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$Ofício 543.2012-AJ IFMG $Impugnação$.$10.10.2012$$

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Integrando por partes, vem x2 •sen x dx = x2 (— cos x) — J(— cos x) 2x dx = —x2 cosx+2fxcosxdx. A integral x cos x dx deve ser resolvida também por partes. Fazemos, u = x du = dx dv = cos x dx v = J cos x dx = sen x. Temos, x cos x dx = x sen x — J sen xdx. Logo, . x2 sen j x dx = cos x + 2 [x sen x — sen x dx] (iv) Calcular eax sen x dx. —x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + c. Este exemplo ilustra um artifício para o cálculo, que envolve também duas aplicações da fórmula de integração por partes. Seja u = e2x du = 2 e2x dx dv = sen x dx v = J sen x dx = — cosi.
Aplicando a integração por partes, vem e21` sen x dx e2r (- cos x) - f (- cos x) 2e2x dx —e2x COS X 1- 2 e2x cos x dx. Introdução à integração 353 Resolvendo .1 e2x cos x dx por partes, fazendo u = e2x e dv = cos x dx, encontramos S e2x sen x dx = -e2x cos x + 2 [e2x sen x - f sen x • 2 elt. dx] = -e2x cos x + 2 e2x sen x - 4 f ea' sen x dz. (2) Observamos que a integral do 2 membro é exatamente a integral que quere- mos calcular. Somando 4 f e2x sen x dx a ambos os lados de (2) , obtemos 5 .1 e2x sen x dx = -e2x cos x + 2 e2x sen x. Logo, e2x sen x dx = 5 (2 e2x sen x - e2x cos x) + c . (v) Calcular f sena x dx. Neste caso, fazemos u = sen2 x du = 2 sen x cos x dx dv = sen x dx v = f sen x dx = - cos x. .r, , C' s ttik - V --
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