Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

ROCZNIKIPOLSKIEGOTOWARZYSTWAMATEMATYCZNEGO 

SeriaII:WIADOMO´SCIMATEMATYCZNEXLI(2005) 

HenrykŻołądek(Warszawa) 

TwierdzenieAtiyaha–Singeraoindeksieijegookolice 

1.Wstęp.IsraelM.Gelfandw1960r.wysunąłw[28]przypuszczenie,że 

indeksróżniczkowegooperatoraeliptycznego,czyliliczbaliniowoniezależnychrozwiązańodpowiedniegorównaniajednorodnegominusliczbaliniowoniezależnychrozwiązańsprzężonegorównania,niezmieniasięprzydeformacjachipowinienwyrażaćsięwterminachtopologicznych.MichaelF. 

AtiyahiIsadoreM.Singer[18]udowodnili,żetorzeczywiściemamiejsce 

iżeindeksjestrównycałcepocyklufundamentalnymrozmaitościziloczynu 

charakteruChernawiązkiróżnicowejskonstruowanejzapomocąsymbolu 

operatoraigenusuToddarozmaitości. 

TopozornieniewinnetwierdzeniezdominowałoświatmatematycznydrugiejpołowyXXwieku.W2004r.jegoautorzyzostaliuhonorowaninagrodą 

Abela. 

Wtymartykule 1 postaramsięprzedstawićgenezępowstaniatwierdzenia 

oindeksie(poczynającodtwierdzeniaRiemanna–Rochaijegouogólnień). 

Przytymnieobejdziesiębezwprowadzeniaelementówtopologiiigeometrii 

algebraicznej(np.kohomologiesnopówiklasycharakterystycznewiązek). 

SamotwierdzenieAtiyaha–Singerabędzieprzedstawionezróżnychpunktówwidzenia,m.in.poprzezrównanieprzewodnictwacieplnegoorazzapomocącałekFeynmana.Zjegopomocązinterpretujemypewneklasyczneniezmiennikirozmaitości(charakterystykaEulera,genusalgebraiczny,sygnaturaispin-genus). 

Spośródzagadnieńzwiązanychztwierdzeniemoindeksiekrótkoomówię 

uogólnienietwierdzeniaLefschetzaopunktachstałych(Atiyah–Bott),asymetrięspektralną(Atiyah–Patodi–Singer)iwyrażenietorsjiReidemeistera 

zapomocązregularyzowanychwyznaczników(Ray–Singer).Niemożnabyło 

pominąćtakżekonstrukcjiAtiyaha–Drinfelda–Hitchina–Manina instantonów.Nazakończenieprzedstawiępróbękonstrukcji3-wymiarowejtopologicznejkwantowejteoriipolapodjętąprzezAtiyahaw[7]. 

1 PracanapisanawramachtematuKBNNo1P03A01529.

2 H. Żołądek 

2.TwierdzenieRiemanna–Rocha 

A.Funkcjemeromorficznezzadanynmibiegunami.NiechMbę- 

dzie(zwartąispójną)powierzchniąRiemannagenusug.Niechp1,...,pdbędzieukładempunktówwM.FormalnąsumęD=p1+...+pdnazywamydywizoremnaM.Jesttoszczególnyprzypadekogólnegodywizora 

D = m j=1nj·pj,gdziewspółczynnikinj sącałkowite.Jeśliwszystkie 

nj ≥0,tomówimy,żedywizorjestefektywnyipiszemyD≥0.Przez 

d=degD= njoznaczamystopieńdywizora. 

NaMniemazbytwielufunkcjiholomorficznych,sątotylkofunkcje 

stałe.Alejeślidopuścićbieguny,totakichfunkcjijużmożebyćwięcej;na 

przykładf(z)=zna CP 1 zbiegunemwz=∞.TwierdzenieRiemanna– 

Rochadotyczypytaniaowymiarprzestrzenifunkcjimeromorficznychzbiegunamiwzbiorze{p1,...,pd}irzędamibiegunówconajwyżej1.TęprzestrzeńoznaczasięprzezH 

0 (M,O(D)),D=p1+...+pd. 

ZkażdąfunkcjąmeromorficznąfnaMmożnazwiązaćjejdywizorzer 

ibiegunów(f)= 

p−zeranp·p− q−biegunymq·q(np,mqtorzędyzer ibiegunów);jesttotzw.dywizorgłówny.Dlaogólnegodywizoramamynastępującąprzestrzeń 

H 0 (M,O(D))={f:(f)+D≥0}. 

Naprzykład,jeśliD = −p0,toH 0 (M,O(D))składasięzfunkcjiholomorficznychzerującychsięwp0;zatemH 

0 (M,O(−p0))=0.Ogólniej, 

H 0 (M,O(−D)) = 0 dla efektywnego dywizora D. Widać też, że 

H 0 (M,O(D))≃H 0 (M,O(D ′ )),jeśliróżnicaD−D ′ =(h)jestdywizoremgłównym;takiedywizoryD,D 

′ sączęstotraktowanejakorównoważne. 

B.Różniczki holomorficzne.WmonografiiP.GriffithsaiJ.Harrisa 

[31] znajdujesię geometryczne wyprowadzenie wzoru na h0 (D) = 

dimH0 (M,O(D)).Jestonowystarczającoelementarne,abyjetutajprzedstawić. 

Dlauproszczeniazałóżmy,żeD=p1+...+pdid≥g≥1.Zamiast 

funkcjiftakich,że(f)+D≥0,będziemyrozważaćichróżniczkidf.Każda 

takaróżniczkamawpjbiegunrzęduconajwyżej2izeroweresiduum;ponadtojejokresy,czylicałki 

 

γdfpocyklachγzH1(M, Z),teżsązerowe. 

Zdrugiejstrony,każdaróżniczkaholomorficznaηspełniającapowyższewarunki(rzędybiegunówwpinieprzekraczające2,respi 

η=0i γη=0) definiujefunkcjęzH 0 (M,O(D))wzoremf(x)= x x0 η.Następującylemat 

będzieudowodnionypóźniej. 

(2.1)Dlakażdegopunktup∈MistniejeróżniczkaholomorficznawM\p 

zbiegunemdrugiegorzęduizerowymresiduumwp. 

Przypomnęjeszczepewnestandardowefaktyogeometriipowierzchni 

Riemanna.

TwierdzenieAtiyaha–Singeraoindeksieijegookolice 3 

(2.2)Dlag≥1istniejeukładpętliγ1,...,γg,δ1,...,δgwM,którerozcinająMtak,żeporozcięciudostajesięwielokątWz4gbokamiodpowiadającymikolejnoγ1,δ1,γ 

−1 

1 ,δ−1 

−1 

1 ,...,γg,δg,γ g ,δ−1 g . 

(2.3)Dlag≥1istniejegliniowoniezależnychróżniczekholomorficznychω1,...,ωgnaMitakich,że 

 

γi ωj=δij.Naprzykład,dlakrzywej 

hipereliptycznejy 2 =P(x)te1-formysąpostacix j dx/y. 

(2.4)KażdaróżniczkameromorficznaρwyznaczaswójdywizorzeribiegunówK=(ρ)stopnia2g−2.KlasarównoważnościdywizoraKnazywa 

siędywizoremkanonicznym. 

C.WzórRiemanna–Rocha.Zastosujmywłasność(2.1)dokażdego 

zpunktówpi.Dodającodpowiednieformyholomorficzne(zwłasności(2.3)), 

uzyskujemynastępującyfakt: 

(2.5)Każdemuwektorowia=(a1,...,ad)∈C dmożnajednoznacznie przyporządkować1-formęholomorficznąηawM\{p1,...,pd}taką,żeηa= 

[aiz −2 

 

i +O(1)]dziwotoczeniupi(zlokalnąwspółrzędnązi)oraz γj ηa=0. 

Przenieśmyterazwszystkiepowyższefunkcjeiróżniczkidowielokąta 

W(pozostawiająctesameoznaczenia).MożemyokreślićfunkcjeΩj(z)= 

z z0 ωj,z∈W,orazformymeromorficzneΩjηa.WyrażająccałkęzΩjηapo 

brzegu∂Wzapomocąokresówzjednejstronyizapomocąresiduówwpk 

zdrugiej,dostajesięnastępujące‘prawowzajemności’ 

 

(2.6) ηa=2πi ωj 

ak (pk). 

dzk 

δj 

k 

Odsyłamczytelnikado[31]powięcejszczegółów. 

Mychcemy,abycałkiw(2.6)zerowałysię.Mamyzatemodwzorowanie 

A:Cd → Cg 

,a→ ηa,..., ,którezadajesięzapomocąmacierzy 

δ1 

δg ηa 

wymiarug×d 

⎛ ω1 

dz1 

A= ⎝ 

(p1) 

ω1 ... dzd (pd) 

... ... ... 

ωg 

dz1 (p1) 

ωg 

... dzd (pd) 

⎞ 

⎠. 

Zatemh0 (D)=dimkerA+1. 

Zdrugiejstrony,indeksmacierzyAzależytylkoodjejwymiarówiwynosi 

dimkerA−dimcokerA=d−g.AledimcokerAjestrównyliczbieliniowo 

niezależnychholomorficznychróżniczekzerującychsięwp1,...,pd.Każda 

takaróżniczkajesttraktowanajakoelementprzestrzeniH 0 (M,Ω1 (−D))= 

{η:(η)−D≥0}.PoniżejsnopΩ 1 (−D)utożsamimyzesnopemO(K−D). 

TwierdzenieRiemanna–Rochazamykasięwnastępującymwzorze: 

(2.7) h 0 (D)−h 0 (K−D)=d−(g−1).


WistocieRiemannudowodniłtylko,żeh 0 (D)≥d−g+1,apoprawkę 

wyliczyłRoch.Wzastosowaniachczęstookazujesię,żeh 0 (K−D)=0(np. 

gdyD−Kjestefektywny)idlategowzór(2.7)jesttakużyteczny. 

D. Interpretacja topologiczna. Teraz zinterpretujemy wzór(2.7) 

wterminachwiązekliniowychiichklascharakterystycznych. 

Istniejewzajemnajednoznacznośćpomiędzyholomorficznymiwiązkami 

liniowymi(tzn.z1-wymiarowymwłóknem)EnadMiklasamirównoważnościdywizorównaM.Wybierającmeromorficznyprzekrójs:M 

→E 

wiązkidefiniujemydywizorD=(s)jegozeribiegunów.Zdrugiejstrony, 

jeśliD= ni·pi,towybieramypokrycieU=(Uα)powierzchniMtakie,że 

Uα∩pi={ψα,i=0}(jeślipi/∈Uαtokładziemyψα,i≡1).Zrozłącznejsumy 

 

Uα×CkonstruujemywiązkęEprzypomocysklejeń(x,y)∼(x,ϕα,β(x)y), 

α 

ϕα,β= 

(ψα,i/ψβ,i) 

i 

ninadUα∩Uβ.Taodpowiedniośćprzenosisięnaprzy padekrozmaitościzespolonychwyższychwymiarów(naprzykładrzutowych 

rozmaitościalgebraicznych). 

JeśliwiązkaEjeststowarzyszonazdywizoremD,toprzezE −1oznacza sięwiązkęstowarzyszonązdywizorem−D,asumiedywizorówodpowiada 

iloczyntensorowywiązekliniowych.Naprzykład,E⊗E −1jestwiązkątry wialną.Ważnawgeometriialgebraicznejjesttzw.wiązkaHopfa(związanazrozwłóknieniemHopfaS3 

nadS2 )Lnad CP n zfunkcjamiprzejściaϕi,j=zi/zj 

(wjednorodnychwspółrzędnych(z)=(z0:...:zn)),taka,żeH=L −1ma przekrojeliniowe ajzj.WłóknemL (z)nad(z)jestprosta C·(z0,...,zn)⊂ 

Cn+1 . 

ZkażdąholomorficznąwiązkąwektorowąF(niekonieczneliniową)jest 

stowarzyszonysnopO(F)jejlokalnych(holomorficznych)przekrojów.RozważasiętakżesnopyΩ 

k (E)kiełkówholomorficznychk-formowartościach 

wF.SnopyO(H m )=O(H ⊗m )=O(L −m )nad CP n sąoznaczaneprzez 

O(m),asnopyO(E⊗H m )przezE(m). 

KohomologieČechaHq (M,F)snopaF sądefiniowaneprzypomocy 

pokryćistanowiąważnenarzędziewgeometriialgebraicznej.Dlawiązek 

liniowychEnadzespolonąrozmaitościąrzutowąM(lubtylkorozmaitościąKählera)grupyH 

q (M,Ωp (E))utożsamiasięjeszczeznastępującymi 

obiektami: 

–jakokohomologieDolbeaultazwiązanezresolwentą0→Γ(Ω p (E)) ¯ ∂ 

→ 

Γ(Ω p,1 (E))...; 

–jakoformyharmonicznetypu(p,q)owartościachwE(teoriaHodge’a). 

OdnotujmyjeszczedualnośćKodairy–Serre’a,tzn.niezdegenerowaność 

formydwu-liniowej 

(2.8) H q (M,Ω p (E))×H n−q (M,Ω n−p (E −1 ))→C, n=dimCM,


(całkaziloczynuzewnętrznegoformharmonicznych)orazizomorfizm 

(2.9) H p (M,Ω q )≃H q (M,Ω p ). 

WszczególnościdlapowierzchniRiemannamamy 

(2.10) H 0 (M,Ω 1 (−D))≃H 1 (M,O(D)) 

orazH1 (M,Ω1 (p))≃H 0 (M,O(−p))=0.Taostatniarównośćwrazzdługim 

ciągiem dokładnym ... → H0 (M,Ω1 (2p)) → H0 (M, Cp) → 

→H1 (M,Ω1 (p))→...,związanymzciągiemdokładnymsnopów0→ 

Ω1 (p)→Ω1 (2p)→Cp→0(gdzie Cpmanośnikwp)pozwalaudowodnić 

lemat(2.1). 

Wzór(2.9)pokazuje,żelewąstronętożsamościRiemanna–Rocha(2.7) 

możnaprzedstawićwpostaci‘charakterystykiEulera’ 

n 

(2.11) χ(M,E)=χ(M,D)= (−1) i dimH i (M,O(E)), 

i=0 

n=1,nazywanejgenusemarytmetycznymwiązkiEstowarzyszonejzdywizoremD. 

Prawastronatożsamości(2.7)madwaskładniki:d(charakteryzujący 

dywizor)i1−g(charakteryzującypowierzchnięRiemanna).Myjezinterpretujemynastępująco: 

(2.12) d= 

 

M 

c1(E), 1−g= 1 

2 

 

M 

c1(Thol), 

gdzieThol ≃ K−1 jestholomorficznąwiązkąstycznądoM (dualnądo 

wiązkikanonicznejΩ1 ≃K),EjestwiązkąstowarzyszonązD,zaśc1(F)∈ 

H2 (M, Z)jesttzw.pierwsząklasąChernawiązkizespolonejF(jejdefinicjępodajemywnastępnymrozdziale).Stosujesiętakżeoznaczeniec1(E)= 

c1(D).Całkiw(2.12)możnarozumiećalbojakocałkizodpowiednich2-form 

(nieholomorficznych)albojakowartości2-wymiarowychklaskohomologiina 

cyklufundamentalnym[M]∈H2(M, Z), 

Mc1=〈c1,[M]〉. WalgebrzekohomologiiH ∗ (M, Z)możnawprowadzićnastępująceobiekty(pełnaklasaCherna,charakterChernaigenusTodda): 

(2.13) 

c(D) = 1+c1(D), 

ch(D) = e c1(D) =1+c1(D), 

Td(F) = c1(F)/[1−e −c1(F) ]=1+ 1 

2 c1(F). 

Wtedyprawastronatożsamości(2.7)przyjmujepostać〈ch(D)·Td(Thol), 

[M]〉itwierdzenieRiemanna–Rochamożnazapisaćnastępująco 

(2.14) χ(M,D)=〈ch(D)·Td(Thol),[M]〉.


3.TwierdzeniaHirzebrucha 

A.Klasycharakterystycznewiązekwektorowych.Sątopewne 

kohomologiczneprzeszkody,abywiązkabyłatrywialna. 

PrzykłademjestklasaEulerae(TM)∈H n (M, Z),n=dimM,wiązki 

stycznejdorzeczywistejrozmaitościM.JesttoklasadualnawsensiePoincarégodopewnego0-wymiarowegocyklu,czylielementuH0(M, 

Z).Tencykl 

to 

X(p)=0indp(X)·p,gdzieX:M→TMjestgenerycznympolemwek torowymzizolowanymipunktamiosobliwymip∈Moindeksachindp(X)= 

±1. 

 

Znane twierdzenie Poincarégo–Hopfa mówi, że 〈e(TM),[M]〉 = 

indp(X)równasięcharakterystyceEulerarozmaitości (−1) ibi ,bi = 

dimHi (M, R).Wgeometriizespolonejtęcharakterystykęoznaczasięprzez 

e(M),dlaodróżnieniaodgenusualgebraicznego 2 

(3.1) χ(M)= (−1) i dimH i (M,O) 

(porównajz(2.11)). 

UogólnienieklasyEuleraprowadzidoteoriiprzeszkóditzw.klascharakterystycznychStiefela–Whitney’a(patrz[DNF,I,9]i[36]).SpróbujmyskonstruowaćkliniowoniezależnychpólwektorowychX1,...,XknaM.Możemy 

zakładać,żetepolatworząukładortonormalny(względemdanejmetryki 

riemannowskiej)wTxM,czylistanowiąprzekrójs(x)wiązkizwłóknem 

Vn,k=SO(n)/SO(n−k)(rozmaitośćStiefela).JeśliprzedstawimyMw 

postaciCW-kompleksuzj-wymiarowymiszkieletamiMj,tomożemyko- 

lejnoprzedłużaćprzekrójzeszkieletuMj−1doszkieletuMj.PonieważMj 

powstajezMj−1przezdoklejaniej-wymiarowychkomórekσ j doMj−1,to 

dostajemykołańcuchσ j →[s| ∂σ j:S j−1 →Vn,k]owartościachwgrupie 

homotopiiπj−1(Vn,k).Tenkołańcuchokazujesiębyćkocyklem,azatem 

definiujeelementgrupyH j (M,πj−1(Vk,n)),tzw.przeszkodę.Dalej,naćwiczeniachztopologiialgebraicznejwyliczasię,żeπi(Vn,k)=0dlai


zespoloną).Analogiczniejakpoprzednio,cj(E)∈H 2j (M, Z)jestklasądualnądocykludefiniowanegojakozbiórpunktówliniowejzależnościk−j+1 

typowychprzekrojóws1,...,sk−j+1wiązkiE. 

Wszczególności,gdyMjestpowierzchniąRiemannaiEjestholomorficznąwiązkąliniową(t.j.k=1)nadM,toc1(E)jestkocyklemdualnym 

docyklumiejsczerowychtypowegoprzekrojus:M→E.Ponieważkażdy 

przekrójmeromorficznysmer:M→Emożnazamienićnaprzekrójciągły 

scont:M →Etaki,żebiegunypprzekrojusmerstająsięzeramiscont 

zujemnymindeksem,indp(scont)=ordp(smer),tomamy 

〈c1(E),[M]〉= 

indp(scont)=degsmer=degD. 

scont(p)=0 

WprzypadkuwiązekrzeczywistychEnadrzeczywistymirozmaitościami 

MrozważasieklasyChernakompleksyfikacjiE⊗CwiązkiE.WtedyE⊗ C 

jestizomorficznezE⊗ C,coprowadzidoc2j+1(E⊗ C)=0.Elementy 

pj(E)=(−1) j c2j(E⊗ C)∈H 4j (M, Z)nazywająsięklasamiPontriagina 

wiązkiE. 

PełneklasycharakterystycznezapisujesięwpostaciszeregówwH ∗ (M) 

=H 0 (M)⊕H 1 (M)...: 

w(TM) = 1+w1+w2+... 

(3.2) c(E) = 1+c1+c2+... 

p(E) = 1+p1+p2+... 

Stosujesięteżtakiotozapis: 

(3.3) c(E)=(1+α1)...(1+αk), k=dimE; 

wtedycjsąfunkcjamisymetrycznymiod2-wymiarowychklasαi. 

Klasycharakterystycznecj(orazwjipj)zachowująsięnaturalnieprzy 

odwzorowaniachrozmaitościiprzeciąganiuwiązekorazspełniająnastępującewłasności: 

(3.4) 

c(E⊕F) = c(E)c(F), 

c(E⊗F) = 

(1+αi+βj), 

ij 

c(L) = 1+α, 

gdziec(F)= (1+βj)orazLjestwiązkąHopfanad CP 1 ,zaśαgeneruje 

H 2 (CP n , Z).Naturalnośćipowyższewłasnościsłużąjakoaksjomatyczna 

definicjaklasCherna.Odnotujmyjeszczewłasności 

(3.5) c(TholCP n )=(1−α) n+1 , p(TCP n )=(1+α 2 ) n+1 . 

WielowymiaroweuogólnieniacharakteruChernaigenusuToddasąnastępujące: 

(3.6) 

ch(E) = e α1 +...+e αk , 

Td(E) = 1+T1(E)+...= k 

j=1 

αj 

1−e −αj ,


gdzieprawestronysąsymetrycznymifunkcjamiodα1,....αk,czyliwielomianamiodc1,c2,...,ck,np.T1= 

1 1 c1,T2= 2 12 (c21 +c2).Łatwowidać,że 

charakterChernajesthomomorfizmemzpierścieniaGrothendieckaK(M) 

(wiązekzesponychnadM)dopierścieniakohomologiiH ∗ (M, Z): 

(3.7) ch(E⊕F)=ch(E)+ch(F), ch(E⊗F)=ch(E)ch(F). 

B.TwierdzenieRiemanna–Rocha–Hirzebrucha.W[32]F.Hirzebruchudowodniłnastępująceuogólnieniewzoru(2.7),zwanetwierdzeniem 

Riemanna–Rocha–Hirzebrucha: 

(3.8) χ(M,E)=〈ch(F)·Td(TholM),[M]〉, 

gdzieEjestholomorficznąwiązkąwektorowąnadrozmaitościązespoloną 

M,aχjestgenusemarytmetycznymzdefiniowanymw(2.11). 

Totwierdzeniejestpowszechniestosowanewteoriipowierzchnizespo- 

lonych(dimCM=2):1−q(M)+pg(M)= 1 

12 

c 2 1 +c2,[M] ,gdziec1,2= 

c1,2(TholM), q(M) = dimH 0 (M,Ω 1 ) jest nieregularnością powierzchni, 

apg(M)=dimH 0 (M,Ω 2 )jestjejgenusemgeometrycznym. 

Dowódwzoru(3.8)jestznaczniebardziejzłożonyniżdowódwzoru(2.7). 

Niebędziemygotuomawiać.Zatobliżejzajmiemysięinnymtwierdzeniem 

Hirzebrucha(powiązanymz(3.8)). 

C.TwierdzenieHirzebruchaosygnaturze.Załóżmy,żeMjestrozmaitościąKählera,czyliżejestwyposażonawmetrykęhermitowską,której 

częśćurojonajestformąsymplektycznąω(aczęśćrzeczywistajestmetryką 

riemannowską);naprzykład,każdarozmaitośćrzutowaposiadastrukturę 

rozmaitościKähleradziękimetryceFubiniego–Study. 

W(3.8)możnabraćzamiastEwiązkizespoloneΩ p =Λp (T∗ holM)p-form holomorficznych.Definiujemy 

χ p (M)=χ(M,Ω p )= 

q 

(−1) q h p,q , 

gdzieh p,q =dimH q (M,Ω p ).Wyrażająsięonezapomocąklascj(M)= 

cj(TholM).Zatemiwyrażenie 

(3.9) τ(M)= 

χ p (M) 

wyrażasięzapomocącj(M).Łatwosprawdzić,żeτ(M)=0gdyn,wymiar 

M,jestnieparzysty(np.dlakrzywejalgebraicznejmamyτ(M)=(h 0,0 − 

h 0,1 )+(h 1,0 −h 1,1 )=0).Jeślinjestparzyste,toztzw.rozkładuLefschetza 

irelacjiHodge’a(patrz[31])wynika,żeτ(M)jestsygnaturąformyprzecięć 

H n (M, R)×H n (M, R)→R(liczbaplusówminusliczbaminusówpostaci 

kanonicznej),czylisygnaturąrozmaitości. 

p


DefiniujemynastępującyL-genusrozmaitości 

n 

 

βj 

(3.10) L(M)=1+L1(p)+...= 

tanh , 

βj 

gdzieβj∈H 4j (M, Z)zadająklasyPontriaginapj=pj(TM)wzorem1+ 

p1+p2+...= (1+βj).Naprzykład,L1= 1 1 

3p1,L2= 45 (7p2−p2 1). 

TwierdzenieHirzebruchaosygnaturzemówi,że 

j=1 

(3.11) τ(M)=〈L(M),[M]〉. 

Ponadtotatożsamośćzachodzi,gdyMjestdowolnąrzeczywistąorientowalnąrozmaitościąwymiaru4m,awielomianyLj=Lj(p1,...,pj)sąLgenusamiodklasPontriaginarozmaitości. 

Sygnaturajestpowiązanazinnymi‘charakterystykamiEulera’poprzez 

tzw.wirtualnygenusarytmetyczny y p χ p (M)(patrz[32]),aleniebędziemysięnadtymzatrzymywać.Zatonakreślimyszkicdowodutożsamości 

(3.11). 

Popierwsze,sygnaturamanastępującewłasności: 

τ(M1∪M2)=τ(M1)+τ(M2), τ(M1×M2)=τ(M1)τ(M2), τ(∂N)=0 

(Thom[44]).Zatemjesttoniezmiennikkobordyzmów.NiechΩjoznacza 

grupękobordyzmówrozmaitościwymiaruj.R.Thom[44]udowodnił,że 

Ωj⊗ Q=0dlaj=4miżegrupaΩ4m⊗ Qjestgenerowanaprzezproduktykartezjańskiezespolonychprzestrzenirzutowych 

CP 2n1 ×...×CP 2nr , 

n1+...nr=m.TegeneratorysąjednoznaczniewyznaczoneprzezjednomianyPontriaginapm1 

...pms ,m1+...+ms=m.Naprzykład,Ω4⊗ Q= 

Q·CP 2 , p1,[CP 2 ] = 3,τ(CP 2 ) = 1orazΩ8⊗ Q = Q·CP 4 + Q· 

CP 2 × CP 2 , p 2 1,[CP 4 ] =25, p 2 1,[CP 2 × CP 2 ] =18, p2,[CP 4 ] =10, 

p2,[CP 2 × CP 2 ] =9,τ(CP 4 )=1,τ(CP 2 ×CP 2 )=1(patrz(3.5)).Również 

sygnaturajestwielomianemquasi-jednorodnymodklasPontriaginastopnia 

m.Wystarczyzatemjąpoliczyćnailoczynachrozmaitościrzutowychiw 

tensposóbwyznaczyćwspółczynnikitegowielomianu.Okazujesię,żetym 

wielomianemmusibyćLm(p1,...,pm). 

4.TwierdzenieAtiyaha–Singera 

A.Indeksanalityczny.NiechMbędziezwartą,zorientowaną,gładką 

(rzeczywistą)rozmaitością(wymiarun),aEiFbędązespolonymiwiązkami 

nadM.Rozważasięlinioweoperatoryróżniczkowe 

D:Γ(E)→Γ(F), 

tzn.linioweoperatorynaprzestrzeniΓ(E)=Γ(M,E)gładkichprzekrojów,którelokalnie(tj.wtrywializacjachUα× 

C k ⊂Elub⊂F)wyrażają 

sięzapomocąmacierzyutworzonychzkombinacjipochodnychcząstkowych


∂ γ x=∂ γ1 

x1 ...∂γn 

xn zewspółczynnikamizależnymiodx∈Uα.RzędemmoperatoraDnazywasięnajwiększyrząd|γ|=γ1+...γnspośródpochodnychcząstkowychwystępującychwD.Symbolemoperatoraσ(D)nazywasięobjektpowstałyzDprzezodrzuceniewszystkichpochodnychcząstkowychrzędu


gdziep:X→X/Y jestściągnięciemai:Y →Xwłożeniem.Jeśliσ: 

K|Y→L|Yzadajeizomorfizmwiązek,toelementróżnicującyd(K,L,σ)jest 

pewnymelementemzK(X,Y)owłasnościp ∗ d(K,L,σ)=K−LwK(X). 

Elementd(K,L,σ)wyznaczasięjednoznacznie,alewdosyćskomplikowany 

sposób(patrz[18],[39]). 

Dalej,pararozwłóknieńtopologicznych(B(M),S(M))jestorientowalna 

(boMjestorientowalna).Elementyjejgrupkohomologiisąpostaciπ ∗ a·U= 

π ∗ a∪U ∈H j+n (B(M),S(M)),gdziea∈H j (M),zaśU ∈H n (B(M), 

S(M))jesttzw.klasąorientacjitaką,żejejograniczenienadowolnewłókno 

(B(M)x,S(M)x)≃(D n ,S n−1 )generujeH n (D n ,S n−1 , Z).Mamytzw.izomorfizmThoma 

(4.2) φ∗:H ∗ (B(M),S(M))→H ∗−n (M); 

(wszczególności,φ∗(U 2 )=e(T ∗ M)jestklasąEulerawiązkikostycznej). 

Zelementemróżnicującymd(D)=d(π ∗ S E,π∗ S F,σS)sązwiązanejego 

klasyChernaorazcharakterChernach(d(D))∈H ∗ (B(M),S(M), Z).DefiniujemycharakterChernaoperatoraDjako 

(4.3) ch(D)=φ∗[ch(d(D))]∈H ∗ (M, Z). 

NastępniedefiniujemygenusToddarozmaitościjako 

(4.4) T(M)=Td(TM⊗ C), 

czylijakogenusToddakompleksyfikacjiwiązkistycznej.IndeksemtopologicznymoperatoraDnazywamyliczbę 

(4.5) itopD=〈ch(D)·T(M),[M]〉. 

WpunktachDiEponiżejpodajemysposóbwyliczaniach(D)iT(M) 

wkonkretnychprzykładach. 

C.WzórAtiyaha–Singera.ZnamienitetwierdzenieAtiyaha–Singera 

oindeksiemówi,że 

(4.6) ianD=itopD 

dladowolnegoeliptycznegooperatoraróżniczkowego. 

Ciekawejestprześledzenie,wjakisposóbtotwierdzeniezawojowało 

światmatematyczny.Zostałoonoporazpierwszyopublikowanew11-stronicowejpracy[18]AtiyahaiSingeraw1963r.zeszkicemdowodu.Pełnydowódzostałnajpierwopublikowanyw1965r.przezA.Borela,R.Solovay’a,F.Floyda,R.Seely’egoiR.Palaisawksiążce[39]podredakcjąPalaisa;jesttamtylkojedenartykułAtiyahatraktującyoindeksieoperatora 

narozmaitościzbrzegiem.Twierdzenieoindeksiebyłotakżeomawianena 

seminariumH.CartanaiL.SchwartzawParyżu.Dopierowlatach1968 

i1971pojawiłasięseriaprac[19]i[17],wktórychmożnaznaleźćpełne 

(izmodyfikowanewstosunkudopierwotnegodowodu)dowodytwierdzenia


oindeksieijegouogólnień.NaMiędzynarodowymKongresieMatematykówwMoskwiew1966r.M.AtiyahdostałmedalFieldsa(główniezato 

twierdzenie). 

PierwszydowódtwierdzeniaAtiyaha–Singera(tenz[39])opierasięna 

K-teoriiitwierdzeniuThomaokobordyzmach,ajegoideajestnastępująca. 

Wzór(4.3)pozwalazdefiniowaćcharakterChernadladowolnegoelementu 

a∈K(B(M),S(M)),anastępniejegoindekstopologicznyitopatakjak 

w(4.5).Tenostatniindeksposiadaszeregwłasności:addytywnośćwzględem 

sumyrozmaitościlubsumyWhitney’awiązek,multyplikatywnośćwzględem 

iloczynukartezjańskiegorozmaitościi(jednoczesnego)iloczynutensorowego 

wiązek,zerowaniesię,gdyM=∂Noraznormalizacjadlapewnychstandardowychrozmaitości(jak 

CP 2m iS 2m )iwiązek.Tutajn=dimMjest 

parzyste,bodowodzisię,żeitopD=0dlaeliptycznegooperatoraróżniczkowegonarozmaitościonieparzystymwymiarze.Podobniejakwtwierdzeniu 

Hirzebruchaosygnaturzedowodzisię,żepowyższewłasnościwyznaczają 

itopjednoznacznie.Następnymetapemjestokreślenieindeksuanalitycznego 

dlaelementówa∈K(B(M),S(M))przezprzyporządkowanieelementowia 

najpierwsymboluσa,anastępnieoperatoraDatakiego,żeσa=σ(Da). 

Tutajtrzebarozszerzyćklasęoperatorówróżniczkowychdotzw.algebry 

Seeley’a(eliptycznychoperatorówcałkowych).Pokazujesię,żeianspełnia 

cytowanepowyżejwłasności,azatemmusipokrywaćsięzitop. 

Wpracach[19]i[17]usuniętozdowoduteoriękobordyzmów. 3 

WpunktachFiGponiżejopowiemyojeszczeinnychdowodachwzoru(4.6). 

D.Zastosowania:charakterystykaEulera,genusarytmetyczny, 

sygnatura.Myliłbysięten,ktospodziewałbysięistotnegozastosowania 

twierdzeniaoindeksiewjakościowejteoriirównańróżniczkowychcząstkowych.Jegoautorzysątopologamiigeometrami;dlategoteżichprzykładysłużąinterpretacjipewnychgeometrycznychniezmiennikówrozmaitościwterminachindeksówpewnychoperatorówróżniczkowych. 

NajbardziejznanymniezmiennikiemrozmaitościjestjegocharakterystykaEulera 

(4.7) e(M)= (−1) i dimCH i dR(M, C) 

(kohomologiedeRhama).Zakładając,żeMposiadametrykęriemannowską(·,·) 

x (naTM,T ∗ MiΛ j T ∗ M),przestrzeniegładkichzespolonychform 

różniczkowychE j =Γ(Λ j T ∗ M⊗ C)możnawyposażyćwiloczynhermitowski(θ,η)= 

 

M (θ(x),η(x))xVOL(x)(gdzieVOLjestriemannowskąformą 

3 Niedawno(czerwiec2005r.)P.BaumopowiadałotymdrugimdowodzienaUniwersytecieWarszawskimibyłotocałkiemzrozumiałe.


objętości)orazzdefiniowaćgwiazdkęHodge’a∗:E j →E n−j 

(4.8) θ(x)∧∗η(x)=(θ(x),η(x))xVOL(x). 

TerazEj sąprzestrzeniamiprehilbertowskimiimożnazdefiniowaćoperatory 

sprzężoned∗ różniczkizewnętrznejd:(d ∗θ,η)=(θ,dη).Zachodząwzory d∗ =−∗d∗i∗ 2 =(−1) j(n−j) naEj .TeoriaHodge’amówi,żegrupykohomo- 

logiideRhamaH j 

(M, C)możnautożsamiaćzprzestrzeniamiformharmo- 

dR 

nicznych,tzn.takich,żedθ=0id ∗θ=0(oraz∆θ=0dla∆=dd ∗ +d∗d). Niechn=dimM =2lbędzieparzyste;wnieparzystymprzypadku 

mamye(M)=0(dualnośćPoincarégo).Zdefiniujmywiązkizespolone 

l 

(4.9) E= Λ 2j T ∗ l 

M⊗ C, F= Λ 2j−1 T ∗ M⊗ C 

j=0 

j=1 

orazoperator 

DEul=d+d ∗ :Γ(E)→Γ(F). 

Nietrudnosprawdzić,żeDEuljesteliptycznyoraz,że 

(4.10) ianDEul=e(M). 

Terazzinterpretujmygenusarytmetycznyχ(M,W)= (−1) pdimHp (M,O(W)),dlarozmaitościkählerowskiejM iholomorficznejwiązkiW, 

jakoindekspewnegooperatoraeliptycznego.Tutajmamy 

(4.11) E= 

M⊗W, F=Λ 

2j−1 T∗ holM⊗W oraz 

j=0 

Λ 2j T ∗ hol 

j=1 

(4.12) Dχ= ¯ ∂+ ¯ ∂ ∗ :Γ(E)→Γ(F), 

gdzie ¯ ∂ ∗ jestoperatoremsprzężonymdo ¯ ∂względemmetrykihermitowskiej 

(pochodzącejodmetrykikählerowskiej).Ponadtowykorzystujemyfakt,że 

grupyH p (M,O(W))możnainterpretowaćzjednejstronyjakogrupykohomologiiDolbeaulta,azdrugiejjakoprzestrzenieformharmonicznychtypu 

(0,p)(któresąrównież ¯ ∂-harmoniczne,bo∆¯ ∂= 1 

2 ∆d). 

Równieżsygnaturaτ(M)2l-wymiarowejrozmaitościjestindeksempewnegooperatoraróżniczkowego.TutajDτ=d+d 

∗ (jakdlaDEul),aleinaczej 

definiujesięwiązkiEiF.WprowadzamyinwolucjęnaΛ ∗ (T ∗ M⊗ C) 

(4.13) ι=i r(r−1)+l ∗:Λ r (T ∗ M⊗ C)→Λ 2l−r (T ∗ M⊗ C); 

ponieważ∗ 2 =(−1) r ,toι 2 =id.KładziemyEiFjakoprzestrzeniewłasnetejinwolucjiodpowiadającewartościomwłasnym+1i−1odpowiednio. 

Ponieważι(d+d ∗ )=−(d+d ∗ )ι(sprawdzić),toDτ:Γ(E)→Γ(F).Jądro 

Dτ(odpowiednioD ∗ τ)składasięzformharmonicznychθ∈H ∗ =H ∗ (M) 

takich,żeιθ=θ(odpowiednioιθ=−θ).PodprzestrzenieH r ⊕H 2l−r , 

r


podprzestrzeniewłasne;podobnieH l =H l +⊕H l −.Łatwowidać,żeH r ±= 

{α±ια:α∈H r };dlategodimH r + =dimHr − dlar


Dlaprzykładu,niechG=SO(2l)iniechXbędzierzeczywistymGmodułemtakim,żetorusTdziałajakosumaprostamacierzy 

 

cos2πωj −sin2πωj 

, 

sim2πωj cos2πωj 

gdzieωj=ωj(t)∈Hom(T,S 1 )sąwagamimodułuX.Wtedyωj:T→S 1 

indukująodwzorowania˜ωj:BT→B S 1≃ CP ∞ .Będziemyutożsamiaćwagi 

ωjzklasami˜ω ∗ j (γ)∈H2 (BT),gdzieγjestgeneratoremH 2 (CP ∞ ).Okazuje 

się,żepełnaklasaChernawiązki ˜ X⊗ Cwynosic( ˜ X⊗ C)= (1−ω 2 j ), 

zaśklasaPontriaginawiązki ˜ Xwynosip( ˜ X)= (1+ω 2 j ).Ponadtoklasa 

Eulerawiązki ˜ Xwynosie( ˜ X)= ωj. 

WprzypadkugrupyG=U(n)izespolonegomodułuXtorusmaksymalnyT(złożonyzdiagonalnychmacierzy)działazapomocąmacierzy 

diagonalnychwX zwartościamiwłasnymie 2πiωj ,gdzieωj = ωj(t) ∈ 

Hom(T,S 1 )sąwagamimodułuX.Tutajmamyc( ˜ X)= (1+ωj)oraz 

e( ˜ X)= ωj. 

PoliczmyterazitopDEul.Skorzystamyznastępującychtożsamości:jeśli 

c(N)= (1+αi),toc(Λ kN)= 

(1+αi1 

i1


grupyLorenzaSO(1,3);ściślej,jesttoprzestrzeńreprezentacjidwukrotnego 

nakryciaSpin(1,3)grupyLorenza. 

IstniejeanalogoperatoraDiracanarozmaitościachriemannowskichdopuszczającychspin-strukturę.Jegoindeksstanowiważnyniezmienniktakich 

rozmaitości.Poniżejpodajemyodpowiedniedefinicje(według[11]i[34]). 

AlgebrąCliffordaCnwzorowanąnaprzestrzeniwektorowejV = R n 

(zbaząe1,...,enistandardowymiloczynemskalarnymQ(ei,ej)=δij) 

nazywamy R-algebręz1,generowanąprzezVizrelacjami 

(4.16) eiej+ejei=−2δij. 

Zatemjakoprzestrzeńwektorowa(niealgebra)CnjestizomorficznazalgebrąGrassmannaΛ 

∗ Vimawymiar2 n . 

PodobniejakalgebraGrassmannadopuszczaonarozkładCn=C + n⊕ 

C − n,gdzieC + n(odpowiednioC − n)jestrozpinanaprzezjednomianyei1 ...eik 

zparzystą(odpowiednionieparzystą)liczbączynnikówk.MamyC ± n ·C+ n = 

C ± n iC± n ·C− n =C∓ n . 

Definiujemyanty-automorfizmalgebryCn:x→¯xgenerowanyprzez 

ei1 ...eik →(−1)keik ...ei1 .Wtedyei1 ...eik ·ei1 ...eik =1.GrupaPin(n) 

składasięzelementówodwracalnychϕ∈Cn,którespełniają 

(4.17) ϕ¯ϕ=1 i ϕVϕ −1 =V. 

Okazujesię,żeprzekształceniax→ϕxϕ −1 przestrzeniV sąortogonalne, 

czylinależądogrupyO(n).PrzeciwobrazwPin(n)grupySO(n)jestgrupą 

Spin(n).Odwzorowanie 

(4.18) Spin(n)→SO(n) 

jest2-krotnymnakryciem.(Dlan≥2grupaSpin(n)jestjednospójna,zaś 

π1(SO(n))=Z2,np.Spin(3)=SU(2)=S 3 iSpin(4)=SU(2)×SU(2). 

Dlan=2grupySO(2)iSpin(2)sąrówneS 1 iodpowiednieodwzorowanie 

S 1 →S 1 jestrównez→z 2 .) 

Odwzorowanie(4.18)możnaprzedstawićwjawnysposób.Jeślimamy 

1-parametrowąrodzinęobrotówwSO(n): 

(4.19) e1→cos2πω·e1+sin2πω·e2, e2→−sin2πω·e1+cos2πω·e2 

iej→ejdlaj>2,towCnmamyodpowiadającąjejrodzinęobrotów 

wSpin(n): 

(4.20) cosπω+sinπω·e1e2. 

Widać,żeobrótwSpin(n)jest2-krotniewolniejszyniżwSO(n);stąd 

pochodzipojęciespinupołówkowego. 

Dalejbędziemyzakładać,żen=2ljestparzyste.AlgebraC2lmawymiar(2 

l ) 2 inietrudnopokazać,żejestprosta(niejestsumąprostąpodalgebr).ZatemjejkompleksyfikacjaC2l⊗Cjestpełnąalgebrąendomorfizmów


pewnejprzestrzenizespolonejS≃ C2l;przestrzeńSnazywasięprzestrze ⊗ CprzestrzeńSrozkładasięna 

niąspinorów.Dalej,jakomodułnadC + 

2l 

sumęprostąniezmienniczychpodmodułówS + ⊕S− (dodatnichiujemnych 

spinorów).S ± sąpodprzestrzeniamiwłasnymizwartościamiwłasnymi±1 

dlamnożeniaprzezelementτ =(−1) le1...e2l;(zauważmy,żeτ 2 =1). 

Zauważmyteż,że 

ej:S ± →S ∓ . 

Przestrzeńspinorówmożnazdefiniowaćwjawnysposób.Zauważmy,że 

wprzestrzeniΛ ∗ C k operatorygi =ei∧(·)(mnożeniezewnętrzneprzez 

wektorbazowy)ihi=ei(·)(mnożeniewewnętrzne)spełniająrelacjegihj+ 

hjgi=δij,gigj+gjgi=hihj+hjhi=0(typuClifforda,tylkozinnąformą 

dwuliniowąQ).PotraktujmyprzestrzeńwyjściowąV = R 2l jakoW= C l 

(zutożsamieniamie2j↔ie2j−1).WtedyoperatoryAv= √ 2(v∧(·)−v(·)), 

v∈V,działająnaprzestrzeniΛ ∗ W ispełniająrelacjęA 2 v =−2|v|2 = 

−2Q(v,v).Właśnie 

S=Λ ∗ W=Λ ∗ C l , S + = Λ 2j W, S − = Λ 2j−1 W 

sąnaszymiprzestrzeniamispinoróworazdodatnichiujemnychspinorów. 

NiechterazMbędzierzeczywistąrozmaitościąriemannowskąwymiaru 

n=2l.WtedywiązkastycznajestO(2l)-wiązką,tzn.homomorfizmyprzejściaϕαβ(x)∈O(2l)(nadprzecięciamiUα∩Uβ).Układ{ϕαβ}traktujesię 

jakokocykl ČechaowartościachwO(2l);zadajeonelementϕ∈H1 (M, 

O(2l)).Jeślirozmaitośćjestorientowalna,tomożnawybraćϕαβ∈SO(2l), 

tj.detϕαβ(x)=1;wiemy,żeorientowalnośćjestrównoważnaznikaniuklasy 

Stiefela–Whitney’aw1. 

Załóżmy,żeM jestorientowalnaiżeTM zadajesięzapomocąkocykluϕ∈H 

1 (M,O(2l)).Mówimy,żeM dopuszczaspin–strukturę(jest 

rozmaitościąspinorową)jeślikocyklϕjestobrazempewnegokocyklu˜ϕ∈ 

H 1 (M,Spin(2l)).Wyjaśnimy,cotooznaczawterminachklascharakterystycznych. 

Mamyciągdokładnygrup0→Z2→Spin(2l) p →SO(2l)→0iodpowiadającymuciągdokładnysnopów.Wypiszmyodpowiednidługiciąg 

dokładnykohomologii Čecha 

(4.21)...H 1 (M, Z2)→H 1 (M,Spin(2l) p∗ 

→H 1 (M,SO(2l)) δ →H 2 (M, Z2)... 

Pytamysię,czyϕ=p∗(˜ϕ)?Dotegowystarczy,abyδ(ϕ)=0;wtedywszystkiespin-strukturynaMsąnumerowaneprzezelementyH 

1 (M, Z2).Okazuje 

się,żeδ(ϕ)=w2∈H 2 (M, Z2),drugaklasaStiefela–Whitney’a.Abyczytelnikwtouwierzył,proponujęzauważyćanalogięzciągiemdokładnymsnopów0→Z→O 

exp 

→O ∗ →0idefinicjąklasyChernac1(L)wiązkiliniowejL


(zadanejprzezkocyklϕ∈H 1 (M,O ∗ ))jakoδ(ϕ)∈H 2 (M, Z)wanalogicznymciągudokładnymjak(4.21)(patrz[31]).Nawetwprzypadkuzespolonej 

rozmaitościMokazujesię,żew2=c1(TholM)mod2(patrz[34]). 

WybórSpin(2l)-strukturynaM oznacza,żemożemynapisaćTM = 

P× Spin(2l) R 2l ,gdziePjestgłównąwiązkązwłóknemSpin(2l)izgrupą 

strukturalnąSpin(2l).DefiniujemynastępującewiązkinadM: 

E=P× Spin(2l)S, E + =P× Spin(2l)S + , E − =P× Spin(2l)S − . 

NaTMistniejeSO(2l)-koneksjaLevi–Civity∇,którapodnosisiędokoneksjiwwiązcegłównejP→M.(Przypomnijmy,żekoneksjazadajemożliwośćjednoznacznegowyboruelementówzwłóknawiązkiwzdłużkrzywych 

γ(t)wbazie(przywybranympunkciepoczątkowymwłóknanadγ(0)).Ten 

wybórjestzadanyprzezrodzinęoperatorówT(t)∈SO(2l),zaś∇= d 

dt T(t). 

RodzinęT(t)możnateżtraktowaćjakokoneksjęwwiązcegłównejzwłóknemSO(2l).PonieważwiązkaPjestdwukrotnymnakryciemtejostatniej, 

toelementyT(t)lokalniejednoznaczniepodnosząsiędoP.)Zatemmożemy 

podnieśćkoneksję∇równieżdowiązekE,E ± . 

Ponadtomamyhomomorfizmywiązek 

(4.22) TM⊗E→E, 

gdziewektoryzTxM≃V działająnaExprzezmnożeniewalgebrzeCliffordaCn(wzorowanejnaTxM).Wiemyteż,żeTM⊗E 

± →E ∓ . 

OperatorDiracadziałanaprzekrojachs∈Γ(E)imapostać 

(4.23) DDirs(x)= ei·(∇ei s)(x), 

gdzie(e1,...,e2l)jestdowolnąbaząortonormalnąwTxM ielementyei 

działająjakw(4.22).Wistocie(4.23)definiujedwaoperatoryDiraca 

D + 

Dir :Γ(E+ )→Γ(E − ), D − 

Dir :Γ(E− )→Γ(E + ), 

gdzieD − 

Dir =(D+ 

Dir )∗ .RozwiązaniarównaniaDiracaDDirη=0nazywają 

sięspinoramiharmonicznymi.Indeks 

(4.24) ianD + 

Dir =dimkerD+ 

Dir −dimkerD− 

Dir 

operatoraD + 

Dir nazywasięspinorowymindeksemrozmaitościioznaczasię 

przezSpin(M). 

ZakończmytenpunktwyrażeniemSpin(M)zapomocąitopD + 

Dir ,czyli 

wterminachklasPontriaginapj(M).Użyjemywzoru(4.15)zeSpin(2l)modułamiX=S 

+ iY=S − .Jeśliω1,...,ωlsąbazowymiwagamiSO(2l)modułuV(związanegozTM),tosąonezwiązanezmaksymalnymtorusem 

T0wSO(2l).MożnajerozpatrywaćtakżejakowagidlaSpin(2l)-modułów, 

związaneztorusemmaksymalnymT⊂Spin(2l)(którydwukrotnienakrywa


T0).WagiSpin(2l)-modułówS + (odpowiednioS− )sąpostaci 1 

2 (±ω1±...± 

ωl)zparzystą(odpowiednionieparzystą)liczbąminusów.Stądwynika,że 

ch(S + )−ch(S − l 

)= (e ωj/2 −ωj/2 

−e ). 

Ponieważe(V ∗ )= (−ωj),toch(D + 

Dir )= (e αj/2 −e −αj/2 )/(−αj),gdzie 

αj=f ∗ (ωj)(patrzpunktD).Zatem 

ch(D + 

Dir )T(M)= yj/2 

sinh(yj/2) 

1 

=1− 1 

24 p1+... 

= Â(M)= Âr(p1,...,pr). 

Jesttotzw. Â-genus(wprowadzonyrównieżprzezHirzebrucha). 

Zatemmamynastępującetwierdzenie 

 

(4.25) Spin(M)= Â(M),[M] ; 

ponadtoSpin(M)=0,jeślidimMniejestkrotnością4(jakoże Âzależy 

tylkoodklasPontriagina). 

(Zatempoznaliśmytrzyfunkcjegenerująceniezmiennikówtopologicznychrozmaitości:T-genus(genusTodda),L-genus(genussygnatury)iÂgenus(genusspinorowy).Iwystarczy,niebędziewięcejgenusówwtym 

artykule.) 

WteoriiindeksuzwykłosięuważaćoperatorDiracazanajważniejszy 

eliptycznyoperatorróżniczkowy.Wistocie,używającpewnejalgebro-topologicznejiK-teoryjnejanalizymożnasprowadzićdowódogólnegotwierdzeniaoindeksiedodowodutegotwierdzeniawprzypadkuoperatoraDiraca 

(patrz[11]). 

F.Równanieprzewodnictwaciepła.Oczywiściejesttozagadnienie 

początkowepostaci ∂u 

∂t =∆u,u(0,x)=u0(x)zrozwiązaniemu(t,x)= 

(e t∆ u0)(x),t≥0;(tutaj∆≤0wprzeciwieństwiedonastępnychlaplasjanów). 

Myzastosujemyjewprzypadku,gdy‘laplasjan’jestpostaci 

(4.26) ∆E=D ∗ D:Γ(E)→Γ(E) lub ∆F=DD ∗ :Γ(F)→Γ(F). 

Tutaj∆Ei∆Fsąsamosprzężonymiinieujemnymioperatoramizdyskretnymwidmemoskończonejkrotności.Ponadtoker∆E=kerD,ker∆F= 

kerD ∗ oraz dlaλ > 0podprzestrzeniewłasneΓλ(E) = ker(∆E−λ) 

iΓλ(F)=ker(∆F−λ)sąizomorficzne(zizomorfizmemD| Γλ(E)).Stąd 

wynika,że 

(4.27) 

ianD=tr(e −t∆E )−tr(e −t∆F ) 

= 

e −tλ dimΓλ(E)− 

e −tλ dimΓλ(F). 

λ 

λ


Sumywostatnimwzorzesąskończonedlat>0iichróżnicaniezależyod 

t.Wgranicyt→∞otrzymujemydimΓ0(E)−dimΓ0(F).Głównaideazastosowaniarównaniaprzewodnictwapoleganapoliczeniugranicywyrażenia 

tr(e −t∆E )−tr(e −t∆F )przyt→0 +. . 

Okazujesię,żeistniejeasymptotycznerozwinięcie(rozwinięcieSeeley’a) 

postaci 

(4.28) tr e −t∆ ∼ 

∞ 

k=−n 

t k/2m Uk(∆), t→0 + , 

gdzien=dimM,2mjestrzędemnieujemnegoeliptycznegooperatoraróżniczkowego∆i 

(4.29) Uk(∆)= 

 

M 

µk(∆), 

gdzieµk(∆)jestpewnąmiarąnaMjednoznaczniewyznaczonąprzezwspół- 

czynnikioperatora∆.Dalej,miaraµk(∆)jestjednorodnawagi k 

2m względemwspółczynników∆.Wprzypadkum=1,czyligdy∆= 

aij(x)∂xi ∂xj 

+ ai(x)∂xi +a0(x),miaraµk(∆)wyrażasięzapomocąwielomianuod 

współczynnikówaij,ai,odichpochodnychorazoddet −1 (aij). 

Dlanasważnesąmiaryµ0(∆E)iµ0(∆F).Ponadtochcemywyliczyć 

µ0wprzypadkupewnychnaturalnychoperatorówpierwszegorzędu,jak 

operatorsygnaturyDτluboperatorDiracaD + 

Dir (patrzuwaganakońcu 

poprzedniegopunktu).Wobectegom=1imamywyrażenie 

ianD= 

M 

gdzieωjestpewnąn-formąkanoniczniewyznaczonąprzezmetrykęispełniającąokreślonewłasności.Naprzykład,wprzypadkuoperatoraDτformaω=ω(g)jestdanajakowielomianodwspółczynnikówgijmetryki,odskończonejliczbypochodnych∂ 

α xgijioddet −1 gijorazjestjednorodnastopnia0. 

P.Gilkey[30]udowodnił,żejedynetakieformyω(g)sąwielomianamiod 

formróżniczkowychp1(M),p2(M),...reprezentującychklasyPontriagina 

rozmaitości;w[10]podanoprostszydowódtegotwierdzenia.ZatemianDτ= 

 

Mfk(p1,...,pk)dlapewnegoquasi-jednorodnegowielomianufkstopnia k=n/4.AnalogiczniejakwdowodzietwierdzeniaHirzebruchaosygnaturze 

sprawdzasię,żefk =Lk,adosprawdzeniasłużąproduktyprzestrzeni 

rzutowych. 

J.-M.Bismut[24]wyliczyłtr(e −t∆ )zapomocąrachunkustochastycznego.Wiadomo,żegdy∆=−∂ 

2 x1−...−∂2 xnw Rn ,tojądrooperatorae −t∆ 

mapostać 

 

ω, 

K(x,y)=pt(x|y),


czyligęstośćprawdopodobieństwa,żetrajektoriaw(t)procesuWienerastartującegozyznajdziesięwpobliżuxpoczasiet>0.Zatemtr(e 

−t∆E 

 

)= 

Rnpt(x|x)dx.Analogicznateoriaprocesówstochastycznychnarozmaito ściachzwartychzostałastworzonaprzezMalliavinaiinnych.Bismutzasto- 

sowałtęteorię.Przedstawiłjądraoperatorówe −tD−D + 

ie−tD+ D − 

,dlaope- 

ratorówDiracaD ± =D ± 

Dir przypomocygęstościprawdopodobieństwokreślonychprocesówstochastycznych(spełniającychrównaniastochastyczneItólubStratonovicha).Wzoryw[24]sąmocnoskomplikowane,alewrezultaciedostajeonwyrażeniawpostacicałkiporozmaitościzkonkretnej 

formyróżniczkowej,któraokazujesiębyćformą Â-genusu. 

G.SupersymetriaioperatorDiraca.TutajprzedstawiamyostatniepodejściedotwierdzeniaAtiyaha–Singera.Jestononajbardziejefektownezewszystkich,alewykorzystujepojęciesuper-lagranżjanunasuperrozmaitości,ichkwantoweodpowiednikiorazcałkipotrajektoriach.Tepojęciajeszczeniezadomowiłysięwmatematyce. 

5 Wpewnymsensietendowód 

jestskróconymdowodemBismuta,askróceniepoleganazastąpieniucałek 

stochastycznychichsuper-symetrycznymianalogami.Ciekawe,żewłaśnie 

BismutiWittenzostalizaproszenidowygłoszeniawykładówpodczasceremoniiwręczaniamedaluAbela(patrz[43]). 

SkorzystamzwykładuWittena[46],odktóregopochodziidea.Ściślejsze 

dowodymożnaznaleźćwpracachL.Alvarez-Gaumé’a[1]iE.Getzlera[29]. 

Klasycznyukładfizycznyjestopisywanyprzezrównanieróżniczkowe 

zwyczajne(lagranżjannaT ∗ M),zaśkwantowyukładopisujesięzapomocą 

liniowego równania różniczkowego cząstkowego (operator Schrödingera). 

PrzytymfunkcjomnaT ∗ M sąprzypisywaneoperatoryliniowewprzestrzeniHilbertastanówukładu.Taodpowiedniośćprowadzido‘bozonowej’(parzystej)mechanikikwantowej.Aleistniejeteż‘fermionowa’(nieparzysta)mechanikakwantowa.Klasycznymodpowiednikiemnieparzystejmechanikikwantowejjestnieparzystamechanikalagranżowskanatzw.superrozmaitościach.Super-rozmaitośćróżnisięodrozmaitościtym,żeopróczzwykłych(parzystych)współrzędnychxi,i=1,...,n,posiadatakżenieparzystewspółrzędneθi,i=1,...,N,któresąanty-przemiennemiędzysobą.Wtedymówisię,żesuper-rozmaitośćmawymiarn|N.Przestrzeńtopologiczna(‘podścielająca’)jesttakasamadlarozmaitościisuper-rozmaitości.Naprzykład, 

takąsuper-rozmaitościąjest R n|N zC ∞ (R n|N )=C ∞ (R n )⊗Λ ∗ R N .Innym 

przykłademjestΠTM,wiązkanadMzwłóknami(TxM) 0|n traktowanymi 

jakoczystonieparzysteprzestrzeniewymiaru0|n;tutajΠoznaczazmianę 

parzystości. 

5 Dotyczytorównieżmnie,chociażchybaniemożnamizarzucićbrakustarań.


Kwantyzacjanasuper-rozmaitościpolegałabynaprzypisywaniuparzystymwspółrzędnymipędom(parzystych)operatorówmnożeniaipochodnychcząstkowych,zaśzmiennenieparzystepowinnyprzechodzićna(nieparzyste)operatoryzalgebryCliffordadziałającenaspinory. 

Typowesuper-działaniemapostać 

(4.30) S(X)=− 

 

R 1|1 

dtdθ 1 

2 〈˙x(t)+θ∇tψ,ψ−θ˙x(t)〉, 

gdzie R 1|1 ={(t|θ):tparzyste,θnieparzyste},X=x(t)+θψ(t):R 1|1 → 

ΠTM={(x|ψ):xparzyste,ψnieparzyste},〈·,·〉jestmetrykąRiemanna 

naM,a∇koneksjąLevi–Civity.Ponadto dθjesttzw.całkąBerezina: 

dθ·1=0, dθ·θ=1.Ponieważθ 2 =0(antyprzemienność),to(4.30) 

możnaprzepisaćwnastępującejpostaci 

(4.31) S(x,ψ)= 1 

2 

|˙x| −〈∇tψ,ψ〉 

2 

dt=− 1 

2 

gdzie 

R 

 

R 1|1 

 

dtdθ ˙X(t),QX(t) , 

Q= ∂ 

∂θ −θ∂ 

∂t 

jest(nieparzystym)polemwektorowymgenerującymprzekształceniasupersymetrii(mieszaniezmiennychprzystychznieparzystymi).MamyQ 

2X= −∂ ∂tX,coodpowiada(parzystej)hamiltonowskiejewolucji. RównaniaEulera–Lagrange’aprzyjmująpostać∇tQX=0lub(równoważnie) 

∇tψ=0, R(ψ,˙x)ψ=∇t˙x, 

gdzieRjestkrzywizną.TutajodpowiednikiemparzystejprzestrzenisymplektycznejT 

∗ Mjestprzestrzeńπ ∗ ΠTM,gdzieπ:T ∗ M→Mjestrzutowaniem. 

OdpowiednikiemparzystejprzestrzeniHilbertaL 2 (M)jestprzestrzeń 

H=L 2 (E)przekrojówwiązkispinorowejE=E + ⊕E − (zwłóknemS= 

S + ⊕S − ).Jesttosuper-przestrzeńHilbertaH=H + ⊕H − ,H ± =L 2 (E ± ), 

czylizZ2-gradacją.Wsuper-przestrzeniHilbertamamysuper-śladtrs= 

tr| H +−tr| H −. 

PonieważQ 2 odpowiadahamiltonianowiHwprzypadkuklasycznym, 

tokwantyzacjaQpowinnadaćoperatorDiracaDDir(patrz[46]).Indeks 

operatoraDiracawyrażasięzatemjakosuper-ślad, 

(4.32) ianDDir=tr s e −βH . 

Następnyetapdowodupoleganawyliczeniusuper-śladuoperatorae −βH 

dlamałychβ.Towyliczeniedokonujesięzapomocącałekpotrajektoriach 

(typuFeynmana).Rozważasięsuper-symetrycznepętleX=(x,ψ):S 1|1 →


ΠTM,gdzieS 1|1 ={(t|θ):t∈Rmodβ}.Wtedyzachodzinastępujący 

super-analogodpowiedniegowzoruBismuta: 

(4.33) tr s e −βH = 

 

{X} 

DxDψe −S(x,ψ) , 

gdzieDoznaczamiaryfunkcjonalne(typuWienera).Przeskalowaniet ′ =βt, 

ψ ′ =ψ/ √ βdajeanalogicznywzórjakw(4.33),tylkozpewnąstałąprzed 

całką 

−1 1 

2 izsuper-działaniemS= |˙x| −〈∇tψ,ψ〉 {X} 2β 0 

dt. 

StałaniejestdlaWittenagroźna,gdyżzależytylkoodwymiarun(iod 

β),ajegointeresujetylkowiodącywyrazasymptotykiprzyβ→0.Tego 

typustałepojawiająsięrównieżdalej.Wrezultaciekońcowywynikbędzie 

określonyzdokładnościądoczynnikaniezależnegoodrozmaitości,który 

wyznaczasięnapodstawieprzykładów. 

Dlamałychβdziałaniestajesiędużeicałkapowinnabyćliczonametodą 

fazystacjonarnej,czylizwyróżnieniemwkładupochodzącegoodotoczeń 

punktówkrytycznych.PunktykrytycznedziałaniaodpowiadajązamkniętymgeodezyjnymwM.Przytymgeodezyjneominimalnymdziałaniu,to 

stałegeodezyjne,czylix(t)≡x0,ψ(t)≡ψ0. 

Bierzemyzaburzeniax(t)=x0+ √ βa(t),ψ(t)=ψ0+ √ βη(t)iwyliczamy 

częśćkwadratowąwSwzględemzaburzenia.WynosionaI1+I2,gdzie 

I1=− 11 

|˙a| 

2 

2 − 1 

2 〈R(ψ0,ψ0)a,˙a〉 

 

dt, I2=− 11 

〈˙η,η〉dt; 

2 

0 

(tutajR(ψ0,ψ0)=0,boψ0jestnieparzyste). 

Całkafunkcjonalna 

{(a,η)} DaDηe−I1(a)−I2(η) zapisujesięwpostaciiloczynu 

 

{a} e−I1 

· {η} e−I2 ,przyczymtaostatniacałkaznowudajepewną 

stałązależnątylkoodwymiarun.Zatopierwszacałkajestgaussowskai 

wynosi 

(4.34) 

gdzie 

 

{a} 

Dae −I1(a) =[detDR(x0,ψ0)] −1/2 , 

(4.35) DR=DR(x0,ψ0)=− d2 

dt2−1 d 

R(ψ0,ψ0) 

2 dt . 

WyznacznikoperatoraDR,R∈so(n),liczymymetodąregularyzacjiRay’a– 

Singera(patrzpunkt6Aponiżej).DRdziałanaprzestrzeniodwzorowań 

a:S1 → Rnzzerowąśrednią, a=0.Niechn=2lirozłóżmyTx0 Mna2wymiarowepodprzestrzenieVjtakie,żeR|Vj 

= 

 

0 αj 

.Wektorywłas- 

−αj 0 

neoperatoraDRsąpostaci vje2πikjt ,vj∈Vj,kj∈ Z\0,zwartościami 

0


własnymi(2πkj) 2 ±πkjαj.Zatem √ detDR= l 

 

∞ 

j=1 

(2πk) 

k=1 

4 

 

1+ αj 2 

4πk 

 

. 

Iloczyny (2πk) 4regularyzujesięprzypomocyζ-funkcji,np. (ck) 4 = 

exp(−4d ds |s=0 

−s d (ck) )=exp(−4 ds (ζ(s)c−s )|s=0).Pozostaje 

l 

 

∞ αj 

2 

const· 1+ 

4πk 

 

 

−1 αj/2 

=const· =const· 

sinhαj/2 

Â(R)−1 , 

j=1 

k=1 

gdzie ÂjestÂ-genusem. 

AleRzależyodx0 iψ0,apamiętamy,żewmetodziefazystacjonarnejtrzebasumowaćwkładyodposzczególnychpunktówkrytycznych. 

Wnaszymprzypadkupowinniśmyjeszczescałkować[detDR(x0,ψ0)] −1/2 = 

const· Â(R)posuper-rozmaitościΠTM.Przytymwszystkojesttakwykombinowane,żenieparzysteskładoweψ0,i,jakofunkcjenaΠTx0M,sąelementamidxi∈T 

∗M,acałkaBerezinapoΠTx0 Mjeststała.Zatemwyraże- 

x0 

nieR(ψ0,ψ0)trzebazastąpić2-formą Rij(x0)dxi∧dxj.Tęformęnależy 

jeszczewstawićdo Â(R)iodpowiedniąn-formędopierowycałkowaćpoM. 

Dostajemy 

(4.36) ianD + 

Dir =C· 

 

M 

Â(R), 

pluswyższepotęgiβ.TutajCjestpewnąstałą,któramogłabybyćpostaci 

C1β ν ,aleponieważwynikjestskończonyiniezerowy,toν=0iCzależy 

tylkoodn=2l. 

IstniejedefinicjaklasCherna(iPontriagina)poprzezkrzywiznękoneksji 

wwiązceE(patrz[31],[36]).JeśliRjest2-formą(owartościachwEnd(E)) 

krzywiznytejkoneksji,tozachodziwzór 

(4.37) c(E)=det(1+ i i 1 

R)=1+ trR− 

2π 2π 4π2trR∧R+..., gdzieposzczególneskładnikisązamkniętymiformamiisątraktowanejako 

klasykohomologiideRhama.Zatem 

Â(R)= Â(M),[M] ,czylimamy 

twierdzenieoindeksiezdokładnościądostałejC.Zprzykładówwynika, 

żeC=1.W[1]wanalogicznysposóbpoliczonoindeksyoperatorówDEul 

iDτ. 

Wzór(4.36)jestprzykłademtzw.lokalnegotwierdzeniaoindeksie.InnymprzykłademjestwzórGaussa–Bonneta2πe(M)= 

 

MKdlapowierzch niizeskalarnąkrzywiznąK. 

CiekawajestteżpracaAtiyaha[6],gdziewykonanopodobnerachunkijak 

powyżej,aleprzywykorzystaniunieprzybliżonegorozwinięciametodąfazy 

stacjonarnej,tylkopewnegodokładnegowzoruDuistermaataiHeckmana


[27]przyzałożeniudziałaniagrupyS 1 .TutajS 1 działanapętlachS 1 →M 

poprzezprzesuwanieargumentu.WtensposóbAtiyahunikasuper-symetrii. 

5.UogólnienietwierdzeniaLefschetza.Wymiarskończeniewymiarowejprzestrzeniwektorowej,tośladoperatoraidentycznościowego.Zatemnaturalnymuogólnieniemindeksuanalitycznegooperatoraeliptycznegobędzie 

trTE−trTF, 

gdzieTE :Γ(E)→Γ(E),TF :Γ(F)→Γ(F)sąoperatoramiliniowymi 

zgodnymizD,tzn.TF◦D=D◦TE. 

Możnapójśćjeszczedalej.Zamiastjednegooperatoraeliptycznegomożna 

rozważyćkomplekseliptyczny 

(5.1) E:0→Γ(E0) D0 

→Γ(E1) D1 Dm−1 

→... → Γ(Em)→0 

taki,że(i)Di+1◦Di=0oraz(ii)ciągsymboli 

σi(x,ξ) 

...→Ei,x → Ei+1,x→... 

jestdokładnydlawszystkichx∈Miξ∈T ∗ xX\0,gdzieσisąsymbolami 

operatorówróżniczkowychDi.WtedygrupykohomologiiH i (E)kompleksu 

(5.1)sąskończeniewymiarowe. 

Dalej, jeśli mamy endomorfizm T = (Ti) i=0,...,m kompleksu E, 

Ti:Γ(Ei)→Γ(Ei+1), 

(5.2) Ti+1◦Di=Di◦Ti, 

todefiniujemyjegoliczbęLefschetzajako 

m 

(5.3) L(T)= 

i=0 

(−1) i trH i (T), 

gdzieH i (T):H i (E)→H i (E)sąodpowiednimiodwzorowaniamiwkohomologiach.Przypuśćmyteraz,żeendomorfizmT 

=(Ti)jestzwiązany 

zpewnymgładkimodworowaniemf :M →M orazżepotrafimyutożsamiaćcofniętewiązkif 

∗ EizwiązkamiEizapomocąhomomorfizmów 

ϕi:f ∗ Ei→Ei.WtedymamyendomorfizmyTi=ϕi◦f ∗ :Γ(Ei)→Γ(Ei). 

Jeśliprzytymzachodząkomutowania(5.2),todostajemyendomorfizmkompleksuE. 

Załóżmynakoniec,żeodwzorowaniefposiadatylkoniezdegenerowane 

punktystałe,tzn.det(1−f ′ (p))=0,jeślif(p)=p(1niejestwartością 

własnąf ′ (p)). 

M.AtiyahiR.Bott[AB1,AB2]udowodnili,żewtejsytuacjiliczba 

LefschetzaendomorfizmuTwyrażasięwzorem 

(5.4) L(T)= 

f(p)=p 

ν(p),


gdzieindekspunktustałegowynosi 

(5.5) ν(p)= 

(−1) i trϕi,p 

|det(1−f ′ (p)| , 

zaśendomorfizmyϕi,p:Ei,p→Ei,psąograniczeniamiϕidowłókienEi,p. 

Wzór(5.4)jestuogólnieniemklasycznegotwierdzeniaLefschetzaL(f)= 

(−1) i tr f ∗ :H i (M)→H i (M) = 

f(p)=p indp(f),gdzieindp(f)jest 

indeksempolawektorowegox−f(x).Istotnie,biorącjakoEkompleksde 

RhamazróżniczkamizewnętrznymijakoDiorazzTi=f ∗ ,znajdujemy 

ν(p)=|det(1−f ′ (p))| −1 (−1) i trf ∗ |Λ i T ∗ pM 

= det(1−f′ (p)) 

|det(1−f ′ (p))| =signdet(1−f′ (p)). 

Wprzypadkuzespolonymzachodzianalogicznetwierdzenie.Załóżmy, 

żemamyholomorficzneodwzorowanief : M → M zespolonejrozmaitości,mamyholomorficznąwiązkęEnadMiholomorficznyizomorfizm 

ϕ:f ∗ E→E.JeślizdefiniujemyendomorfizmyH i (f)=ϕ ∗ ◦f ∗ nagrupach 

kohomologiiHi (M,O(E)),tozachodziwzór 

 

i i 

(5.6) (−1) trH (f)= 

gdzie 

(5.7) ν(p)= 

f(p)=p 

trϕp 

detC(1−f ′ (p)) . 

ν(p), 

JakoprzykładzastosowaniaweźmyholomorficzneodwzorowaniefpowierzchniRiemannaMitrywialnąwiązkęliniowąE.Wtedywzór(5.6)daje 

1−H0,1 (f)= 1 

f(p)=p 1−f ′ (p) ,gdzieH0,1 (f)jestindukowanymhomomor- 

fizmemnaH 0,1 (M)=H 1 (M,O). 

Heurystyczneuzasadnieniewzoru(5.6)jestnastępujące(patrz[40]),ale 

ścisłydowódjestinny.Spróbujmypoliczyćnastępujący‘ślad’trϕ◦f ∗ : 

Γ(E)→Γ(E)=H 0 (M,O(E)).Wkładdoniegownosząjedynieinfinitezymalneotoczeniapunktówstałychodwzorowaniaf.Zatemliczymyśladodwzorowanianaprzestrzenikiełkówprzekrojóws:U→E,gdzieUjestotoczeniempunktustałegop.Zalgebraiczno-formalnegopunktuwidzeniaprze- 

strzeńkiełków,toEp⊗ST ∗ P M,gdzieST∗ p Mjestsymetrycznąalgebrą(wielo- 

mianównaTpM).Tutajtr(ϕ◦f ∗ |Ep⊗ST ∗ P M)=trϕp 

Jeśliλisąwartościamif ′ (p),to 

n 

j tr f ∗ p|ST ∗ p 

= 

 

j tr f ∗ p|ST ∗ pM 

. 

k1,...,knλk1 1 ...λkn n = 

(1−λi) 

i=1 

−1 =1/(det(1−f ′ (p))).Częstookazujesię,żeH j (M,O(E))=0


dlaj>0.Wtychprzypadkachpowyższerozumowaniedajewłaśniewzór 

(5.6). 

CiekawymprzykłademzastosowaniatwierdzeniaAtiyaha–BottajestinterpretacjaformułyWeyla 

(5.8) χλ= 

⎧ 

⎨ 

e 

w· 

⎩ 

iλ 

 

(1−e−iα ⎫ 

⎬ 

) ⎭ 

w∈W 

wterminach(5.6).Tutajχλjestcharakterempewnejspecjalnejreprezentacjiρ:G→Aut(Vλ)zwartejgrupyLiegoG.Jesttoreprezentacjaindukowanaz1-wymiarowejreprezentacjitorusamaksymalnegoT⊂Gokreślonejprzeztzw.młodsząwagęλ∈Hom(T,S 

1 )(zcharaktereme iλ ).Sumowaniew(5.8)odbywasiępoelementachgrupyWeylaW 

=N(T)/T, 

gdzieN(T)= n∈G:n −1 Tn=T jestnormalizatoremtorusamaksymalnegoT,adziałanieelementuw∈WnafunkcjęFzadajesięwzorem 

(w·F)(h)=F(n −1 hn),gdzien∈N(T)reprezentujeelementw. 

PrzestrzeńVλreprezentacjirozkładasięnasumę1-wymiarowychprzestrzeniniezmienniczychwzględemT,którychwagisą≥λ(patrz[40]i[9]). 

Podobnie,kompleksyfikacjaalgebryLiego g C grupyrozkładasięnaalgebrę 

Cartana h(czylistycznątoT)i1-wymiarowepodprzestrzenieniezmiennicze 

T(względemdołączonegodziałania),którychwagamisąpierwiastkiαalgebry.Pierwiastkidodatnieα>0wygodniejestwyobrażaćsobiejakoodpowiadającegórno-trójkątnymmacierzom(np.gdy 

g C =SL(n, C)),aujemne 

α0.Wtedywartościwłasnedziałaniag∈Tna 

n + ,toe iα(g) ,α>0. 

Zlewejstronyw(5.8)mamyχλ=trρ(g)=tr(g|H 0 (M,O(Eλ)));dowodzisię,żeH 

j (M,O(Eλ))=0dlaj>0(patrz[9]i[40]).Zatemwzór 

Weylawynikazewzoru(5.6). 

α>0 

6.Regularyzacjawyznaczników,ζ-funkcjeiη-funkcje 

A.Wyznacznikiidzeta-funkcje.Przywyliczaniucałekfunkcjonal- 

nychtypu 

X Dφe−(∆φ,φ) ,gdzieXjestnieskończeniewymiarowąprzestrze- 

nią,a∆≥0operatoremlinowym(typulaplasjanu),pojawiasiękonieczność 

wyliczeniawyznacznikaoperatora∆(patrzpunkt4G).


WprzypadkuskończeniewymiarowegooperatoraA>0mamydetA= 

λ1...λn,gdzieλj>0sąjegowartościamiwłasnymi.Możemybezpiecznie 

przepisaćtowpostaci 

 

logλj (6.1) detA=e =exp 

gdzie 

 

− d 

ds 

(6.2) ζ ′ A (s)= 

λ 

j 

s j 

 

1 

1 

λ s j 

|s=0 

 

=e −ζ′ 

A (0) , 

jestζ-funkcjąoperatoraA. 

Wprzypadkunieskończeniewymiarowymwyrażenie λjzwykleniema 

sensu.Aleζ-funkcjajestdobrzeokreślonąfunkcjązespoloną,przynajmniej 

dladużychRes.Istotnie,gdyoperatormapostać∆=D ∗ D+DD ∗ ,to 

mamy 

(6.3) ζ∆(s)= 1 

Γ(s) 

∞ 

0 

t s−1 tre −t∆ dt. 

Ponadto,korzystajączrozwinięciaSeeley’ego(4.28),widzimy,żeζ∆(s)jest 

meromorficznąfunkcjąnapłaszczyźniezespolonejzmożliwymibiegunami 

wpunktachs=− k 

2m ,k=−n,−n+1,−n+2,.... 

Przys→0mamyΓ(s)= 1 

s (1+...),awięcζ∆(0)=lims→0s·U0(∆)· 

1 

0 ts−1 dt=U0(∆)jestskończone.Tooznacza,żefunkcjaζ∆(s)jestholomorficznawotoczenius=0imadobrzezdefiniowanąpochodnąζ 

′ ∆ (0). 

Właśniewtymsensiewzór 

(6.4) det∆=e −ζ′ (0) 

definiujewyznacznikoperatora∆. 

ObecnienosionnazwęregularyzacjiRay’a–Singeraijestpowszechnie 

używanywfizycznejimatematycznejliteraturze(patrz[7],[46]). 

B.TorsjaReideimeistera–FranzaitorsjaRay’a–Singera.PrawdopodobniewłaśnieodpracyD.Ray’aiI.Singera[41]rozpoczęłosięstosowaniezregularyzowanychwyznaczników.Jejautorzyużylitychwyznacznikówdozdefiniowaniatzw.analitycznejtorsji(lubtorsjiRay’a–Singera) 

wnastępującejsytuacji. 

NiechMbędzierozmaitościąriemannowską.Załóżmy,żejestdanareprezentacjaρ:π1(M)→O(m)grupypodstawowej.Wtedyρzadajewiązkę 

E nadM zwłóknemR m .MamysnopyE j (E) = E j ⊗E formróżniczkowychowartościachwEioperatordróżniczkizewnętrznej;oczywiście 

d 2 =0,bowiązkajestpłaska.Niechd ∗ będzieoperatoremsprzężonymdo


dwzględemiloczynuskalarnegonaE ∗ (E).Mamylaplasjany∆=dd ∗ +d ∗ d 

i∆q=∆| Γ(E q (E)).Zróbmyjeszczenastępująceistotnezałożenie: 

(6.5) 0niejestwartościąwłasnądla∆ 

(czyliwszystkie∆j>0).Zauważmy,żezałożenie(6.5)oznaczaznikanie 

wszystkichkohomologiideRhamaowartościachwE(niemaformharmonicznych). 

TorsjąRay’a–Singeranazywamywyrażenie 

√ 1√ 3... det∆1 det∆3 

(6.6) Tρ(M)= √ 0√ 2... , 

det∆0 det∆2 

gdziewszystkiewyznacznikisązdefiniowanewzorem(6.4).RayiSinger 

w[41]udowodnili,żeTρjestniezmiennikiemrozmaitościMireprezentacji 

ρ;np.niezależyodmetryki.Wnastępnejpracy[42]wprowadzilianalityczną 

torsjędlazespolonychrozmaitości;wzórjesttensam,tylko∆= ¯ ∂ ¯ ∂ ∗ + ¯ ∂ ∗¯ ∂. 

W[41]RayiSingerwysunęlihipotezę,żeTρ(M)pokrywasięztorsją 

Reidemeistera(lubReideimeistera–Franza)zdefiniowanąnastępująco.Niech 

KbędzierozbiciemsymplicjalnymMi ˆ Kjegonakryciemuniwersalnym, 

naktórymgrupapodstawowaπ1 =π1(M)=π1(K)działazapomocą 

przekształceńnakrywających.WtedygrupyłańcuchówCq( ˆ K)sąmodułami 

nadalgebrągrupową R(π1).Definiujemynastępującykompleksłańcuchowy 

C:Cn→Cn−1→...złożonyzR(π1)-modułówCq=Cq(K,ρ)=R n ⊗ R(π1) 

Cq( ˆ K).Zakładamy,że 

(6.7) kompleksCjestacykliczny, 

czylidokładny(zzerowymigrupamihomologii). 

NiechcqbędąwybranymibazamiwCq.Wybierzmybazy ˜ bqwBq= 

∂Cq+1iniechˆbq−1⊂Cqbędątakimiukładaminiezależnychelementów,że 

∂ˆ bq−1= ˜ 

bq−1.Założenie(6.7)implikuje,żebq= ˜bq, ˆ 

bq−1 teżjestbazą 

wCq.Niech[bq|cq]=|wyznacznikzamianybaz|. 

TorsjaReideimeistera,to 

(6.8) τρ(M)= [b1|c1]·[b3|c3]... 

[b0|c0]·[b2|c2]... . 

Możnająprzedstawićtakżewnastępującejpostaci 

1 3 

det∆c 1 det∆c 3 ... 

τρ(M)= 0 2 , 

c c det∆0 det∆2 ... 

gdzietzw.kombinatorycznelaplasjany∆ c j =∆c |Cj sąwyznaczonezapomocą∆ 

c =∂ ⊤ ∂+∂∂ ⊤ ,a∂ ⊤ jestmacierzątransponowanądomacierzy 

odpowiadającej∂wbaziec=(c0,...,cn).


RayiSingerwysunęliprzypuszczenie,żeTρ(M)=τρ(M).Tęhipotezę 

późniejniezależnieudowodniliJ.Cheeger[25]iW.Müller][38]. 

C.Eta-niezmiennikiasymetriaspektralna.Dotychczasoweniezmiennikirozmaitościzwiązanezindeksamipewnychoperatoróweliptycznychbyłynietrywialnetylkodlarozmaitościoparzystymwymiarze(itop=0 

nanieparzystowymiarowychrozmaitościach).Jakzdążyliśmysięprzekonać, 

teniezmiennikisązwiązanezdzeta-funkcjąoperatoróweliptycznychdrugiegorzędu;naprzykład,ian(d+d 

∗ )=ζd ∗ d(0)−ζdd ∗(0). 

Narozmaitościachonieparzystymwymiarzeistniejąeliptyczneoperatoryróżniczkowepierwszegorzędu,któresąsamosprzężone,alezbiórich 

wartościwłasnychrozciągasięod−∞do+∞.Naprzykład, 

(6.9) Aφ=(−1) p+1 ∗dφ+(−1) p d∗φ, φ∈E 2p (M), 

dimM=4k−1. 

DlatakichoperatorówM.Atiyah,V.PatodiiI.Singer[APS]wprowadzili 

następującąη-funkcję 

(6.10) ηA(s)= 

sign(λ)·|λ| −s , 

λ=0 

sumapowartościachwłasnychA.Podobniejakdzeta-funkcja,ηA(s)przedłużasięmeromorficznienacałąpłaszczyznęzespoloną.Ponadto,także 

ηA(0)jestskończone. 

WłaśnieηA(0)okazujesiębyćniezmiennikiemtopologicznymrozmaitości(dlaodpowiedniegoA).Naprzykład,dlaoperatora(6.10)zachodzi 

następującywzór(patrz[APS]) 

(6.11) τ(T)− 

 

Y 

Lk(p(Y))=(−1) k+1 ηA(0), 

gdzieY jest4k-wymiarowąrozmaitościątaką,żeM =∂Y (ilokalnieY 

jestizometrycznazM×[0,1)),τ(Y)jestsygnaturąformyprzecięćna 

H2k (Y,M),zaśLkjestL-genusemHirzebrucha.WłasnośćηA(0)=0nosi 

nazwęasymetriispektralnej. 

Wpracy[12]znalezionozastosowaniewzorupodobnegodo(6.11)wanalitycznejteoriiliczb.PewienszeregpostaciL(s)= 

 

µ sign(N(µ))·|N(µ)|−s 

(tzw.L-szereg),gdzieµprzebiegapewnąkratęwdanymrozszerzeniualgebraicznymciałaliczbwymiernych,aN(µ)jestjegonormą,jestanalogiczny 

doszereguw(6.10).Hirzebruchpostulował,aM.Atiyah,H.DonnellyiI. 

Singerudowodnili,żeL(s)wyrażasięwzoremanalogicznymdo(6.11)dla 

pewnejspecjalniedobranejrozmaitościM. 

7.Fizykamatematyczna.Jaknajednegozczołowychmatematyków 

swoichczasów,Atiyahbardzopóźnozainteresowałsięfizyką(Singerbyłdużo


bardziejaktywnynatympolu).Prawdopodobnieprzyczynąbyłbrakproblemówpochodzeniafizycznego,któreby‘pasowały’dojegozainteresowań 

idoświadczeń(którewywodząsięzK-teoriiigeometriialgebraicznej). 

A.Instantony.Takiproblempojawiłsięwpołowielat70-tychubiegłegostulecia.W1975r.A.Belavin,A.Polyakov,A.SchwartziY.Tyupkin 

[23]znaleźliprzykładynietrywialnychglobalnychrozwiązańrównańEulera– 

Lagrange’adlalagranżjanuYanga–Millsa.Powstałopytanie,jakznaleźć 

wszystkierozwiązania.Matematycy,naczelezAtiyahem,rozwiązaliten 

problemwsposóbnaprawdęimponujący.Prawdopodobniebyłatoostatniaspektakularnademonstracjaintelektualnejprzewagimatematykównad 

fizykami. 

Wartododać,żepolaYanga–Millsastanowiąuogólnieniapolaelektromagnetycznegoiokazałysiębardzoużyteczneprzyklasyfikacjicząstekelementarnych,np.wteoriiWeinberga–Salamasłabychoddziaływańiwchromodynamicekwantowej(patrz[47]). 

Działanierozważaneprzezfizyków,tofunkcjonałenergii 

(7.1) S(A)= 1 

2 

 

R 4 

|F| 2 d 4 x, 

gdzieF= Fµνdxµ∧dxν,Fµν=∂µAν−∂νAµ+[Aµ∧Aν]=[∇µ∧∇ν], 

jestformąkrzywiznykoneksji∇µ=∂µ+AµdxµtrywialnejwiązkiEnad 

R4zwłóknem C2izgrupąstrukturalnąSU(2) =Sp(1).(TutajkrzywiznajestoznaczanaprzezF,anieprzezR,jakwpunkcie4G.)Zatem 

Aµ(x),µ=1,...,4,iFµν(x),µ,ν=1,...,4,sąelementamialgebryLiego 

 

iα β 

su(2)= 

−¯ 

:α∈R,β∈ C .Ponadto|F| 

β −iα 

2 =− 

µ,νtr(Fµν) 2 , 

czylilagranżjanwynosi 

(7.2) L= 1 

2 |F|2 VOL=−trF∧∗F, 

gdzie∗jestgwiazdkąHodge’a:∗dx1∧dx2=dx3∧dx4,∗dx1∧dx3=dx4∧dx2, 

∗dx1∧dx4=dx2∧dx3.Zauważmy,że∗ 2 =idnaΛ 2 R 4 oraz,że(A,B)= 

−tr(AB)jestdodatniookreślonąformąKillinganasu(2). 

JeśliA+ajestwariacjąkoneksji(a=δAmałe),towariacjąkrzywizny 

jestF+δF,δF=∇∧aiwariacjadziałaniawynosiδS=− (F,[∇∧a]). 

Ponieważ∇ = d+Aid ∗ = −∗d∗,orazniezmienniczośćformyKillinga(A,[B,C])=−([B,A],C)implikuje(adA) 

∗ =−∗adA∗,więcmamy 

δS= (∇ ∗ F,a),gdzie∇ ∗ =−∗∇∗.ZatemrównaniaEulera–Lagrange’a 

przyjmująpostaćtzw.równańYanga–Millsa 

(7.3) ∇∧∗F=0.


ZdrugiejstronytożsamośćJacobiegowsu(2)implikujenastępującątożsamośćBianchi 

(7.4) ∇∧F=0. 

KoneksjaAnazywasięsamodualną(odpowiednioanty-samodualną),jeśli 

F=∗F (odp.F=−∗F). 

Jestzatemoczywiste,żesamodulaneianty-samodualnekoneksjetworzą 

rozwiązaniarównańYanga–Millsa.Ponieważzmianaorientacjiprowadzido 

zmiany∗→−∗,tosamodualnekoneksjeprzechodząnaanty-samodualne 

iodwrotnie. 

Dlafizykówistotnejest,abyenergiapolabyłaskończona,czyliaby|F(x)| 

malałodostatecznieszybkoprzy|x|→∞.Tooznacza,żebliskonieskończonościpotencjałA(x)możnasprowadzićdoniemalzerazapomocąodpowiedniegocechowania,czylizamianyy→g(x)yzmiennychwewłóknach 

Ex.TakazamianaprowadzidoA(x)→g −1 Ag+g −1 dgiF→g −1 Fg. 

Zatemzakładamydodatkowo,żeA(x)∼g −1 (x)dg(x)przy|x|→∞, 

gdzieg(x)∈SU(2).Wszczególności,możemyokreślićodwzorowanieg: 

S 3 R →SU(3),gdzieS3 R jestsferąodużympromieniuR,aSU(2)≃S3 .Zakładasię,żestopieńtegoodwzorowaniajestniezerowy;oznaczamygoprzez 

k.Okazujesię,żetegotypudaneprowadządokoneksjiwpewnejwiązce 

nadS 4 = R 4 ∪∞,którądalejbędziemyoznaczaćprzezE,alektórajużnie 

jesttrywialna.Dokładniej,Emanietrywialnytzw.topologicznyładunek 

 

(7.5) k= 1 

8π2 S4 tr(F∧F), 

czylik= −c2(E),[S4 ] = 1 

 

p1(E),[S 2 

4 ] .Przypomnijmy,żec(E)=det(1+ 

i 

i F)=1+c1+c2+...,gdziec1= 2π 2πtrF=0iżep1(E)=c 2 1−2c2. Zatemp1(E)=2k. 

Jeślirozłożymykrzywiznęnaczęśćsamodualnąianty-samodualną, 

(7.6) F=F + +F − , 

tomożemynapisać 

(7.7) S= F + 2 + F − 2 , 8π 2 k= F + 2 − F − 2 . 

Zatemrozwiązaniasamodualne(odpowiednioanty-samodualne)realizują 

minimumSprzywarunku(7.5)dlak0).Nazywamyjeodpowiednioinstantonamiianty-instantonami.Zadanie(zktórymfizycysobienieporadzili)poleganaznalezieniuwszystkichanty-samodualnychkoneksjimoduloprzekształceniacechowaniaozadanym(dodatnim)ładunkutopologicznym. 

Poniżejprzedstawiamytekoneksje.Potemnakreślimyschematdowodu, 

żesątowszystkierozwiązania.


Będziemyużywaćzmiennychkwaternionowychx=x1+ix2+jx3+kx4, 

zesprzężeniem¯x=x1−ix2−jx3−kx4,zmodułem|x| 2 =x¯x,zczęścią 

urojonąImx= 1 

2 (x−¯x)=ix2+jx3+kx4izwłasnościąxy=¯y·¯x.Wtedy 

algebręLiegosu(2)utożsamiamyzIm H: 

i←→ 

i 0 

0 −i 

 

, j←→ 

0 1 

−1 0 

 

0 i 

, k←→ . 

i 0 

PotencjałkoneksjiA(x)= 

A µ(x)dxµbędziemyzapisywaćjakoIm{f(x)dx} 

f(x)dx−d¯xf(x) . 

= 1 

2 

Zauważmy,żedx∧d¯x=−2[(dx1∧dx2+dx3∧dx4)i+(dx1∧dx3+ 

dx4∧dx2)j+(dx2∧dx4+dx2∧dx3)k]maskładowetylkosamodualne,czyli 

∗dx∧d¯x=dx∧d¯x.Zatoformad¯x∧dxjestanty-samodualna. 

RozwiązanieBelavinaijegokolegówjestnastępujące: 

 

¯xdx 

(7.8) A(x)=Im 

1+|x| 2 

 

= 1 

 

¯xdx−d¯xx 

2 1+|x| 2 

 

zkrzywizną 

(7.9) F=dA+A∧A= d¯x∧dx 

(1+|x| 2 ) 2. 

AwięcAjestanty-instantonem.Ponadtoz(7.8)wynika,żedladużych|x| 

mamyA(x)∼Imx −1 dx=ϕ −1 dϕ,gdzieϕ(x)=x/|x|mierzy‘fazę’kwaternionu;zatemjegoładunektopologicznywynosik=deg 

ϕ:S 3 R →S3 =1. 

Abydostaćinstanton,trzebaprzyjąćA=Im xd¯x/(1+|x| 2 ) . 

Anty-instanton(7.8)ma‘środekmasy’wx=0iznormalizowaną‘amplitudę’.Zmieniającśrodekmasyiamplitudędostaniemy5-parametrową 

rodzinęanty-instantonów 

(7.10) A(x)=µIm 

 

(¯x−ā)dx 

1+|x−a| 2 

 

, µ>0, a∈H. 

Zauważmyteraz,żegwiazdkaHodge’adziałającana2-formachw4wymiarowejprzestrzenijestniezmienniczawzględemkonforemnejzmianymetryki.Rzeczywiście,pomnożeniemetrykigprzezλpowodujepomnożenieelementuobjętościVOL= 

√ detgd 4 xprzezλ 2 ,zaśnaT ∗ Mmetryka 

jestdanaprzezg −1 .PodobnielagranżjanYanga–Millsajestkonforemnie 

niezmienniczy. 

Stądwynika,żerównania(anty-)samodualnościmożnaprzenieśćnaS 4 , 

uzwarcenie Hprzypomocyrzutustereograficznego.Zdrugiejstrony,S 4 

możnapotraktowaćjakokwaternionowąprzestrzeńrzutową HP 1 .TutajdziałagrupaPSL(2,H)przekształceńMöbiusa.Wszczególnościmamy5-parametrowąrodzinęprzekształceń 

(7.11) x→λ(b−x) −1 , λ>0, b∈H.


Okazujesię,żezamiast(7.10)wygodniejjestprzedstawiaćwszystkieantyinstantonyzk=1zapomocąpodstawienia(7.11)w(7.8).Tęwłasnośćmożnazastosowaćdoskonstruowaniapewnychanty-instan- 

tonówdladowolnegok>0: 

(7.12) A(x)=Im 

gdzie 

∗ u(x)du(x) 1+u∗ 

, 

(x)u(x) 

(7.13) u(x)= λ(B−x) −1 ∗ . 

Tutajλ=(λ1,...,λk)jestwektoremutworzonymzkwaternionów,Bjest 

symetrycznąk×kmacierząutworzonązkwaternionów,zaśC ∗ = ¯ C ⊤ (zatem 

u(x)jestwierszem,au ∗ (x)jestkolumną).Ponadtowymagasię,aby: 

(I)B ∗ B+λ ∗ λbyłarzeczywistąk×kmacierzą(dla(7.11)tojestspełnione); 

(II)układrównań(B−x)ξ=0,λξ=0wH k miałtylkozerowerozwiązanie,czylirząd(k+1)×kmacierzy 

byłmaksymalnydladowolnego 

λ 

B−x 

x∈H(dla(7.11)takjest). 

W(7.13)występujepewnaniejednoznaczoność:jeśli 

(7.14) λ ′ =qλT, B ′ =T −1 BT,gdzieq∈ H, |q|=1, T∈O(k), 

topara(λ ′ ,B ′ )zadajetakisampotencjał(7.12). 

Okazujesię,żewzory(7.12),(7.13)zwarunkami(I)i(II)irelacjąrównoważności(7.14)opisująwszystkieanty-instantonyzładunkiemtopologicznymk.Łatwopoliczyć,żetorozwiązaniezależyod8k−3parametrów. 

JesttotreściątwierdzeniaudowodnionegoprzezM.Atiyaha,V.Drinfelda,N.HitchinaiYu.Manina[13]inazywasięADHM-konstrukcją. 

Jegohistoriajestrównieżdosyćpouczająca.NajpierwM.Atiyah,N. 

HitchiniI.Singer[14]policzyli,żeogólnerozwiązaniepowinnozależećod 

8k−3parametrów.PotemM.AtiyahiR.Ward[21]nakreślilischemat 

zastosowaniageometriialgebraicznejitransformacjiPenrose’adoznalezieniaogólnychrozwiązań.Nakoniec,w3-stronicowejnotatce[13]wPhysical 

Letterspokazano,żepowyższerozwiązaniasąkompletneiżeopisująsię 

wterminachalgebryliniowej.Wszystkotodziałosięokołoroku1977.Ale 

detaledowodówzostaływyjawioneświatuznaczniepóźniej,przyczymoksfordczycyzrobilitoniezależnieodmoskwiczan.Atiyah[3]opublikowałje 

w1979rwPizie,gdziemiałwykłady.Maninzamieściłjewswojejksiążce 

[35]wydanejw1984r.wMoskwie(porosyjsku). 6 

6 Przyznajęsię,żeusiłowałemczytaćksiążkęManina;niestetyniebyłemwstaniejej 

zrozumieć.ZwykładamiAtiyaha(któresądosyćtrudnodostępne)zapoznałemsiędopiero 

przypracynadtymartykułem;wpierwszejchwilibyłemnimizachwycony,dopieropóźniej 

zaczęłysiępojawiaćpewneproblemyinieścisłości(októrychsza!).


Przejdźmydodowoduzupełnościrozwiązań(7.12)–(7.13). 

Najpierwdowodzisię,żeprzestrzeńmodulitakichrozwiązańmawymiar 

takisamjakliczbaparametrów,któreznaleźliśmy.Dlategocelurozważa 

sięnastępującykomplekseliptyczny 

(7.15) 0→E 0 (g) D0 1 D1 2 

→E (g) →E− (g)→0, 

gdzieE j (g) =E j (S 4 )⊗gsąsnopamij-formowartościachwwiązce g 

algebrLiego(stowarzyszonązwiązkąE oładunkutopologicznym−k), 

D0=∇=d+A0jestpochodnąkowariantnązsamodualnympotencjałem 

A0,zaśD1jestzłożeniempochodnejkowariantnejirzutowanianaprzestrzeń 

anty-samodualnychform.Indeksanalitycznytegokompleksu,toh 0 −h 1 +h 2 , 

gdzieh 0 =dimkerD0=0(bonaS 4 niemaglobalnych∇-płaskichprzekrojówdlatypowegoA0),h 

1 =dim(kerD1/ImD0)jestwymiaremprzestrzeni 

deformacjiA0modulodziałanieinfinitezymalnychprzekształceńcechowania 

orazh 2 =dimcokerD1.(Zatemliczymywymiarprzestrzenimoduliinstantonów,któryjesttakisamjakwymiarprzestrzenimodulianty-instantonów.) 

W[14]dowodzisię,żeh 2 =0;sprowadzasięrównanieD ∗ 1ϕ=0dorów- 

nania ∆+ 1 

6 R φ=0,gdzieR>0jestkrzywiznąskalarnąsfery.Teoria 

deformacjiKuranishiegomówi,żejeślih 2 =0,toinfinitezymalnedeformacjeodpowiadająfaktycznymdeformacjom,czyliżeh 

1 =dimMjestwymiaremprzestrzenimoduliinstantonówM.Zdrugiejstrony,indeksanalitycznykompleksu(7.15)wyliczasięwterminachtopologicznychiwynosi 

onp1(g)+dimG·(b 0 −b 1 +b 2 − ),gdziep1(g)jestliczbąPontriaginawiązki 

g(iwynosi−8kwnaszymprzypadku)zaśb 0 −b 1 +b 2 −= 1 

2 (e(M)−τ(M)) 

jestindeksemkompleksu0→E 0 →E 1 →E 2 − →0(iwynosi1wnaszymprzypadku);(b 

2 + ib2 − sąwymiaramiprzestrzeniformsamodualnych 

ianty-samodualnychwH 2 dR (M)).Odsyłamczytelnikado[14]powięcej 

szczegółów. 

Wiemyzatem,żeznalezionerozwiązaniatworząpełnąrodzinę,czyliwypełniająjakąśskładowąprzestrzenimoduliM.Alemogłybyistniećinne 

składoweitonależywykluczyć.Wtymcelunaszproblembędziezamieniony 

naodpowiedniproblemwiązekholomorficznychnad CP 3 irozwiązanyprzy 

użyciukohomologiisnopów. 

Najpierwprzedstawimywzory(7.12)–(7.13)wjednorodnejpostaci.Użyjemywspółrzędnychjednorodnych(x:y)wHP 

1 ,tzn.x=(x:1)∈H. 

λ 

Macierz B−x zastąpimyprzez 

 

C0x+D0y 

(7.16) v=v(x,y)=Cx+Dy= , 

C1x+D1y 

gdzieC0,D0sąwymiaru1×k,aC1,D1mająwymiark×k;dlay=1, 

C0=0,D0=λ,C1=−IiD1=Bmamypoprzedniąmacierz.Założenie


(II)oznacza,żev(x,y)mamaksymalnyrząddla(x,y)=(0,0).Założenie(I) 

jestzastąpionenastępującymzałożeniem 

(7.17) macierzρ 2 :=v ∗ vjestrzeczywistaidodatnia. 

Weźmyreprezentacjębiegunowąv(x,y)=Vρ.Łatwosprawdzić,żeoperator 

Q=VV ∗ jestortogonalnymrzutemnak-wymiarowąpodprzestrzeńF (x:y) 

(w H k+1 )iżeV ∗ V=1. 

NiechmacierzUwymiaru(k+1)×kbędzietaka,że 

(7.18) U ∗ V=0, U ∗ U=1. 

WtedyoperatorP=UU ∗ jestrzutemna1-wymiarowąpodprzestrzeńE (x:y) 

=F ⊥ (x:y) .Wprzypadkuv = 

λ 

B−x 

 

bierzemyU = −1 

u 

σ,σ 2 =(1+ 

u ∗ u) −1 ,u ∗ =λ(B−x) −1 .Wtedypotencjał(7.12)zapisujesięwpostaci 

A=σ −1 Im{U ∗ dU}σ−σ −1 dσ,czylijestrównoważnyzpotencjałem 

(7.19) A=Im{U ∗ dU}= 1 

2 {U∗ dU−dU ∗ U}. 

Koneksjaokreślonazapomocą(7.19),gdzieUjesttakie,żeP=UU ∗ jest 

rzutem,aU ∗ U=1,jestnaturalnąkoneksjąindukowanąprzezrzutowanie 

z H k+1 napodprzestrzeńE (x:y).TutajpodprzestrzenieE (x:y)tworząwiązkę 

Enad HP 1 ijejprzekrojesąpostacif=Ug,g:HP 1 → H k+1 ,zaś∇f= 

P(df)=UU ∗ d(Ug)=u[dg+U ∗ (dU)g].Zdrugiejstrony,mamytożsamość 

0=d(U ∗ U)=dU ∗ U+U ∗ dU,codaje∇f=U[d+A]g. 

Nietrudnotakżezobaczyć,żewiązkaFzwłóknamiF (x:y)jestsumąk 

wiązekizomorficznychztautologicznąwiązkąHopfanad HP 1 .Stądwynika, 

żeklasaPontriaginawiązkiEwynosi2k. 

Wnastępnymkrokuzamieniamyzmiennekwaternionowenazespolone. 

ZatemwprowadzamyprzestrzenieZ= C 2k+2 ≃ H k+1 ,W= C k izmienne 

z=(x,y)∈C 4 (≃ H 2 ).Rozważamyodwzorowania 

(7.20) B(z):W→Z, 

B(z)= 4 1Bizitakie,żedlakażdegoz=0obrazUz=B(z)W jestkwymiarowy.Odwzorowanie(7.20)jestzwiązanezv(x,y)w(7.16)wnastępującysposób.WeźmyprzestrzeńW⊗C 

H=Hk .Odwzorowanie(7.20) 

chcemyprzedłużyćdodwu-liniowegoodwzorowaniaB: H2⊗ Hk→ Hk+1 . 

Przypomnijmy,że H={ζ1+jζ2}={(ζ1,ζ2)}=C 2iżemnożenieprzezj działawnastępującysposób:(ζ1,ζ2)j= −¯ ζ2, ¯ 

ζ1.Wanalogicznysposób 

mnożenieprzezjdziałanaZ= Hk+1ina H2 .TomnożenieindukujeautomorfizmσnaZtaki,żeσ 

2 =−1,orazinwolucjęσna CP 3 (boj2 =−1 

w C4 ).Na H2⊗ Hkmnożenieprzezjniejestautomatyczne,bomamy σ(z⊗w)=(z⊗w)j =z⊗jσ(w)=σ(z)⊗σ(w),gdzieσjestpewną 

inwolucjąnaW(σ 2 =1).Zakładasię,żeBjestzgodnezσ,tzn. 

B(σ(z)⊗σ(w))=σB(z⊗w)


idlategojestpostaciCx+Dy(jakw(7.16)). 

PonadtonaZmamyniezdegenerowanąanty-symetrycznąformę 

[u,v]=(u,σv)=(u,jv), 

gdzie(u,v)=Re(uv ∗ )jestzwykłymiloczynemhermitowskim.Następne 

założeniemówi,że 

(7.21) przestrzenieUzsąizotropowewzględem[·,·]. 

Toostatniezałożenieodpowiadazałożeniu(7.17). 

Odwzorowanie(7.20)iwarunek(7.21)stanowiąwstępnedanedotzw. 

konstrukcjiHorrocksa[33]pewnej2-wymiarowejwiązkiholomorficznejnad 

CP 3 .Punktowi(z)=(z1:z1:z3:z4)∈CP 3 przypisujemydwiepodprzestrzenieU 

(z)(wymiaruk)iU 0 (z) (wymiaruk+2)przestrzeniZ(wymiaru 

2k+2)),przyczymU 0 (z) ,toprzestrzeńpolarnadoU (z).Kładziemy 

(7.22) 

˜ E(z)=U 0 (z) /U (z). 

Wtensposóbdostajemywiązkę ˜ E→ CP 3 ,którajestholomorficzna,ale 

któramożeniebyćlokalnietrywialna(bodim ˜ E (z)mógłbypodskoczyć). 

Okazujesię,żenadprostymi(rzutowymi)ℓ (z)⊂ CP 3 łaczącymi(z)i(σz) 

wiązkama2-wymiarowewłókna,anawetograniczonawiązka ˜ E|ℓz →ℓzjest 

trywialna. 

Zatemkoneksjaanty-samodualnanadS 4 ,którąskonstruowaliśmypoprzednio,doprowadziładoalgebraicznejwiązki 

˜ Enad CP 3 .Powstajepytanie,czydlakażdejanty-samodualnejkoneksjinadS 

4 możnaskonstruować 

analogicznąwiązkęnad CP 3 .Okazujesię,żetakidotegoceluwykorzystuje 

siętzw.transformacjęPenrose’a. 

TransformacjaPenrose’ajesttozespółkilkurozwłóknień,któresłużą 

dozamianypólna R 4 (lubnaprzestrzeniMinkowskiego)naalgebraiczne 

obiektynazespolonejprzestrzenirzutowej.Najważniejszymztychrozwłóknieńjestodwzorowanie(kwaternionowerozwłóknienieHopfa) 

(7.23) CP 3 → HP 1 , (z)→(z1+z2j:z3+z4j), 

zwłóknem CP 1 .Przypomnijmy,żemnożenieprzezjindukujeinwolucjęσ 

przestrzeni CP 3 . 

W CP 3 mamyprosterzutowe.SąonenumerowaneprzezzespolonyGrassmannian2-wymiarowychpłaszczyznwC 

4 ,którymożnaprzedstawićwpostacihiperpowierzchniistożkowejQwCP 

5 .Jeślipij=xiyj−xjyisąwspółrzędnymiPlückeranaΛ 

2 C 4 ,to 

(7.24) Q={p12p34+p13p42+p14p23=0} 

(kwadrykaKleina)odpowiadarozkładalnymelementonΛ 2 C 4 postaciu∧v, 

generującympłaszczyzny Cu+Cv.Inwolucjaσdziałarównieżnaprzestrzeni 

prostych,czylinaQ.JejzbiórpunktówstałychzadajepodrozmaitośćwQ


dyfeomorficznązS 4 .Teproste(niezmienniczewzględemσ),todokładnie 

włóknawiązki(7.23).Nazywamyjeprostymirzeczywistymi. 

Okazujesię,żewiązkiEnadS 4 (zwłóknem C 2 )wyposażonewantysamodualnąkoneksjęmożnapodnieśćdo2-wymiarowychwiązek 

˜ Enad CP 3 . 

Przytymdostajesięholomorficznewiązkiwyposażonewkoneksjezgodne 

(nailetomożliwe)zestrukturąholomorficznąistrukturąunitarną;wkażdymbądźraziesątypu(1,0)iichkrzywiznajestformątypu(1,1).Ponadto 

ograniczeniawiązki ˜ EnadprostymirzeczywistymiwCP 3 sątrywialne. 

Terazchciałobysię,abywiązka ˜ EpowstałazkonstrukcjiHorrocksa.Do 

tegoceluautorzy[13]wykorzystująpewnetwierdzenieBartha[Bar],które 

mówi,żetakrzeczywiściejest,jeślidodatkowozałożyć 

(7.25) H 1 (CP 3 , ˜ E(−2))=0. 

W[3]jestnawetprzytoczonydowódtegotwierdzenia. 

Wprzypadkuwiązekpochodzącychodanty-samodualnychkoneksjinad 

S 4 elementyΦ∈H 1 (CP 3 , ˜ E(−2))sątraktowanejakopewnefunkcjeϕna 

S 4 .Rzeczwtym,żepoograniczeniudorzeczywistychprostychℓ⊂CP 3 (nad 

którymi ˜ Ejesttrywialne)mamyH 1 (ℓ, ˜ E(−2))= ˜ E (z)⊗H 1 (CP 1 ,O(−2))= 

˜E (z)⊗ C(zdualnościSerre’a).Wtensposóbdostajemypewnąwiązkęnad 

S 4 postaciE⊗N,dimN=1,iϕjestjejprzekrojem.Pokazujesię,żeϕ 

spełniarównanie(∇ ∗ ∇+ 1 

6 R)ϕ=0,R>0.Zatemϕ=0i(7.25)zachodzi. 

Nazakończenietegopunktuwartododać,żewpodobnysposóbrozwiązanoproblemmonopoliwR 

3 .Podefinicjeiszczegółyodsyłamczytelnika 

dozbioru[37]. 

B.Anomalieiindeks.Wkwantowejteoriipolafizycyczęstonapotykająsięnatzw.anomalie,np.chiralnaanomalia,konforemnaanomalia. 

Istotaanomaliipoleganatym,żeprzykwantowaniupewnychpólużywa 

sięcałektypufeynmanowskiego,zktórychnajprostszesątypugaussowskiegoodnieskończonejliczbyzmiennych.WtedytrzebaliczyćwyznacznikinieskończeniewymiarowychoperatorówtypuoperatoraLaplace’a.Je- 

dynąrozsądnąmetodąwyznaczaniatakichwyznacznikówjestregularyzacja 

Ray’a–Singeradet∆=e −ζ′ 

∆ (0) (opisanawpoprzednimrozdziale).Niestety, 

przeważnieokazujesię,żepewnewłasnościsymetriilagranżjanuprzestają 

byćzachowywane. 

Naprzykład,przykwantowaniupolaelektromagnetycznego lubpola 

Yanga–Millsachciałobysięjakośuwzględnićsymetrięwzględemnieskończeniewymiarowejgrupyprzekształceńcechowania.Możnawybieraćcięcie 

wprzestrzenipóltranswersalnedoorbitgrupycechowania,ależadentaki 

wybórniejestkanoniczny,aprzejścieodjednegocięciadoinnegowiążesię 

zliczeniemnieskończeniewymiarowegowyznacznika.Jednymsłowem,są 

trudności.


Wpracach[4],[5]i[20]AtiyahiSingerproponująpodejściedotego 

problemuzapomocąteoriiindeksurodzinyoperatoróweliptycznych.Na 

przykład,jeślimamyrodzinęDyoperatoróweliptycznychzależnychodparametruy∈Y,czylimamyoperatorD:Γ(E)→Γ(F)związanyzwiązkami 

nadM×Y(eliptycznywkierunkuM),towirtualnawiązkakerDy−kerD ∗ y 

tworzyelementgrupyK(Y),którymożebyćnietrywialny. 

InnamożliwośćtoianDy=0idlatypowegoy∈Y mamykerDy= 

kerD∗ =0.WpewnychpunktachdimkerDy0 y możepodskoczyć.Toodpowiadałobytemu,żepewienwyznacznik,lokalnieskończonegowymiaru, 

zerujesięwy0.ZpowodunietrywialnościwiązkiEnadM×Y częstonie 

możnazdefiniowaćtegowyznacznikaglobalnie. 

Innaewentualność,toniemożliwośćwyboruzgodnejfazydlawyznacznikaoperatoraDiracazależnegoodparametrów. 

C.TopologicznateoriapolaiwielomianJones’a.Topologiczna 

teoriapolawwymiarzedprzypisuje(patrz[7]): 

–przestrzeńHilbertaH(Σ)każdejzwartejd-wymiarowejrozmaitościΣ, 

–wektorZ(Y)∈H(Σ)każdej(d+1)-wymiarowejrozmaitościYzbrzegiemΣ. 

Powyższyfunktorspełnianastępująceaksjomaty: 

A1(inwolutywność)H(Σ ∗ )=H(Σ) ∗ ,gdzie ∗ oznaczarozmaitośćzodwróconąorientacjąlubsprzężonąprzestrzeń; 

A2(multyplikatywność)H(Σ1∪Σ2)=H(Σ1)⊗H(Σ2); 

A3(łączność)jeśliYpowstałozY1iY2,∂Y1=Σ ∗ 1∪Σ2i∂Y2=Σ ∗ 2∪Σ3, 

przezsklejeniewzdłużΣ2,to 

Z(Y)=Z(Y1)Z(Y2)∈Hom(H(Σ1),H(Σ2))=H(Σ1) ∗ ⊗H(Σ2); 

A4H(∅)=C; 

A5Z(Σ×[0,1])=id∈Hom(H(Σ),H(Σ)). 

Ideawprowadzeniategofunktorapochodziodkwantowaniapólφ:Y→ 

MzdziałaniemS(φ)= 

Y L(φ)metodącałekfunkcjonalnych.WtedyH(Σ) 

jestprzestrzeniąHilbertaograniczeńpólnaΣ,zaśelementmacierzowyoperatoraZ(Y),∂Y=Σ 

∗ 1∪Σ2,nawektorachψ1,ψ2,〈Z(Y)ψ1,ψ2〉,jestinterpretowanyjakosumastatystyczna 

Dφe −iS(φ) , 

gdziecałkowanie odbywasiępopolachφzustalonymiwartościami na 

brzegu. 

Dlad=0iM= R k mamyzwykłąmechanikękwantowązH(punkt)= 

L 2 (M).Dlad=1iMrozmaitośćCalabi–Yaumamyteorięstrun.Atiyaha 

interesujeprzypadekd=2.


Zauważmy, że asjomat A5 implikuje, że działanie dyfeomorfizmów 

zDiff(Σ)naH(Σ)zależytylkoodichklasizotopii.Ponadto,jeśliY jest 

rozmaitościązamkniętą,toZ(Y)jestpoprostuliczbą,którastanowiniezmiennikrozmaitości.RozcięcieY=Σ×S 

1 wzdłużcięciaΣ×{1}prowadzi 

dowzorudimH(Σ)=Z(Σ×S 1 );dlategoteżw[7]zakładasię,żeprzestrzenieH(Σ)sąskończonegowymiaru. 

Dlad=2rozważasiętakżerelatywnątopologicznąteoriępola.Tutaj 

wpowierzchniiΣwyróżniasięukładP=(P1,...,Pr)puktówPj ∈Σ. 

PrzytymkażdypunktPj jestbranyzeznakiem+lub−ijestznim 

stowarzyszonapewnareprezetacjaλjpewnejgrupyLiegoG.Takiejtrójce 

(Σ,P,λ),λ=(λ1,...,λr)jestprzypisanaprzestrzeńHilbertaH(Σ,P,λ). 

3-wymiarowerozmaitościY sąwyposażonewsplotyL=(L1,...,Ls)zło- 

żonezwęzłówLj⊂Y;każdemuwęzłowiLjjestprzypisanareprezentacjaµjgrupyG.Brzegtrójki(Y,L,µ),to(Σ,P,λ)=(∂Y,∂L,µ|∂L),przyczymjeślipunktowiQodpowiadałareprezentacjaν,topunktowi−Qodpowiadareprezentacjaν∗ 

.TakiejtrójceprzypisujesięwektorZ(Y,L,µ)∈H(Σ,P,λ). 

Aksjomatytopologicznejteoriipolaimplikująpewnerelacje,któreprzypominająrelacjetypuAlexandera–Conway’azteoriiwęzłów.Wszczególności,dlaY=S 

3iG=SU(2)istandardowej2-wymiarowejreprezentacji µ=µjdlawszystkichLjsumastatystycznaZ(Y,L,µ)okazujesięściśle 

związanaztzw.wielomianemJones’asplotuL;definicjęwielomianuJones’a 

czytelnikznajdziew[7]. 

Powstajeproblemskonstruowaniamodeluspełniającegopowyższeaksjomaty.Witten[45]zaproponowałdziałanieCherna–Simonsa 

(7.26) S(A)= 1 

 

tr A∧dA+ 

4π 

2 

3 A∧A∧A 

 

, 

Y 

gdzieAjestkoneksjąwtrywialnejG-wiązcenadY,oraz 

 

ikS(A) 

Z(Y,L,µ)= DAe WLj (A). 

Wostatnimwzorzetzw.pętlaWilsonaWLj (A)jestślademwreprezentacji 

µjoperatoraholonomiiMonLj (A)koneksjid+AwzdłużdrogiLj(przesunięcierównoległe).Ponieważw(7.26)mamycałkęfunkcjonalną,toteoria 

Wittenaniejestścisławsensiematematycznym. 

Atiyahw[7]podjąłpróbęuściśleniatejteorii.UdałomusięskonstruowaćprzestrzenieHilbertaH(Σ,P,λ)używającθ-funkcjiiprzestrzenimoduliwiązekwektorowychnadΣ.Niestety,podstawowyproblemokreślenia 

wektoraZ(Y,L,µ)pozostałniewyjaśniony.


Literatura 

[1]L.Alvarez-Gaumé,SupersymmetryandtheAtiyah–Sigerindextheorem,Commun.Math.Phys.90(1983),161–173. 

[2]M. Atiyah, “Collectedworks”,v.1–5,ClarendonPress,Oxford,1988. 

[3]M. Atiyah, “GeometryofYang–Millsfields”,ScuolaNormaleSuperiore,Pisa, 

1979;[równieżw:“Geometriaifizikauzlov”,Mir,Moskwa,1995,79–185]. 

[4]M. Atiyah, Anomaliesandindextheory,Lect.NotesinPhys.288,Springer– 

Verlag,NewYork,313–322. 

[5]M.Atiyah,Topologicalaspectsofanomalies,w:“SymposiumonAnomalies,GeometryandTopology”,WorldSci.Press,1984,22–32.[6]M.Atiyah,Circularsymmetryandstationary-phaseapproximation,w:“ColloquiuminhonourofLaurentSchwartz”,tomII,Asterisque,1985,43–60.[7]M.Atiyah,“Geometryandphysicsofknots”,CambridgeUniversityPress,Cambridge,1990;[porosyjsku:Mir,Moskwa,1995]. 

[8]M. Atiyah, R. Bott, ALefschetzfixedpointformulaforellipticdifferential 

opearators,Bull.Amer.Math.Soc.72(1966),245–250. 

[9]M. Atiyah, R. Bott, ALefschetzfixedpointformulaforellipticcomplexes.I, 

Ann.Math.86(1967),374–407;II.Applications,Ann.Math.88(1968),451–491. 

[10]M. Atiyah, R. Bott, V.K. Patodi, Ontheheatequationandtheindex 

theorem,Invent.Math.19(1973),279–330;Erratatothepaper“Ontheheatequation 

andtheindextheorem”,Invent.Math.28(1975),277–280. 

[11]M. Atiyah, R. Bott, A. Shapiro, Cliffordmodules,Topology3(1964), 

3–38. 

[12]M. Atiyah, H. Donnelly, I.M. Singer, Etainvariant,signaturedefects 

andvaluesofL–functions,Ann.Math.118(1983),131–177;Etainvariant,signature 

defectsandvaluesofL–functions:thenonsplitcase,Ann.Math.119(1984),635–637. 

[13]M.Atiyah,N.J.Hitchin,V.G. Drinfeld,Y.I.Manin,Construction 

ofinstantons,Phys.LettersA65(1978),185–187. 

[14]M. Atiyah, N.J. Hitchin, I.M. Singer, Self-dualityinfour-dimensional 

geometry,Proc.Roy.Soc.LondonSer.A362(1978),425–461. 

[15]M.Atiyah,V.K.Patodi,I.M.Singer,SpectralasymetryandRiemannian 

geometry,Bull.LondonMath.Soc.5(1973),229–234. 

[16]M.Atiyah,V.K.Patodi,I.M.Singer,SpectralasymetryandRiemannian 

geometry.I,Math.Proc.CambridgePhil.Soc.77(1975),43–69;II,Math.Proc. 

CambridgePhil.Soc.78(1975),405–432;III,Math.Proc.CambridgePhil.Soc.79 

(1976),71–99. 

[17]M.Atiyah,G.Segal,Theindexofellipticoperators.II,Ann.Math.87(1968), 

531–545. 

[18]M.Atiyah,I.M.Singer,Theindexofellipticoperatorsoncompactmanifolds, 

Bull.Amer.Math.Soc.69(1963),422–433. 

[19]M. Atiyah, I.M. Singer, Theindexofellipticoperators.I,Ann.Math.87 

(1968),484–530;III,Ann.Math.87(1968),546–604;IV,Ann.Math.93(1971), 

119–138;V,Ann.Math.93(1971),139–149. 

[20]M. Atiyah, I.M. Singer, Diracoperatorscoupledtovectorpotentials,Proc. 

Natl.Acad.Sci.USA8(1984),2597–2600. 

[21]M. Atiyah, R.S. Ward, Instantonsandalgebraicgeometry,Comm.Math. 

Phys.55(1977),117–124. 

[22]W. Barth, K. Hulek, Monadsandmoduliofvectorbundles,Manuscr.Math. 

25(1978),323–347.


[23]A. Belavin, A. Polyakov, A. Schwartz, Y. Tyupkin, Pseudo-particlesolutionsoftheYang–Millsequations,Phys.LettersB59(1975),85 

[24]J.-M.Bismut,TheAtiyah–Singertheorems:aprobabilisticapproach.I.Theindex 

theorem,J.Funct.Anal.57(1984),56–99;II.TheLefschetzfixedpointformula, 

J.Funct.Anal.57(1984),320–348. 

[25]J.Cheeger,Analytictorsionandtheheatequation,Ann.Math.109(1979),259– 

322. 

[26]B.A. Dubrovin, S.P.Novikov, A.T. Fomenko, “Moderngeometry— 

methodsandapplications.III.Introductiontohomologytheory”,Springer–Verlag, 

NewYork,1990;[porosyjsku:“Sovremennajageometria.Metodyteoriigomologii”, 

Nauka,Moskwa,1984]. 

[27]J.J. Duistermaat, G.J. Heckman, Onthevariationofthecohomology 

ofthesymplecticformofthereducedphasespace,Invent.Math.69(1982),259– 

268;Addendumto“Onthevariationofthecohomologyofthesymplecticformofthe 

reducedphasespace”,Invent.Math.72(1983),153–158. 

[28]I.M. Gelfand, Oelipticeskikhuravneniakh,UspekhiMat.Nauk15(1960)No3, 

121–132;[poangielsku:Russ.Math.Surv.15(1960)No3,113]. 

[29]E.Getzler,Pseudo-differentialoperatorsonsupermanifoldsandtheAtiyah–Singer 

indextheorem,Commun.Math.Phys.92(1983),163–178. 

[30]P.B.Gilkey,“Theindextheoremandtheheatequation”,PublishorPerishInc., 

Boston,1974. 

[31]P. Griffiths, J. Harris, “Principlesofalgebraicgeometry”,JohnWileyand 

Sons,NewYork,1978;[porosyjsku:Mir,Moskwa,1982]. 

[32]F. Hirzebruch, “Topologicalmethodsinalgebraicgeometry”,Springer–Verlag, 

NewYork,1966;[porosyjsku:Mir,Moskwa,1973]. 

[33]G. Horrocks, Vectorbundlesonthepuncturedspectrumofalocalring,Proc. 

LondonMath.Soc.14(1964),684–713. 

[34]H.B.Lawson,M.-L.Michelsohn,“Spingeometry”,PrincetonUn-tyPress, 

Princeton,1989. 

[35]Y.I.Manin,“Gaugefieldtheoryandcomplexgeometry”,Springer–Verlag,Berlin, 

1997;[porosyjsku:Nauka,Moskwa,1984]. 

[36]J.Milnor,J.Stasheff,“Characteristicclasses”,Ann.Math.Studies76,PrincetonUn-tyPress,Princeton,1974;[porosyjsku:Mir,Moskwa1979]. 

[37]“Monopoli.Topologiceskieivariacionnyemetody”(podredakciejM.I. Monastyrskogo 

iA.G. Sergeeva),Mir,Moskwa,1989[porosyjsku]. 

[38]W.Müller,AnalytictorsionandR-torsionofRiemannianmanifolds,Adv.Math. 

28(1978),233–305. 

[39]R.S. Palais, “SeminarontheAtiyah–Singerindextheorem”,PrincetonUn-ty 

Press,Princeton,1965;[porosyjsku:Mir,Moskwa,1970]. 

[40]A. Pressley, G. Segal, “Loopspaces”,ClarendonPress,Oxford,1986;[po 

rosyjsku:Mir,Moskwa,1990]. 

[41]D.B.Ray,I.M.Singer,R-torsionandthelaplacianonRiemannianmanifolds, 

Adv.Math.7(1971),145–210. 

[42]D.B. Ray, I.M. Singer, Analytictorsionforcomplexmanifolds,Ann.Math. 

98(1973),154–177. 

[43]M. Raussen, Ch. Skau (interviewers),InterviewwithMichaelAtiyahandIsadoreSinger,Europ.Math.Soc.53(2004),24–30. 

[44]R.Thom,Quelquesproprietésglobalesdesvariétésdifférentiables,Comment.Math. 

Helv.27(1953),198–232.


[45]E.Witten,QuantumfieldtheoryandtheJonespolynomial,Commun.Math.Phys. 

117(1989),251–399. 

[46]E.Witten,Indexofellipticoperators,w:“Quantumfieldsandstrings.Acoursefor 

mathematicians”,tomI(P.Deligneandothers,eds.),Amer.Math.Soc.,Providence, 

1999,str.475–511. 

[47]H.Żołądek,Piątyproblemmilenijny:istnieniepolaYanga–Millsailukamasowa, 

Wiad.Matem.XL(2004),23–34.

Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?