Caderno de Questões

Matemática
Exemplo
acima da
média
Exemplo
abaixo da
média
Comentários
Esta é uma questão que permite avaliar bem o aluno com relação ao conteúdo de trigonometria. A
maioria dos candidatos só resolveu o item a da questão. Na resolução da parte b houve um certo equilíbrio
entre dividir a equação por cos 2 θ, obtendo tan 2 θ + tanθ – 2 = 0, e a resolução do trinômio do segundo grau
em cosθ ou senθ.
Questão 11
Considere o polinômio p(x) = x 3 – 2x 2 + 5x + 26.
a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse polinômio.
b) Prove que p(x) > 0 para todo número real x > –2.
Resposta
esperada
a) Basta substituir o número complexo 2+3i na expressão do polinômio para se obter:
p(2 + 3i) = (2 + 3i) 3 – 2(2 + 3i) 2 + 5(2 + 3i) + 26 = 0.
Resposta: Como p(2+3i) = 0 , o número complexo 2+3i é raiz do polinômio p(x).
(1 ponto)
b) Temos p(–2) = 0. Assim, p(x) é divisível por (x + 2) e p(x) = (x 2 – 4x + 13).(x + 2). Como q(x) = x 2 – 4x + 13
não tem raiz real e o coeficiente de x 2 é positivo, segue-se que q(x) > 0 para todo x real. Para x > –2,
temos x + 2 > 0 e, portanto, p(x) = q(x)(x + 2) > 0.
Resposta: Para todo x > –2, p(x) > 0.
(4 pontos)
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