Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

More documents

Recommendations

Info

40 H. Żołądek Zauważmy, że asjomat A5 implikuje, że działanie dyfeomorfizmów zDiff(Σ)naH(Σ)zależytylkoodichklasizotopii.Ponadto,jeśliY jest rozmaitościązamkniętą,toZ(Y)jestpoprostuliczbą,którastanowiniezmiennikrozmaitości.RozcięcieY=Σ×S 1 wzdłużcięciaΣ×{1}prowadzi dowzorudimH(Σ)=Z(Σ×S 1 );dlategoteżw[7]zakładasię,żeprzestrzenieH(Σ)sąskończonegowymiaru. Dlad=2rozważasiętakżerelatywnątopologicznąteoriępola.Tutaj wpowierzchniiΣwyróżniasięukładP=(P1,...,Pr)puktówPj ∈Σ. PrzytymkażdypunktPj jestbranyzeznakiem+lub−ijestznim stowarzyszonapewnareprezetacjaλjpewnejgrupyLiegoG.Takiejtrójce (Σ,P,λ),λ=(λ1,...,λr)jestprzypisanaprzestrzeńHilbertaH(Σ,P,λ). 3-wymiarowerozmaitościY sąwyposażonewsplotyL=(L1,...,Ls)zło- żonezwęzłówLj⊂Y;każdemuwęzłowiLjjestprzypisanareprezentacjaµjgrupyG.Brzegtrójki(Y,L,µ),to(Σ,P,λ)=(∂Y,∂L,µ|∂L),przyczymjeślipunktowiQodpowiadałareprezentacjaν,topunktowi−Qodpowiadareprezentacjaν∗ .TakiejtrójceprzypisujesięwektorZ(Y,L,µ)∈H(Σ,P,λ). Aksjomatytopologicznejteoriipolaimplikująpewnerelacje,któreprzypominająrelacjetypuAlexandera–Conway’azteoriiwęzłów.Wszczególności,dlaY=S 3iG=SU(2)istandardowej2-wymiarowejreprezentacji µ=µjdlawszystkichLjsumastatystycznaZ(Y,L,µ)okazujesięściśle związanaztzw.wielomianemJones’asplotuL;definicjęwielomianuJones’a czytelnikznajdziew[7]. Powstajeproblemskonstruowaniamodeluspełniającegopowyższeaksjomaty.Witten[45]zaproponowałdziałanieCherna–Simonsa (7.26) S(A)= 1 tr A∧dA+ 4π 2 3 A∧A∧A , Y gdzieAjestkoneksjąwtrywialnejG-wiązcenadY,oraz ikS(A) Z(Y,L,µ)= DAe WLj (A). Wostatnimwzorzetzw.pętlaWilsonaWLj (A)jestślademwreprezentacji µjoperatoraholonomiiMonLj (A)koneksjid+AwzdłużdrogiLj(przesunięcierównoległe).Ponieważw(7.26)mamycałkęfunkcjonalną,toteoria Wittenaniejestścisławsensiematematycznym. Atiyahw[7]podjąłpróbęuściśleniatejteorii.UdałomusięskonstruowaćprzestrzenieHilbertaH(Σ,P,λ)używającθ-funkcjiiprzestrzenimoduliwiązekwektorowychnadΣ.Niestety,podstawowyproblemokreślenia wektoraZ(Y,L,µ)pozostałniewyjaśniony.
TwierdzenieAtiyaha–Singeraoindeksieijegookolice 41 Literatura [1]L.Alvarez-Gaumé,SupersymmetryandtheAtiyah–Sigerindextheorem,Commun.Math.Phys.90(1983),161–173. [2]M. Atiyah, “Collectedworks”,v.1–5,ClarendonPress,Oxford,1988. [3]M. Atiyah, “GeometryofYang–Millsfields”,ScuolaNormaleSuperiore,Pisa, 1979;[równieżw:“Geometriaifizikauzlov”,Mir,Moskwa,1995,79–185]. [4]M. Atiyah, Anomaliesandindextheory,Lect.NotesinPhys.288,Springer– Verlag,NewYork,313–322. [5]M.Atiyah,Topologicalaspectsofanomalies,w:“SymposiumonAnomalies,GeometryandTopology”,WorldSci.Press,1984,22–32.[6]M.Atiyah,Circularsymmetryandstationary-phaseapproximation,w:“ColloquiuminhonourofLaurentSchwartz”,tomII,Asterisque,1985,43–60.[7]M.Atiyah,“Geometryandphysicsofknots”,CambridgeUniversityPress,Cambridge,1990;[porosyjsku:Mir,Moskwa,1995]. [8]M. Atiyah, R. Bott, ALefschetzfixedpointformulaforellipticdifferential opearators,Bull.Amer.Math.Soc.72(1966),245–250. [9]M. Atiyah, R. Bott, ALefschetzfixedpointformulaforellipticcomplexes.I, Ann.Math.86(1967),374–407;II.Applications,Ann.Math.88(1968),451–491. [10]M. Atiyah, R. Bott, V.K. Patodi, Ontheheatequationandtheindex theorem,Invent.Math.19(1973),279–330;Erratatothepaper“Ontheheatequation andtheindextheorem”,Invent.Math.28(1975),277–280. [11]M. Atiyah, R. Bott, A. Shapiro, Cliffordmodules,Topology3(1964), 3–38. [12]M. Atiyah, H. Donnelly, I.M. Singer, Etainvariant,signaturedefects andvaluesofL–functions,Ann.Math.118(1983),131–177;Etainvariant,signature defectsandvaluesofL–functions:thenonsplitcase,Ann.Math.119(1984),635–637. [13]M.Atiyah,N.J.Hitchin,V.G. Drinfeld,Y.I.Manin,Construction ofinstantons,Phys.LettersA65(1978),185–187. [14]M. Atiyah, N.J. Hitchin, I.M. Singer, Self-dualityinfour-dimensional geometry,Proc.Roy.Soc.LondonSer.A362(1978),425–461. [15]M.Atiyah,V.K.Patodi,I.M.Singer,SpectralasymetryandRiemannian geometry,Bull.LondonMath.Soc.5(1973),229–234. [16]M.Atiyah,V.K.Patodi,I.M.Singer,SpectralasymetryandRiemannian geometry.I,Math.Proc.CambridgePhil.Soc.77(1975),43–69;II,Math.Proc. CambridgePhil.Soc.78(1975),405–432;III,Math.Proc.CambridgePhil.Soc.79 (1976),71–99. [17]M.Atiyah,G.Segal,Theindexofellipticoperators.II,Ann.Math.87(1968), 531–545. [18]M.Atiyah,I.M.Singer,Theindexofellipticoperatorsoncompactmanifolds, Bull.Amer.Math.Soc.69(1963),422–433. [19]M. Atiyah, I.M. Singer, Theindexofellipticoperators.I,Ann.Math.87 (1968),484–530;III,Ann.Math.87(1968),546–604;IV,Ann.Math.93(1971), 119–138;V,Ann.Math.93(1971),139–149. [20]M. Atiyah, I.M. Singer, Diracoperatorscoupledtovectorpotentials,Proc. Natl.Acad.Sci.USA8(1984),2597–2600. [21]M. Atiyah, R.S. Ward, Instantonsandalgebraicgeometry,Comm.Math. Phys.55(1977),117–124. [22]W. Barth, K. Hulek, Monadsandmoduliofvectorbundles,Manuscr.Math. 25(1978),323–347.
Page 1 and 2: ROCZNIKIPOLSKIEGOTOWARZYSTWAMATEMAT
Page 3 and 4: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 39: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 43: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie

Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?