Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

26 H. Żołądek
gdzieindekspunktustałegowynosi
(5.5) ν(p)=
(−1) i trϕi,p
|det(1−f ′ (p)| ,
zaśendomorfizmyϕi,p:Ei,p→Ei,psąograniczeniamiϕidowłókienEi,p.
Wzór(5.4)jestuogólnieniemklasycznegotwierdzeniaLefschetzaL(f)=
(−1) i tr f ∗ :H i (M)→H i (M) =
f(p)=p indp(f),gdzieindp(f)jest
indeksempolawektorowegox−f(x).Istotnie,biorącjakoEkompleksde
RhamazróżniczkamizewnętrznymijakoDiorazzTi=f ∗ ,znajdujemy
ν(p)=|det(1−f ′ (p))| −1 (−1) i trf ∗ |Λ i T ∗ pM
= det(1−f′ (p))
|det(1−f ′ (p))| =signdet(1−f′ (p)).
Wprzypadkuzespolonymzachodzianalogicznetwierdzenie.Załóżmy,
żemamyholomorficzneodwzorowanief : M → M zespolonejrozmaitości,mamyholomorficznąwiązkęEnadMiholomorficznyizomorfizm
ϕ:f ∗ E→E.JeślizdefiniujemyendomorfizmyH i (f)=ϕ ∗ ◦f ∗ nagrupach
kohomologiiHi (M,O(E)),tozachodziwzór
i i
(5.6) (−1) trH (f)=
gdzie
(5.7) ν(p)=
f(p)=p
trϕp
detC(1−f ′ (p)) .
ν(p),
JakoprzykładzastosowaniaweźmyholomorficzneodwzorowaniefpowierzchniRiemannaMitrywialnąwiązkęliniowąE.Wtedywzór(5.6)daje
1−H0,1 (f)= 1
f(p)=p 1−f ′ (p) ,gdzieH0,1 (f)jestindukowanymhomomor-
fizmemnaH 0,1 (M)=H 1 (M,O).
Heurystyczneuzasadnieniewzoru(5.6)jestnastępujące(patrz[40]),ale
ścisłydowódjestinny.Spróbujmypoliczyćnastępujący‘ślad’trϕ◦f ∗ :
Γ(E)→Γ(E)=H 0 (M,O(E)).Wkładdoniegownosząjedynieinfinitezymalneotoczeniapunktówstałychodwzorowaniaf.Zatemliczymyśladodwzorowanianaprzestrzenikiełkówprzekrojóws:U→E,gdzieUjestotoczeniempunktustałegop.Zalgebraiczno-formalnegopunktuwidzeniaprze-
strzeńkiełków,toEp⊗ST ∗ P M,gdzieST∗ p Mjestsymetrycznąalgebrą(wielo-
mianównaTpM).Tutajtr(ϕ◦f ∗ |Ep⊗ST ∗ P M)=trϕp
Jeśliλisąwartościamif ′ (p),to
n
j tr f ∗ p|ST ∗ p
=
j tr f ∗ p|ST ∗ pM
.
k1,...,knλk1 1 ...λkn n =
(1−λi)
i=1
−1 =1/(det(1−f ′ (p))).Częstookazujesię,żeH j (M,O(E))=0