Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

36 H. Żołądek
(II)oznacza,żev(x,y)mamaksymalnyrząddla(x,y)=(0,0).Założenie(I)
jestzastąpionenastępującymzałożeniem
(7.17) macierzρ 2 :=v ∗ vjestrzeczywistaidodatnia.
Weźmyreprezentacjębiegunowąv(x,y)=Vρ.Łatwosprawdzić,żeoperator
Q=VV ∗ jestortogonalnymrzutemnak-wymiarowąpodprzestrzeńF (x:y)
(w H k+1 )iżeV ∗ V=1.
NiechmacierzUwymiaru(k+1)×kbędzietaka,że
(7.18) U ∗ V=0, U ∗ U=1.
WtedyoperatorP=UU ∗ jestrzutemna1-wymiarowąpodprzestrzeńE (x:y)
=F ⊥ (x:y) .Wprzypadkuv =
λ
B−x
bierzemyU = −1
u
σ,σ 2 =(1+
u ∗ u) −1 ,u ∗ =λ(B−x) −1 .Wtedypotencjał(7.12)zapisujesięwpostaci
A=σ −1 Im{U ∗ dU}σ−σ −1 dσ,czylijestrównoważnyzpotencjałem
(7.19) A=Im{U ∗ dU}= 1
2 {U∗ dU−dU ∗ U}.
Koneksjaokreślonazapomocą(7.19),gdzieUjesttakie,żeP=UU ∗ jest
rzutem,aU ∗ U=1,jestnaturalnąkoneksjąindukowanąprzezrzutowanie
z H k+1 napodprzestrzeńE (x:y).TutajpodprzestrzenieE (x:y)tworząwiązkę
Enad HP 1 ijejprzekrojesąpostacif=Ug,g:HP 1 → H k+1 ,zaś∇f=
P(df)=UU ∗ d(Ug)=u[dg+U ∗ (dU)g].Zdrugiejstrony,mamytożsamość
0=d(U ∗ U)=dU ∗ U+U ∗ dU,codaje∇f=U[d+A]g.
Nietrudnotakżezobaczyć,żewiązkaFzwłóknamiF (x:y)jestsumąk
wiązekizomorficznychztautologicznąwiązkąHopfanad HP 1 .Stądwynika,
żeklasaPontriaginawiązkiEwynosi2k.
Wnastępnymkrokuzamieniamyzmiennekwaternionowenazespolone.
ZatemwprowadzamyprzestrzenieZ= C 2k+2 ≃ H k+1 ,W= C k izmienne
z=(x,y)∈C 4 (≃ H 2 ).Rozważamyodwzorowania
(7.20) B(z):W→Z,
B(z)= 4 1Bizitakie,żedlakażdegoz=0obrazUz=B(z)W jestkwymiarowy.Odwzorowanie(7.20)jestzwiązanezv(x,y)w(7.16)wnastępującysposób.WeźmyprzestrzeńW⊗C
H=Hk .Odwzorowanie(7.20)
chcemyprzedłużyćdodwu-liniowegoodwzorowaniaB: H2⊗ Hk→ Hk+1 .
Przypomnijmy,że H={ζ1+jζ2}={(ζ1,ζ2)}=C 2iżemnożenieprzezj działawnastępującysposób:(ζ1,ζ2)j= −¯ ζ2, ¯
ζ1.Wanalogicznysposób
mnożenieprzezjdziałanaZ= Hk+1ina H2 .TomnożenieindukujeautomorfizmσnaZtaki,żeσ
2 =−1,orazinwolucjęσna CP 3 (boj2 =−1
w C4 ).Na H2⊗ Hkmnożenieprzezjniejestautomatyczne,bomamy σ(z⊗w)=(z⊗w)j =z⊗jσ(w)=σ(z)⊗σ(w),gdzieσjestpewną
inwolucjąnaW(σ 2 =1).Zakładasię,żeBjestzgodnezσ,tzn.
B(σ(z)⊗σ(w))=σB(z⊗w)