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Matemática Exemplo acima da média Exemplo abaixo da média Comentários O objetivo desta questão foi avaliar o conhecimento de conceitos básicos da aritmética elementar, tais como números primos e divisores de um número. Questão 5 Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio r = 2cm e cada uma delas com centro em um vértice de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6cm. Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as três circunferências. a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências. b) Calcule o comprimento da curva C. 120º Resposta esperada h 120º 120º 164
Matemática Resposta esperada a) As circunferências estão ilustradas na figura acima. A área do triângulo que está fora das circunferências aparece destacada. Para determiná-la, é preciso descobrir a altura, h, a partir do comprimento do lado do triângulo, l, que vale 6 cm. Assim, observando que, para o triângulo retângulo de altura h e hipotenusa igual a l, temos l 2 = h 2 + (1/2) 2 , chega-se a h 2 = 36 - 9 = 27, donde h = 27 = 3 3 . Desta forma, a área do triângulo é igual a A T = l · h / 2 = 6⋅ 3 3 / 2 = 9 3. A soma das regiões que são, ao mesmo tempo, internas ao triângulo e a cada uma das circunferências corresponde a um semicírculo de raio 2, cuja área é dada por A SC = πr 2 / 2 = π2 2 / 2 = 2π . A área pedida é a diferença entre A T e A SC . Resposta: A área é igual a 9 3 – 2π cm 2 . (4 pontos) b) A curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as três circunferências também é mostrada na figura acima. O comprimento desta curva é igual à soma dos lados do triângulo aos três segmentos de circunferência. Como cada segmento está relacionado a um ângulo de 120 º , a soma dos três fornece uma circunferência. Assim, o comprimento da curva é dado pela soma do perímetro de um triângulo de lado igual a 6 ao comprimento de uma circunferência de raio 2. Resposta: C = 3 · 6 + 2 · π · 2 = 18 + 4π cm. (1 ponto) Exemplo acima da média Exemplo abaixo da média 165
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