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onde os elementos das matrizes D + e D − são
d + i,j = {
di,j se d i,j > 0
0 se d i,j 0
e d − i,j = {
di,j se d i,j < 0
0 se d i,j 0 , (2.76)
com d i,j sendo os elementos da matriz D. Logo, a equação (2.60) pode ser reescrita como
L m (τ) = B m+ (τ)L m (0) + B m− (τ)L m (0) + H m (τ) (2.77)
e, de acordo com a propriedade de invariância
B m+ (τ − ζ)L m (ζ) = B m− (τ)L m (0), (2.78)
então,
L m (τ) = B m+ (τ − ζ)L m (ζ) + B m− (τ)L m (0) + H m (τ), (2.79)
com o vetor H m (τ) dado por
H m (τ) =
∫ τ
ζ
B m+ (τ − ε)S m (ε)dε +
∫ τ
0
B m− (τ − ε)S m (ε)dε. (2.80)
Usa-se a Equação (2.79), porque a forma apresentada na Equação (2.77) é numericamente
instável, pois o expoente dos autovalores positivos da matriz D, fazem com que se
atinja um estouro numérico (“overflow”) da solução para valores grandes de N. Na Equação
(2.79), como o valor de τ tem como limite a profundidade ótica ζ, o expoente dos
autovalores positivos da matriz D sempre será negativo, com o que se evitam possíveis
“overflows” nos valores da solução.
2.1.3 Formulação para geometria multi-região
As equações apresentadas até aqui, descrevem a equação de transferência radiativa em
um meio homogêneo, onde considera-se que os coeficientes são constantes com relação à
profundidade. Na situação contrária, com a(τ) e b(τ) variando conforme a profundidade,
têm-se um caso de meio não-homogêneo. Configura-se deste modo um sistema com R
regiões com valores de coeficientes diferentes entre as regiões, mas constantes dentro
de cada uma. Portanto, o domínio espacial da variável ótica τ é discretizado em R + 1
valores, a partir de τ 0 = 0 até τ R = ζ, conforme ilustra a Figura 2.4.
Então, para r = 0, 1, ..., R e j = 1, 2, ..., N, o problema em geometria multi-região pode
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