Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

8 H. Żołądek
gdzieprawestronysąsymetrycznymifunkcjamiodα1,....αk,czyliwielomianamiodc1,c2,...,ck,np.T1=
1 1 c1,T2= 2 12 (c21 +c2).Łatwowidać,że
charakterChernajesthomomorfizmemzpierścieniaGrothendieckaK(M)
(wiązekzesponychnadM)dopierścieniakohomologiiH ∗ (M, Z):
(3.7) ch(E⊕F)=ch(E)+ch(F), ch(E⊗F)=ch(E)ch(F).
B.TwierdzenieRiemanna–Rocha–Hirzebrucha.W[32]F.Hirzebruchudowodniłnastępująceuogólnieniewzoru(2.7),zwanetwierdzeniem
Riemanna–Rocha–Hirzebrucha:
(3.8) χ(M,E)=〈ch(F)·Td(TholM),[M]〉,
gdzieEjestholomorficznąwiązkąwektorowąnadrozmaitościązespoloną
M,aχjestgenusemarytmetycznymzdefiniowanymw(2.11).
Totwierdzeniejestpowszechniestosowanewteoriipowierzchnizespo-
lonych(dimCM=2):1−q(M)+pg(M)= 1
12
c 2 1 +c2,[M] ,gdziec1,2=
c1,2(TholM), q(M) = dimH 0 (M,Ω 1 ) jest nieregularnością powierzchni,
apg(M)=dimH 0 (M,Ω 2 )jestjejgenusemgeometrycznym.
Dowódwzoru(3.8)jestznaczniebardziejzłożonyniżdowódwzoru(2.7).
Niebędziemygotuomawiać.Zatobliżejzajmiemysięinnymtwierdzeniem
Hirzebrucha(powiązanymz(3.8)).
C.TwierdzenieHirzebruchaosygnaturze.Załóżmy,żeMjestrozmaitościąKählera,czyliżejestwyposażonawmetrykęhermitowską,której
częśćurojonajestformąsymplektycznąω(aczęśćrzeczywistajestmetryką
riemannowską);naprzykład,każdarozmaitośćrzutowaposiadastrukturę
rozmaitościKähleradziękimetryceFubiniego–Study.
W(3.8)możnabraćzamiastEwiązkizespoloneΩ p =Λp (T∗ holM)p-form holomorficznych.Definiujemy
χ p (M)=χ(M,Ω p )=
q
(−1) q h p,q ,
gdzieh p,q =dimH q (M,Ω p ).Wyrażająsięonezapomocąklascj(M)=
cj(TholM).Zatemiwyrażenie
(3.9) τ(M)=
χ p (M)
wyrażasięzapomocącj(M).Łatwosprawdzić,żeτ(M)=0gdyn,wymiar
M,jestnieparzysty(np.dlakrzywejalgebraicznejmamyτ(M)=(h 0,0 −
h 0,1 )+(h 1,0 −h 1,1 )=0).Jeślinjestparzyste,toztzw.rozkładuLefschetza
irelacjiHodge’a(patrz[31])wynika,żeτ(M)jestsygnaturąformyprzecięć
H n (M, R)×H n (M, R)→R(liczbaplusówminusliczbaminusówpostaci
kanonicznej),czylisygnaturąrozmaitości.
p