Caderno de Questões

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Matemática Exemplo acima da média Exemplo abaixo da média Comentários Esta é uma questão que permite avaliar bem o aluno com relação ao conteúdo de trigonometria. A maioria dos candidatos só resolveu o item a da questão. Na resolução da parte b houve um certo equilíbrio entre dividir a equação por cos 2 θ, obtendo tan 2 θ + tanθ – 2 = 0, e a resolução do trinômio do segundo grau em cosθ ou senθ. Questão 11 Considere o polinômio p(x) = x 3 – 2x 2 + 5x + 26. a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse polinômio. b) Prove que p(x) > 0 para todo número real x > –2. Resposta esperada a) Basta substituir o número complexo 2+3i na expressão do polinômio para se obter: p(2 + 3i) = (2 + 3i) 3 – 2(2 + 3i) 2 + 5(2 + 3i) + 26 = 0. Resposta: Como p(2+3i) = 0 , o número complexo 2+3i é raiz do polinômio p(x). (1 ponto) b) Temos p(–2) = 0. Assim, p(x) é divisível por (x + 2) e p(x) = (x 2 – 4x + 13).(x + 2). Como q(x) = x 2 – 4x + 13 não tem raiz real e o coeficiente de x 2 é positivo, segue-se que q(x) > 0 para todo x real. Para x > –2, temos x + 2 > 0 e, portanto, p(x) = q(x)(x + 2) > 0. Resposta: Para todo x > –2, p(x) > 0. (4 pontos) 172
Matemática Exemplo acima da média Exemplo abaixo da média Comentários Esta questão exige familiaridade com as operações elementares com números complexos, o conceito de raiz, fatoração e análise do sinal de um polinômio. Questão 12 A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A = 4cm. a) Calcule a altura da pirâmide. b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? B B 4 Resposta esperada A 6 h P M D A r h P C O 173
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UNICAMP 2002 vestibular nacional Ca
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