Caderno de Questões

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Matemática Exemplo abaixo da média Comentários Esta questão tem por objetivo avaliar os conhecimentos de geometria plana do candidato. Para respondê-la, é preciso traçar um esboço da figura e dominar desde fórmulas simples de geometria, como as que são usadas no cálculo da área de um triângulo e de um setor circular e do comprimento de um arco de circunferência, até conceitos mais sutis, como a noção de reta tangente a uma circunferência. Muitos alunos usaram, desnecessariamente, aproximações para os valores de 3 e π. Um erro muito comum no item a foi o uso da fórmula do comprimento da circunferência, C = 2πr, em lugar da fórmula da área do círculo, A = πr 2 . A proposta original para essa questão mencionava uma correia girando em torno de 3 roldanas de mesmo raio, com centros nos vértices de um triângulo eqüilátero. Para evitar dificuldades de interpretação, por exemplo com a espessura da correia, a Banca optou pelo enunciado apresentado. Esperava-se que a expressão “curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as 3 circunferências” descrevesse a situação original, sem maiores dificuldades. Entretanto, como o enunciado da questão acabou gerando dúvidas, para não prejudicar os candidatos que entenderam de forma diferente da esperada pela Banca, foram consideradas satisfatórias outras interpretações. Assim, foram aceitas diversas soluções dessa questão ou até mesmo a indicação de que não existe a tal curva de comprimento mínimo. Anexamos as respostas de 3 candidatos, uma das quais corresponde exatamente ao que era esperado pela Banca ao passo que as outras duas apresentaram dificuldades de interpretação da proposta. Questão 6 Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima. b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata a) Sejam x, y e z as quantidades [em quilos] de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará, respectivamente. Temos, então, o seguinte sistema linear: Resposta esperada ⎧x+ y+ z = 05 , ⎪ ⎨5x + 20y + 16z = 5, 75 ⎪ ⎩y = ( x+ z)/3 (3 pontos) 166
Matemática Resposta esperada b) Substituindo o valor de y da terceira equação na primeira e na segunda, obtém-se o seguinte sistema linear de duas equações: ⎧ 4x + 4z = 1, 5 ⎨ ⎩35x + 68z = 17, 25 Resolvendo este sistema linear, obtém-se x = 0,25 e z = 0,125. Em seguida, encontra-se o valor y = 0,125 substituindo os valores de x e z na terceira equação mostrada no item a. Resposta: 250g de amendoim, 125g de castanha de caju e 125g de castanha-do-pará. (2 pontos) Exemplo acima da média Exemplo abaixo da média Comentários Um dos objetivos dessa questão é a modelagem matemática de uma situação do cotidiano. A transcrição em linguagem matemática é representada por um sistema de equações lineares cuja solução não envolve nenhuma dificuldade. Questão 7 O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se: a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes? b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos estejam em ordem crescente? 167
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