Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

2 H. Żołądek
2.TwierdzenieRiemanna–Rocha
A.Funkcjemeromorficznezzadanynmibiegunami.NiechMbę-
dzie(zwartąispójną)powierzchniąRiemannagenusug.Niechp1,...,pdbędzieukładempunktówwM.FormalnąsumęD=p1+...+pdnazywamydywizoremnaM.Jesttoszczególnyprzypadekogólnegodywizora
D = m j=1nj·pj,gdziewspółczynnikinj sącałkowite.Jeśliwszystkie
nj ≥0,tomówimy,żedywizorjestefektywnyipiszemyD≥0.Przez
d=degD= njoznaczamystopieńdywizora.
NaMniemazbytwielufunkcjiholomorficznych,sątotylkofunkcje
stałe.Alejeślidopuścićbieguny,totakichfunkcjijużmożebyćwięcej;na
przykładf(z)=zna CP 1 zbiegunemwz=∞.TwierdzenieRiemanna–
Rochadotyczypytaniaowymiarprzestrzenifunkcjimeromorficznychzbiegunamiwzbiorze{p1,...,pd}irzędamibiegunówconajwyżej1.TęprzestrzeńoznaczasięprzezH
0 (M,O(D)),D=p1+...+pd.
ZkażdąfunkcjąmeromorficznąfnaMmożnazwiązaćjejdywizorzer
ibiegunów(f)=
p−zeranp·p− q−biegunymq·q(np,mqtorzędyzer ibiegunów);jesttotzw.dywizorgłówny.Dlaogólnegodywizoramamynastępującąprzestrzeń
H 0 (M,O(D))={f:(f)+D≥0}.
Naprzykład,jeśliD = −p0,toH 0 (M,O(D))składasięzfunkcjiholomorficznychzerującychsięwp0;zatemH
0 (M,O(−p0))=0.Ogólniej,
H 0 (M,O(−D)) = 0 dla efektywnego dywizora D. Widać też, że
H 0 (M,O(D))≃H 0 (M,O(D ′ )),jeśliróżnicaD−D ′ =(h)jestdywizoremgłównym;takiedywizoryD,D
′ sączęstotraktowanejakorównoważne.
B.Różniczki holomorficzne.WmonografiiP.GriffithsaiJ.Harrisa
[31] znajdujesię geometryczne wyprowadzenie wzoru na h0 (D) =
dimH0 (M,O(D)).Jestonowystarczającoelementarne,abyjetutajprzedstawić.
Dlauproszczeniazałóżmy,żeD=p1+...+pdid≥g≥1.Zamiast
funkcjiftakich,że(f)+D≥0,będziemyrozważaćichróżniczkidf.Każda
takaróżniczkamawpjbiegunrzęduconajwyżej2izeroweresiduum;ponadtojejokresy,czylicałki
γdfpocyklachγzH1(M, Z),teżsązerowe.
Zdrugiejstrony,każdaróżniczkaholomorficznaηspełniającapowyższewarunki(rzędybiegunówwpinieprzekraczające2,respi
η=0i γη=0) definiujefunkcjęzH 0 (M,O(D))wzoremf(x)= x x0 η.Następującylemat
będzieudowodnionypóźniej.
(2.1)Dlakażdegopunktup∈MistniejeróżniczkaholomorficznawM\p
zbiegunemdrugiegorzęduizerowymresiduumwp.
Przypomnęjeszczepewnestandardowefaktyogeometriipowierzchni
Riemanna.