Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

34 H. Żołądek
Okazujesię,żezamiast(7.10)wygodniejjestprzedstawiaćwszystkieantyinstantonyzk=1zapomocąpodstawienia(7.11)w(7.8).Tęwłasnośćmożnazastosowaćdoskonstruowaniapewnychanty-instan-
tonówdladowolnegok>0:
(7.12) A(x)=Im
gdzie
∗ u(x)du(x) 1+u∗
,
(x)u(x)
(7.13) u(x)= λ(B−x) −1 ∗ .
Tutajλ=(λ1,...,λk)jestwektoremutworzonymzkwaternionów,Bjest
symetrycznąk×kmacierząutworzonązkwaternionów,zaśC ∗ = ¯ C ⊤ (zatem
u(x)jestwierszem,au ∗ (x)jestkolumną).Ponadtowymagasię,aby:
(I)B ∗ B+λ ∗ λbyłarzeczywistąk×kmacierzą(dla(7.11)tojestspełnione);
(II)układrównań(B−x)ξ=0,λξ=0wH k miałtylkozerowerozwiązanie,czylirząd(k+1)×kmacierzy
byłmaksymalnydladowolnego
λ
B−x
x∈H(dla(7.11)takjest).
W(7.13)występujepewnaniejednoznaczoność:jeśli
(7.14) λ ′ =qλT, B ′ =T −1 BT,gdzieq∈ H, |q|=1, T∈O(k),
topara(λ ′ ,B ′ )zadajetakisampotencjał(7.12).
Okazujesię,żewzory(7.12),(7.13)zwarunkami(I)i(II)irelacjąrównoważności(7.14)opisująwszystkieanty-instantonyzładunkiemtopologicznymk.Łatwopoliczyć,żetorozwiązaniezależyod8k−3parametrów.
JesttotreściątwierdzeniaudowodnionegoprzezM.Atiyaha,V.Drinfelda,N.HitchinaiYu.Manina[13]inazywasięADHM-konstrukcją.
Jegohistoriajestrównieżdosyćpouczająca.NajpierwM.Atiyah,N.
HitchiniI.Singer[14]policzyli,żeogólnerozwiązaniepowinnozależećod
8k−3parametrów.PotemM.AtiyahiR.Ward[21]nakreślilischemat
zastosowaniageometriialgebraicznejitransformacjiPenrose’adoznalezieniaogólnychrozwiązań.Nakoniec,w3-stronicowejnotatce[13]wPhysical
Letterspokazano,żepowyższerozwiązaniasąkompletneiżeopisująsię
wterminachalgebryliniowej.Wszystkotodziałosięokołoroku1977.Ale
detaledowodówzostaływyjawioneświatuznaczniepóźniej,przyczymoksfordczycyzrobilitoniezależnieodmoskwiczan.Atiyah[3]opublikowałje
w1979rwPizie,gdziemiałwykłady.Maninzamieściłjewswojejksiążce
[35]wydanejw1984r.wMoskwie(porosyjsku). 6
6 Przyznajęsię,żeusiłowałemczytaćksiążkęManina;niestetyniebyłemwstaniejej
zrozumieć.ZwykładamiAtiyaha(któresądosyćtrudnodostępne)zapoznałemsiędopiero
przypracynadtymartykułem;wpierwszejchwilibyłemnimizachwycony,dopieropóźniej
zaczęłysiępojawiaćpewneproblemyinieścisłości(októrychsza!).