Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

More documents

Recommendations

Info

10 H. Żołądek ∂ γ x=∂ γ1 x1 ...∂γn xn zewspółczynnikamizależnymiodx∈Uα.RzędemmoperatoraDnazywasięnajwiększyrząd|γ|=γ1+...γnspośródpochodnychcząstkowychwystępującychwD.Symbolemoperatoraσ(D)nazywasięobjektpowstałyzDprzezodrzuceniewszystkichpochodnychcząstkowychrzędu
TwierdzenieAtiyaha–Singeraoindeksieijegookolice 11 gdziep:X→X/Y jestściągnięciemai:Y →Xwłożeniem.Jeśliσ: K|Y→L|Yzadajeizomorfizmwiązek,toelementróżnicującyd(K,L,σ)jest pewnymelementemzK(X,Y)owłasnościp ∗ d(K,L,σ)=K−LwK(X). Elementd(K,L,σ)wyznaczasięjednoznacznie,alewdosyćskomplikowany sposób(patrz[18],[39]). Dalej,pararozwłóknieńtopologicznych(B(M),S(M))jestorientowalna (boMjestorientowalna).Elementyjejgrupkohomologiisąpostaciπ ∗ a·U= π ∗ a∪U ∈H j+n (B(M),S(M)),gdziea∈H j (M),zaśU ∈H n (B(M), S(M))jesttzw.klasąorientacjitaką,żejejograniczenienadowolnewłókno (B(M)x,S(M)x)≃(D n ,S n−1 )generujeH n (D n ,S n−1 , Z).Mamytzw.izomorfizmThoma (4.2) φ∗:H ∗ (B(M),S(M))→H ∗−n (M); (wszczególności,φ∗(U 2 )=e(T ∗ M)jestklasąEulerawiązkikostycznej). Zelementemróżnicującymd(D)=d(π ∗ S E,π∗ S F,σS)sązwiązanejego klasyChernaorazcharakterChernach(d(D))∈H ∗ (B(M),S(M), Z).DefiniujemycharakterChernaoperatoraDjako (4.3) ch(D)=φ∗[ch(d(D))]∈H ∗ (M, Z). NastępniedefiniujemygenusToddarozmaitościjako (4.4) T(M)=Td(TM⊗ C), czylijakogenusToddakompleksyfikacjiwiązkistycznej.IndeksemtopologicznymoperatoraDnazywamyliczbę (4.5) itopD=〈ch(D)·T(M),[M]〉. WpunktachDiEponiżejpodajemysposóbwyliczaniach(D)iT(M) wkonkretnychprzykładach. C.WzórAtiyaha–Singera.ZnamienitetwierdzenieAtiyaha–Singera oindeksiemówi,że (4.6) ianD=itopD dladowolnegoeliptycznegooperatoraróżniczkowego. Ciekawejestprześledzenie,wjakisposóbtotwierdzeniezawojowało światmatematyczny.Zostałoonoporazpierwszyopublikowanew11-stronicowejpracy[18]AtiyahaiSingeraw1963r.zeszkicemdowodu.Pełnydowódzostałnajpierwopublikowanyw1965r.przezA.Borela,R.Solovay’a,F.Floyda,R.Seely’egoiR.Palaisawksiążce[39]podredakcjąPalaisa;jesttamtylkojedenartykułAtiyahatraktującyoindeksieoperatora narozmaitościzbrzegiem.Twierdzenieoindeksiebyłotakżeomawianena seminariumH.CartanaiL.SchwartzawParyżu.Dopierowlatach1968 i1971pojawiłasięseriaprac[19]i[17],wktórychmożnaznaleźćpełne (izmodyfikowanewstosunkudopierwotnegodowodu)dowodytwierdzenia
Page 1 and 2: ROCZNIKIPOLSKIEGOTOWARZYSTWAMATEMAT
Page 3 and 4: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 9: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 43: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie

Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?