f(x) - Campus Rio Pomba

330 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.1.2 Exemplos
x3 \
(i) F (x) = 3 é uma primitiva da função f(x) = x2, pois
F ' (x) = 1/3 3x2 = x2 = f(x).
(ii) As funções G(x) = x3/3 + 4, H(x) = 1/3 (x3 + 3) também são primitivas
da função f(x) = x2, pois G ' (x) = H' (x) = f(x).
(iii) A função F(x) = 1/2 sen 2x + c, onde c é uma constante, é primitiva da
função f(x) = cos 2x.
(iv) A função F(x) = 1/2x2 é uma primitiva da função f(x) = —1/x3 em
qualquer intervalo que não contém a origem, pois para todo x O, temos F '(x) = fiz).
Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais
que uma primitiva. Temos as seguintes proposições.
6.1.3 Proposição. Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante
qualquer, a função G(x) F(x) + c também é primitiva de f(x).
Prova. Como F(x) é primitiva de f(x), temos que F '(x) = f(x). Assim,
G ' (x) = (F(x) + = F ' (x) + O = f(x),
o que prova que G(x) é uma primitiva de f(x).
6.1.4 Proposição. Se f ' (x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é
constante em
Prova. Sejam x, y E I, x < y. Como f é derivável em I, f é contínua em [x, y] e derivável
em (x, y). Pelo Teorema do Valor Médio, existe z E (x, y), tal que
f (z) f(Y) - flx)
y — x