f é integrável em [a, b], existe o<br />
lim<br />
máx Ax. O<br />
= 1<br />
f(c i) Axi ,<br />
e portanto, podemos escrever<br />
Sb k f(x) dx lim k f(c Axi<br />
a máx exiO =. 1<br />
k lim (c. Axi<br />
áx Az . O =<br />
= k t f(x) dx .<br />
a<br />
n
362 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
6.8.5 Proposição. Se f e g são funções integráveis em [a, b], então f + g é integrável<br />
em [a, b] e<br />
r „(x) ,g(x)1dx f(x) dx + g(x) dx.<br />
a a a<br />
Prova. Se f é integrável em [a, b] existe o limite<br />
lim fiC i) ,\x , que é a fb f(x) dx .<br />
máx Az. --> O i = 1 a<br />
Se g é integrável em [a, b] , existe o limite<br />
n<br />
lim E g(c i) Axi , que é a fb g(x) dx .<br />
máx Ax —> O = a<br />
Escrevemos então,<br />
fb+ g(x)1 dx = lim Cffci) + g(c) ) Axi<br />
a máxAxi-÷0 i=1<br />
lim f(c i) Axi + lim g(c i)<br />
máx O i = 1máx O i = 1<br />
Ç f(x) dx + g(x) dx<br />
a a<br />
Observamos que esta proposição pode ser estendida para um número finito de<br />
funções, ou seja,
[Ti (x) + f2(x) + + fn(x)] dx =<br />
a<br />
Introdução à integração 363<br />
fi (x) dx + Sb f2 (x) dx ...<br />
a<br />
+ fb fn (x)dx<br />
a<br />
Vale também para o caso de termos diferença de funções, isto é,<br />
fb [f(x) — g(x)] dx = r f(x) dx — g(x) dx .<br />
a a a<br />
6.8.6 Proposição. Se a
364 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
Usando a definição de integral definida, vem<br />
fb flx) dx lim f(ci) Axi<br />
a máxhai -› o<br />
1<br />
lim<br />
máx Azi -> O<br />
( r<br />
i = 1<br />
fici)Axi + f(ci)Axi<br />
= r + 1<br />
llm f(ci)Axi + lim flc)Axi<br />
MáJC AXiO i MáX AXi -> O i=r+i<br />
f(x) dx + fb fix) dx<br />
a c<br />
Esta propriedade pode ser generalizada: "Se f é integrável em um intervalo<br />
fechado e se a, b, c são pontos quaisquer desse intervalo, então<br />
fb flx) dx = Sc f(x) dx + fb fix) dx ."<br />
a a c<br />
A Figura 6.5 ilustra a proposição 6.8.6, para o caso em que f(x) > O. A área<br />
do trapezóide ABCD adicionada à área do trapezóide BEFC é igual à área do trapezóide<br />
AEFD.<br />
Figura 6-5
Introdução à integração 365<br />
6.8.7 Proposição. Se f é integrável e se f(x) >_ O para todo x em [a, b], então<br />
Sb f(x) dx O .<br />
a<br />
Prova. Como .Aci ) O para todo ci em [xi_ 1 , xi], segue que<br />
Portanto,<br />
= 1<br />
f(ci) AxiO .<br />
n<br />
lim .Ac i)A ^. O<br />
MáXAXi -4 O = 1<br />
e dessa forma fb f(x) dx O .<br />
a<br />
6.8.8 Proposição. Se f e g são integráveis em [a, b] e f(x) g(x) para todo x em<br />
[a, b], então<br />
Prova. Fazemos<br />
.ftx) dx r g(x) dx .<br />
a a<br />
I = r f(x) dx — g(x) dx .<br />
a a
366 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
Devemos mostrar que 1 _^ O. Usando a proposição 6.8.5, podemos escrever<br />
1 = Sb f(x) dx — jb g(x) dx<br />
a a<br />
= fb Ú(x) — g(x)) dx .<br />
a<br />
Como f(x) g(x) para todo x e [a, b] temos que f(x) — g(x) O, para todo<br />
x e [a, b].<br />
Usando a proposição 6.8.7, concluímos que I _^ O.<br />
6.8.9 Proposição. Se f é uma função contínua em [a, b], então<br />
fb f(x) dx<br />
a<br />
Sb I f(x) dx<br />
a<br />
Prova. Se f é contínua em [a, b], então<br />
a) f é integrável em [a, b];<br />
b) I f 1 é contínua em [a, b];<br />
c) I f 1 também é integrável em [a, b].<br />
Sabemos que<br />
— I f(x) I f(x) I f(x) I .<br />
Usando a proposição 6.8.8, escrevemos<br />
fb — ifix) dx fb f(x) dx r,fix)I dx .<br />
a a a
Pela proposição 6.8.4, vem<br />
— fb 1f(x) 1 dx 5 f(x) dx 5_ fb Igx) 1 dx .<br />
a a a<br />
Usando a propriedade 1.3.3(i), segue que<br />
f(x) dx<br />
a<br />
sb f(x) dx<br />
a<br />
Introdução à integração 367<br />
Na proposição a seguir, cuja demonstração será omitida, apresentamos o Teorema<br />
do Valor Médio para integrais.<br />
6.8.10 Proposição. Se f é uma função contínua em [a, b], existe um ponto c entre a<br />
e b tal que<br />
fb flx) dx = (b — a) f(c) .<br />
a<br />
Seflx) O, x e [a, b], podemos visualizar geometricamente esta proposição.<br />
Ela nos diz que a área abaixo da curva y =f(x), entre a e b, é igual à área de um retângulo<br />
de base b — a e altura f(c) (ver Figura 6.6).<br />
Figura 6-6
. 368 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
6.9 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO<br />
O teorema fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de<br />
derivação e integração. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma função<br />
contínua f: [a, b] —> I?, podemos calcular a sua integral definida f(t) dt . Com<br />
a<br />
isso, obtemos uma maneira rápida e simples de resolver inúmeros problemas práticos<br />
que envolvem o cálculo da integral definida.<br />
Para apresentar formalmente o teorema, inicialmente vamos definir uma<br />
importante função auxiliar, como segue.<br />
Tomamos a integral definida<br />
ff(t)dt ,<br />
a<br />
fixamos o limite inferior a e fazemos variar o limite superior. Então, o valor da integral<br />
dependerá desse limite superior variável, que indicaremos por x. Fazendo x variar no<br />
intervalo [a, b], obtemos uma função G(x), dada por<br />
G(x) = r flt) dt .<br />
a<br />
Intuitivamente, podemoS compreender o significado de G(x), através de uma<br />
análise geométrica. Conforme vimos na seção 6.8, se f(t) _^ O, V t E [a, b], a integral<br />
f(t) dt<br />
a<br />
representa a área abaixo do gráfico de f entre a e b (ver Figura 6.7(a)).<br />
Da mesma forma,<br />
G(x) = f f(t) dt<br />
a<br />
nos dá a área abaixo do gráfico de f entre a e x (ver Figura 6.7(b)). Podemos observar<br />
que G(a) = O e G(b) nos dá a área da Figura 6.7(a).
lição.<br />
Introdução à integração 369<br />
Y = f(t) Y = f<br />
(a) (b)<br />
Figura 6-7<br />
Vamos agora, determinar a derivada da função G(x). Temos a seguinte propo-<br />
6.9.1 Proposição. Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b]. Então<br />
a função G: [a, b] —> n definida por<br />
G(x) = f(t) dt ,<br />
a<br />
tem derivada em todos os pontos x E [a, b] que é dada por<br />
G ' (x) = f(x), ou seja,<br />
dx<br />
,fft) dt = f(x) .<br />
Prova. Vamos determinar a derivada G ' (x), usando a definição<br />
G '(x) = lim G(x + Ar) — G(x)<br />
Ax<br />
Ax —> O
370 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
e então,<br />
Temos,<br />
r G(x) = f(t) dt ;<br />
a<br />
+Ax<br />
G(x + Ax) = r ,f(t)dt ;<br />
a<br />
+Ax<br />
G(x + dx) — G(x) = J f(t) dt — J f(t) dt .<br />
a a<br />
Usando a proposição 6.8.6, podemos escrever<br />
ix+Ax<br />
r f(t) dt = f(t) dt + r+Ax f(t) dt<br />
j a a<br />
G(x + Az) — G(x) =<br />
+Ax<br />
f(t) dt + r f(t) dt — f<br />
a+Ax<br />
flt) dt<br />
x<br />
J<br />
,fit) dt<br />
a<br />
Como f é contínua em [x, x + Ax}, pela proposição 6.8.10, existe um ponto<br />
x entre x e x + Ax tal que<br />
rx+Ax<br />
f(t) dt = (x + A x — x) f( x )<br />
= f(x- ) Ax<br />
■
Portanto,<br />
lim G(x + A x) — G(x)lim f( ) A x<br />
Ar -4 0 Ax o Ax<br />
= ) .<br />
Az —> O<br />
Introdução à integração 371<br />
Como x está entre x e x + Ax, segue que x x quando Ax —> O. Como f é<br />
contínua, temos<br />
lim f(x ) = lim f( x ) = f(x).<br />
Ax —> X -) X<br />
Logo,<br />
G (. x + A x) — G(x)<br />
hm — f(x) , ou seja,<br />
Ax<br />
G '(x) = f(x).<br />
Observamos que quando x é um dos extremos do intervalo [a, b], os limites<br />
usados na demonstração serão limites laterais. G '(a) será uma derivada à direita e G' (b)<br />
uma derivada à esquerda.<br />
Uma importante conseqüência desta proposição é que toda função f(x) contínua<br />
num intervalo [a, b] possui uma primitiva que é dada por<br />
G(x) = r f(t) dt .<br />
a<br />
Outro resultado importante obtém-se da análise geométrica. Voltando à Figura<br />
6.7, podemos dizer que a taxa de variação da área da Figura 6.7(b) com relação a t é<br />
igual ao lado direito da região.<br />
Podemos agora, estabelecer formalmente' o Teorema Fundamental do Cálculo.
372 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
6.9.2 Teorema. Se f é contínua sobre [a, b] e se F é uma primitiva de f neste<br />
intervalo, então<br />
fb f(t) dt = F(b) — F(a) .<br />
a<br />
Prova. Como f é contínua sobre [a, b], pela proposição 6.9.1, segue que<br />
G(x) = r f(t) dt<br />
a<br />
é uma primitiva de f nesse intervalo.<br />
Seja F(x) uma primitiva qualquer de f sobre [a, b]. Pela proposição 6.1.5,<br />
temos que<br />
F(x) = G(x) + C, V x E [a, b].<br />
Como G(a) = ja f(t) dt = O e G(b) = Sb f(t) dt , calculando a diferença<br />
a a<br />
F(b) — F(a), obtemos<br />
F(t)<br />
b<br />
a<br />
F(b) — F(a) = (G(b) + c) — (G(a) + c)<br />
= G(b) — G(a)<br />
= fb f(t) dt — O<br />
a<br />
= r f(t) dt<br />
a<br />
Observamos que a diferença F(b) — F(a) usualmente é denotada por<br />
. Também escrevemos,<br />
fb f(x) dx = F(x)<br />
a<br />
b<br />
a<br />
= F(b) — F(a) .
6.9.3 Exemplos. Calcular as integrais definidas:<br />
(i) 53 x dx .<br />
Introdução à integração 373<br />
1<br />
Sabemos que F(x) =<br />
2 x2 é uma primitiva de f(x) = x. Portanto,<br />
x dx _ 1<br />
2 x2<br />
2<br />
(ii) cos t dt<br />
o<br />
3<br />
1<br />
— 32 - 2<br />
1<br />
2<br />
12 9 1 4<br />
2 2<br />
A função F(t) = sen t é uma primitiva de f(t) = cos t. Logo,<br />
J<br />
o<br />
cos t dt = sen t<br />
n/2<br />
(iii)<br />
o (x3 — 4x2 + 1) dx .<br />
o<br />
= sen —7t — sen O = 1.<br />
2<br />
Usando as propriedades da integral definida e o Teorema Fundamental do<br />
Cálculo, temos<br />
1<br />
(x3 — 4x2 + 1) dx = x3 dx — 4 x2 dx + dx<br />
O o o<br />
x4<br />
4<br />
—4<br />
x3<br />
3<br />
= ( — 4 — O) — ( — 4 — O) + (1 — O)<br />
3<br />
= —1/12.<br />
1<br />
+ x<br />
1<br />
o
374 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
1 x dx<br />
(iv) 10X2 ± 1<br />
Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida<br />
/ x dx<br />
x2 + 1 •<br />
Para isso, fazemos a substituição u = x2 + 1. Temos então, du = 2x dx ou<br />
du<br />
x dx = — . Portanto,<br />
2<br />
du/2 1 du<br />
– 1<br />
J u 2 u 2<br />
ln lul + c<br />
1<br />
• – 2 ln (x2 + 1) + c .<br />
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos<br />
1.1 x dx<br />
1<br />
• ln (x2<br />
J0<br />
+ 1)<br />
x2 + 1 2<br />
1<br />
= – 2 ln 2 – 1 ln 1<br />
2<br />
In 2 .<br />
Observamos que, para resolver esta integral, também podemos fazer a mudança<br />
de variáveis na integral definida, desde que façamos a correspondente mudança nos<br />
limites de integração.<br />
Ao efetuarmos a mudança de variável fazendo u = x2 + 1, vemos que:<br />
x = O u = 1;<br />
x = 1 u = 2.<br />
1<br />
■
Então,<br />
1 x dx<br />
-I o x2 ± 1 —<br />
(v) 12 x e -X.2 +1 dx .<br />
1<br />
2 du/21 2 du1 — ln I u I<br />
2 1 u 2<br />
= — 1 (ln 2 — ln 1) = — 1 ln 2 .<br />
2<br />
Calculamos primeiro a integral indefinida 1= x e<br />
Introdução à integração 375<br />
2<br />
1<br />
2<br />
x + 1<br />
Fazendo u = —x2 + 1, temos du = —2x dx ou x dx = -- du • Assim,<br />
2<br />
= S eu — du — 1 s — 1<br />
— eu du<br />
2<br />
2<br />
Logo,<br />
2 —<br />
x e-x + 1 dx — 1<br />
.1<br />
2<br />
6.10 EXERCÍCIOS<br />
x2 + 1<br />
2<br />
eu + c<br />
1 c_x2 + + c .<br />
2<br />
—14 + 1 1 - 1 + 1 — 1 e 3 +<br />
C + —<br />
2 2 2 2<br />
2 2 2<br />
1. Calculando as integrais / 1 = f x2 dx , 12 = x dx e 13 = dx ,<br />
obtemos // = 7/3, /2 = 3/2 e I3 = 1. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
376 Cálculo A- Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
a) 12<br />
c-1) dx b) 2x (x + 1) dx<br />
c) 2 (x - 1) (x - 2) dx d) 52 (3x + 2) 2 dx<br />
1<br />
2. Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdades:<br />
a) f 3<br />
(3X2 + 4) dx $ 3(2x2<br />
+ 5) dx<br />
1 1<br />
b)<br />
-1 dx <<br />
-2 X -2 2<br />
s3rc✓2<br />
c) sen x dx O<br />
- cos x dx O .<br />
o ni2<br />
3.<br />
1 5,---<br />
Se f Nx2 dx =<br />
O<br />
7 r calcular dt.<br />
4.<br />
r./ 2<br />
Se 9 cos2 t dt = 9 71 calcular<br />
o<br />
4 '<br />
- cos2 O dO.<br />
5. Verificar se o resultado das seguintes integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las.<br />
a) fo dx$2. n<br />
c)<br />
0 x + 2<br />
(2x + 1) dx<br />
2<br />
6. Determinar as seguintes derivadas:<br />
a) dx r 2 "\it 4 dt I L.<br />
c)<br />
d<br />
d 8 s 1<br />
t sen t dt<br />
b)<br />
o<br />
3<br />
1<br />
sen t dt<br />
(X2 — 2x - 3) dx<br />
m d 2x A_<br />
dy J 3 x2 + 9 `4-4
a) f(x) =<br />
2x + , — 1 x < O<br />
5 , 0 x
378 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
10. Se f(x) é contínua e m 5f(x) para todo x em [a, b], provar que<br />
m (b - a) fb f(x) dx . Ilustrar graficamente, supondo m > 0.<br />
a<br />
11. Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10, para encontrar o menor e o maior valor possível<br />
das integrais dadas a seguir:<br />
4<br />
a) r 5x dx b) 1 2x2 dX<br />
3 -2<br />
c) .14 I x - 11 dx 14 (x4 - 8,12 + 16) dx<br />
-1<br />
Nos exercícios de 12 a 34, calcular as integrais.<br />
12. x(1,_ x3) dx 13. r (x2_ 4x + 7) dx<br />
-1 - 3<br />
14. s2 dx<br />
6<br />
1 x<br />
16.<br />
18.<br />
20.<br />
22.<br />
dy<br />
o '13y + 1<br />
f1 x2 dx<br />
- 1<br />
,1x3 + 9<br />
4 dx<br />
r.,Ix2+ 9<br />
24. _ 'NI2x - 1 dx 25.<br />
15. r 2t dt<br />
4<br />
17. 7.<br />
19.<br />
$ 12t - 4 I dt 21.<br />
-2 5<br />
1 021c<br />
23. JJ o<br />
r/4<br />
n/4<br />
sen x cos x dx<br />
I sen xl dx<br />
1x2 - 3x + 2 dx<br />
v2 dv<br />
- 2 ( v 3 — 2)2<br />
dx<br />
,(,,,+,)3
26. x + x dx<br />
J o<br />
2<br />
cos x<br />
28.<br />
J7 (1 + sen x)5 dx<br />
27. ri2<br />
29. f<br />
Introdução à integração 379<br />
O<br />
O<br />
sen2 x dx<br />
(2x + 1)- 1 /2 dx<br />
r 5x3 7x2<br />
30. ecx dx<br />
31.<br />
- 5x + 2<br />
dx<br />
o<br />
1 x2 2 1 2<br />
32. 1.2 x ln x dx 33. s- (t — — ) dt<br />
*I 1 - 3 t<br />
s- 1 x3 8<br />
34.<br />
dx .<br />
o x + 2<br />
35. Seja f contínua em [-a, a]. Mostrar que:<br />
a) Se f é par então ia f(x) dx = 2 ia f(x) dx .<br />
-a O<br />
b) Se f é ímpar então f f(x) dx = O .<br />
-a<br />
36. Usar o resultado do exercício 35 para calcular:<br />
a) fn 2 sen x dx<br />
-rz<br />
c)<br />
fl<br />
- 1<br />
(x4 + x2) dx .<br />
6.11 CÁLCULO DE ÁREAS<br />
b)<br />
-<br />
cos x dx<br />
• 7t<br />
O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração. Vejamos as<br />
situações que comumente ocorrem.
380 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
6.11.1 Caso I. Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas<br />
x = a, x = b e o eixo dos x, ondef é contínua e.fix) O, V XE [a, b] (ver Figura<br />
6.8).<br />
Neste caso, a área é dada por<br />
fb f(x) dx .<br />
a<br />
Figura 6-8<br />
6.11.2 Exemplo. Encontre a área limitada pela curva y = 4 x 2 e o eixo dos x.<br />
A curva y = 4 — x2 intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa —2 e 2 (ver<br />
Figura 6.9).<br />
Figura 6-9
2<br />
A = (4 — x2) 1 dx<br />
-2<br />
2<br />
X3<br />
4x — —<br />
3<br />
/ -2<br />
N‘N<br />
y= f(x)<br />
Introdução à integração 381<br />
No intervalo [-2 , 2], y = 4 — x2 ^ 0. Assim, a área procurada é a área sob o<br />
gráfico de y = 4 — x2 de —2 até 2. Temos,<br />
[ (8 — 8/3) — 8 —<br />
Portanto, A = 32/3 u • a (32/3 unidades de área).<br />
2) 3 \ = 32<br />
3 — 3 '<br />
6.11.3 Caso II. Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas<br />
x = a, x = b e o eixo dos x, ondef é contínua eflx) 0, V x E [a, b] (ver Figura<br />
6.10).<br />
É fácil constatar que neste caso basta tomar o módulo da integral<br />
r f(x) dx , ou seja,<br />
a<br />
A =<br />
jb f(x) dx<br />
a<br />
Figura 6-10
382 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
6.11.4 Exemplos.<br />
(i) Encontre a área limitada pela curva y = — 4 + x 2 e o eixo dos x.<br />
A curva y = x2 — 4 intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa —2 e 2 (ver<br />
Figura 6.11).<br />
Figura 6-11<br />
No intervalo [-2, 2], y = x 2 — 4 O. Assim,<br />
A =<br />
f2 (x2 — 4) dx<br />
- 2<br />
— 32<br />
3<br />
32 3 u.a.<br />
(ii) Encontre a área da região S, limitada pela curva y = sen x e pelo eixo<br />
dos x de O até 27c.<br />
Precisamos dividir a região S em duas subregiões S 1 e S2 (ver Figura 6.12).
Figura 6-12<br />
Introdução à integração 383<br />
No intervalo [O, n], y = sen x ^ O e no intervalo [n, 2n], y = sen x O. Portanto,<br />
se A l é a área de S 1 e A 2 é a área de S2, temos<br />
A = A i +A 2<br />
= sen x dx +<br />
o<br />
= — cos X<br />
1.27t sen x dx<br />
7C<br />
— cos x<br />
o 7t<br />
—cos n + cos O + I —cos 2n + cos TC I<br />
— (— 1) + 1 + j — 1 1- (— 1)<br />
= 4 u.a.<br />
6.11.5 Caso III. Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g,<br />
pelas retas x = a ex= b, onde f e g são funções contínuas em [a, b]<br />
e f(x) ^ g(x), V x e [a, b].<br />
Neste caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores<br />
não negativos para todo x E [a, b] (ver Figura 6.13).
384 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
Figura 6-13<br />
Então a área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área<br />
sob o gráfico de g, ou ainda,<br />
A rf(x) dx — g(x) dx<br />
a a<br />
• fb (f(x) — g(x)) dx .<br />
a<br />
Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado. Basta imaginar o eixo dos x<br />
deslocado de tal maneira que as funções se tornem não-negativas, V x e [a, b].<br />
Observando a Figura 6.14, concluímos que<br />
A' A fb (/ (x) — g 1 (x)) dx<br />
a<br />
• fb (f(x) — g(x)) dx .<br />
a<br />
f
6.11.6 Exemplos<br />
Figura 6-14<br />
(i) Encontre a área limitada por y = x 2 e y = x + 2.<br />
Introdução à integração 385<br />
As curvas y = x2 ey=x+ 2 interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e 2 (ver<br />
Figura 6.15).<br />
No intervalo [-1, 2], temos x + 2 x2. Então,<br />
x2x3<br />
A = $2 (x ± 2- x2) dx = [-2- + 2x' - -3-<br />
= — 22<br />
2<br />
9<br />
= 2 u.a.<br />
2 3 \ ( (-- 1)2( 1) 3<br />
2 + 2 • (- 1) -<br />
3<br />
3<br />
)<br />
2
386 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
Figura 6-15<br />
(ii) Encontre a área limitada pelas curvas y = x 3 e y x.<br />
As curvas y = x 3 e y = x interceptam-se nos pontos de abscissa -1, O e 1 (ver<br />
Figura 6.16).<br />
t<br />
Figura 6-16<br />
No intervalo [-1, 0], x < x3 e no intervalo [0, 1], x > x3. Logo,<br />
A = J.° (x3 - x) dx + (x - x3) dx<br />
-1 O<br />
= 1 u.a.<br />
2<br />
o<br />
-1<br />
x2 x4<br />
( —2 —4<br />
1
Introdução à integração 387<br />
Observamos que poderíamos ter calculado a área da seguinte forma:<br />
1<br />
A = 2 (x - x3) dx = - u.a. ,<br />
O<br />
2<br />
pois a área à esquerda do eixo dos y é igual a que se encontra à sua direita.<br />
(iii) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x 2 - 1 e y = x + 1.<br />
As curvas y = x2 -1 e y = x + 1 interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e<br />
2 (ver Figura 6.17).<br />
Figura 6-17<br />
No intervalo [-1, 2], x + 1 _^ x2 - 1. Logo,<br />
2<br />
A = [(x + 1) - (x2 - 1)] dx<br />
- 1<br />
f2<br />
- 1<br />
( x2<br />
2<br />
= 9/2 u.a.<br />
— X2 ± 2) dx<br />
+ 2x<br />
2
388 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
(iv) Encontre a área da região S limitada pelas curvas y - x = 6, y - x3 = O e<br />
2y + x = O.<br />
Devemos dividir a região em duas subregiões S 1 e S2 (ver Figura 6.18).<br />
Figura 6-18<br />
No intervalo [- 4, O], a região está compreendida entre os gráficos de<br />
x<br />
y= e y= 6+ x (região S i ).<br />
2<br />
A = A l + A 2'<br />
No intervalo [O, 2], está entre os gráficos de y = x 3 e y = x + 6 (região S2).<br />
Se A l é a área de S 1 e A2 é a área de S 2, então a área A procurada é dada por<br />
x<br />
Cálculo de A • No intervalo [- 4 , O] , 6 + x - -<br />
1- . Assim,<br />
2<br />
A = [(6 + x) - (-x/2)] dx<br />
- 4<br />
J t) ( 6 +<br />
-4 2<br />
dx
= 12 u.a.<br />
+ 3x2<br />
4<br />
o<br />
—4<br />
Cálculo de A 2: No intervalo [O, 2], 6 + x ?_ x3. Então,<br />
A = j.2 [(6 + x) — x3] dx<br />
2 O<br />
6x +<br />
= 10 u.a.<br />
x2 x4<br />
Portanto, A = A l + A 2 = 12 + 10 = 22 u.a.<br />
6.12 EXERCÍCIOS<br />
4<br />
)<br />
Introdução à integração 389<br />
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitaria pelas curvas dadas.<br />
1. x=1/2, x= '■47 . e y= x+2 y2 = 2x e x2 = 2y<br />
3. y=5—x2 e y=x+3 4. y = x2 e y = 6<br />
5. y=1—x2 e y=-3 6. x+y=3 e y+x2 =3<br />
7. x=y2 , y—x=2 , y2 e y=3 8. y=x3 — x e y=0<br />
9. y=e' , x=0 , x=1 e y=0 10. x = y3 e x = y<br />
2<br />
o
390 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração<br />
11. y=lnx , y=0 e x = 4 12. y=lnx , x=1 e y = 4<br />
13. y = sen x e y = - sen x , x E [O, 2n]<br />
14. y = cos x e y = -cos x, x e - - 1 7G 3n [ -<br />
2 2<br />
15. y = coshx , y=senhx , x=-1 e x=1 16. y = tgx , x=0 e y=1<br />
17. y=e-x , y=x+1 e x = -1 18. y=sen2x , y=x+2 , x=0 e x=7"c/2<br />
19. y=-1-x2 , y=-2x-4<br />
- 33 7t 4n<br />
20. y = cos x , y - x+<br />
5n 10 x E 2 3<br />
21. y - 1<br />
1<br />
- ,y= 2x+lex=-3<br />
x - 11 ,y= x<br />
1<br />
22. x = y2 e y = - - 2 x<br />
24. x=y2 +1 e x+y=7<br />
23. y=4 -x2 e y = x2 - 14<br />
25. y= x , y=rx e y=4<br />
26. y = arc sen x , y = na e x = O 27. y = 2cosh X2 , x=-2,x=-2ey=0<br />
28. y=lx- 2 I e y = 2 - (x- 2)229. y = - 1 , y= -x e x = 1.<br />
30. Encontrar a área das regiões S 1 e S2, vistas na figura a seguir
Introdução à integração 391