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Introdução à integração 331<br />
Como f '(z) = O, vem que f(y) — f(x) = O ou f( y) = f(x). Sendo x e y dois pontos<br />
quaisquer de I, concluímos que f é constante em I.<br />
6.1.5 Proposição. Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então<br />
existe uma constante c tal que G(x) — F(x) = c, para todo x E I.<br />
Prova. Seja H(x) = G(x) — F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo I, temos<br />
F ' (x) = G ' (x) = f(x), para todo x E I. Assim,<br />
H ' (x) = G '(x) — F ' (x) = f(x) — f(x) = O, para todo x E<br />
Pela proposição 6.1.4, existe uma constante c, tal que H (x) = c, para todo<br />
x E I. Logo, para todo x E 1, temos<br />
G(x) — F(x) = c.<br />
Da proposição 6.1.5, concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f,<br />
então toda primitiva de f é da forma<br />
G(x) = F(x) + c,<br />
• onde c é uma constante. Assim o problema de determinar as primitivas de f, se resume<br />
em achar uma primitiva particular.<br />
6.1.6 Exemplo. Sabemos que (sen x)' = cos x. Assim, F(x) = sen x é uma primitiva<br />
da função flx) = cos x e toda primitiva de f(x) = cos x é da forma<br />
G(x) = sen x + c,<br />
para alguma constante c.<br />
6.1.7 Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada<br />
integral indefinida da função f(x) e é denotada por<br />
f .ffx) dx = F(x) + c .
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