Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

More documents

Recommendations

Info

16 H. Żołądek grupyLorenzaSO(1,3);ściślej,jesttoprzestrzeńreprezentacjidwukrotnego nakryciaSpin(1,3)grupyLorenza. IstniejeanalogoperatoraDiracanarozmaitościachriemannowskichdopuszczającychspin-strukturę.Jegoindeksstanowiważnyniezmienniktakich rozmaitości.Poniżejpodajemyodpowiedniedefinicje(według[11]i[34]). AlgebrąCliffordaCnwzorowanąnaprzestrzeniwektorowejV = R n (zbaząe1,...,enistandardowymiloczynemskalarnymQ(ei,ej)=δij) nazywamy R-algebręz1,generowanąprzezVizrelacjami (4.16) eiej+ejei=−2δij. Zatemjakoprzestrzeńwektorowa(niealgebra)CnjestizomorficznazalgebrąGrassmannaΛ ∗ Vimawymiar2 n . PodobniejakalgebraGrassmannadopuszczaonarozkładCn=C + n⊕ C − n,gdzieC + n(odpowiednioC − n)jestrozpinanaprzezjednomianyei1 ...eik zparzystą(odpowiednionieparzystą)liczbączynnikówk.MamyC ± n ·C+ n = C ± n iC± n ·C− n =C∓ n . Definiujemyanty-automorfizmalgebryCn:x→¯xgenerowanyprzez ei1 ...eik →(−1)keik ...ei1 .Wtedyei1 ...eik ·ei1 ...eik =1.GrupaPin(n) składasięzelementówodwracalnychϕ∈Cn,którespełniają (4.17) ϕ¯ϕ=1 i ϕVϕ −1 =V. Okazujesię,żeprzekształceniax→ϕxϕ −1 przestrzeniV sąortogonalne, czylinależądogrupyO(n).PrzeciwobrazwPin(n)grupySO(n)jestgrupą Spin(n).Odwzorowanie (4.18) Spin(n)→SO(n) jest2-krotnymnakryciem.(Dlan≥2grupaSpin(n)jestjednospójna,zaś π1(SO(n))=Z2,np.Spin(3)=SU(2)=S 3 iSpin(4)=SU(2)×SU(2). Dlan=2grupySO(2)iSpin(2)sąrówneS 1 iodpowiednieodwzorowanie S 1 →S 1 jestrównez→z 2 .) Odwzorowanie(4.18)możnaprzedstawićwjawnysposób.Jeślimamy 1-parametrowąrodzinęobrotówwSO(n): (4.19) e1→cos2πω·e1+sin2πω·e2, e2→−sin2πω·e1+cos2πω·e2 iej→ejdlaj>2,towCnmamyodpowiadającąjejrodzinęobrotów wSpin(n): (4.20) cosπω+sinπω·e1e2. Widać,żeobrótwSpin(n)jest2-krotniewolniejszyniżwSO(n);stąd pochodzipojęciespinupołówkowego. Dalejbędziemyzakładać,żen=2ljestparzyste.AlgebraC2lmawymiar(2 l ) 2 inietrudnopokazać,żejestprosta(niejestsumąprostąpodalgebr).ZatemjejkompleksyfikacjaC2l⊗Cjestpełnąalgebrąendomorfizmów
TwierdzenieAtiyaha–Singeraoindeksieijegookolice 17 pewnejprzestrzenizespolonejS≃ C2l;przestrzeńSnazywasięprzestrze ⊗ CprzestrzeńSrozkładasięna niąspinorów.Dalej,jakomodułnadC + 2l sumęprostąniezmienniczychpodmodułówS + ⊕S− (dodatnichiujemnych spinorów).S ± sąpodprzestrzeniamiwłasnymizwartościamiwłasnymi±1 dlamnożeniaprzezelementτ =(−1) le1...e2l;(zauważmy,żeτ 2 =1). Zauważmyteż,że ej:S ± →S ∓ . Przestrzeńspinorówmożnazdefiniowaćwjawnysposób.Zauważmy,że wprzestrzeniΛ ∗ C k operatorygi =ei∧(·)(mnożeniezewnętrzneprzez wektorbazowy)ihi=ei(·)(mnożeniewewnętrzne)spełniająrelacjegihj+ hjgi=δij,gigj+gjgi=hihj+hjhi=0(typuClifforda,tylkozinnąformą dwuliniowąQ).PotraktujmyprzestrzeńwyjściowąV = R 2l jakoW= C l (zutożsamieniamie2j↔ie2j−1).WtedyoperatoryAv= √ 2(v∧(·)−v(·)), v∈V,działająnaprzestrzeniΛ ∗ W ispełniająrelacjęA 2 v =−2|v|2 = −2Q(v,v).Właśnie S=Λ ∗ W=Λ ∗ C l , S + = Λ 2j W, S − = Λ 2j−1 W sąnaszymiprzestrzeniamispinoróworazdodatnichiujemnychspinorów. NiechterazMbędzierzeczywistąrozmaitościąriemannowskąwymiaru n=2l.WtedywiązkastycznajestO(2l)-wiązką,tzn.homomorfizmyprzejściaϕαβ(x)∈O(2l)(nadprzecięciamiUα∩Uβ).Układ{ϕαβ}traktujesię jakokocykl ČechaowartościachwO(2l);zadajeonelementϕ∈H1 (M, O(2l)).Jeślirozmaitośćjestorientowalna,tomożnawybraćϕαβ∈SO(2l), tj.detϕαβ(x)=1;wiemy,żeorientowalnośćjestrównoważnaznikaniuklasy Stiefela–Whitney’aw1. Załóżmy,żeM jestorientowalnaiżeTM zadajesięzapomocąkocykluϕ∈H 1 (M,O(2l)).Mówimy,żeM dopuszczaspin–strukturę(jest rozmaitościąspinorową)jeślikocyklϕjestobrazempewnegokocyklu˜ϕ∈ H 1 (M,Spin(2l)).Wyjaśnimy,cotooznaczawterminachklascharakterystycznych. Mamyciągdokładnygrup0→Z2→Spin(2l) p →SO(2l)→0iodpowiadającymuciągdokładnysnopów.Wypiszmyodpowiednidługiciąg dokładnykohomologii Čecha (4.21)...H 1 (M, Z2)→H 1 (M,Spin(2l) p∗ →H 1 (M,SO(2l)) δ →H 2 (M, Z2)... Pytamysię,czyϕ=p∗(˜ϕ)?Dotegowystarczy,abyδ(ϕ)=0;wtedywszystkiespin-strukturynaMsąnumerowaneprzezelementyH 1 (M, Z2).Okazuje się,żeδ(ϕ)=w2∈H 2 (M, Z2),drugaklasaStiefela–Whitney’a.Abyczytelnikwtouwierzył,proponujęzauważyćanalogięzciągiemdokładnymsnopów0→Z→O exp →O ∗ →0idefinicjąklasyChernac1(L)wiązkiliniowejL
Page 1 and 2: ROCZNIKIPOLSKIEGOTOWARZYSTWAMATEMAT
Page 3 and 4: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 15: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 43: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie

Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?