Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

More documents

Recommendations

Info

30 H. Żołądek RayiSingerwysunęliprzypuszczenie,żeTρ(M)=τρ(M).Tęhipotezę późniejniezależnieudowodniliJ.Cheeger[25]iW.Müller][38]. C.Eta-niezmiennikiasymetriaspektralna.Dotychczasoweniezmiennikirozmaitościzwiązanezindeksamipewnychoperatoróweliptycznychbyłynietrywialnetylkodlarozmaitościoparzystymwymiarze(itop=0 nanieparzystowymiarowychrozmaitościach).Jakzdążyliśmysięprzekonać, teniezmiennikisązwiązanezdzeta-funkcjąoperatoróweliptycznychdrugiegorzędu;naprzykład,ian(d+d ∗ )=ζd ∗ d(0)−ζdd ∗(0). Narozmaitościachonieparzystymwymiarzeistniejąeliptyczneoperatoryróżniczkowepierwszegorzędu,któresąsamosprzężone,alezbiórich wartościwłasnychrozciągasięod−∞do+∞.Naprzykład, (6.9) Aφ=(−1) p+1 ∗dφ+(−1) p d∗φ, φ∈E 2p (M), dimM=4k−1. DlatakichoperatorówM.Atiyah,V.PatodiiI.Singer[APS]wprowadzili następującąη-funkcję (6.10) ηA(s)= sign(λ)·|λ| −s , λ=0 sumapowartościachwłasnychA.Podobniejakdzeta-funkcja,ηA(s)przedłużasięmeromorficznienacałąpłaszczyznęzespoloną.Ponadto,także ηA(0)jestskończone. WłaśnieηA(0)okazujesiębyćniezmiennikiemtopologicznymrozmaitości(dlaodpowiedniegoA).Naprzykład,dlaoperatora(6.10)zachodzi następującywzór(patrz[APS]) (6.11) τ(T)− Y Lk(p(Y))=(−1) k+1 ηA(0), gdzieY jest4k-wymiarowąrozmaitościątaką,żeM =∂Y (ilokalnieY jestizometrycznazM×[0,1)),τ(Y)jestsygnaturąformyprzecięćna H2k (Y,M),zaśLkjestL-genusemHirzebrucha.WłasnośćηA(0)=0nosi nazwęasymetriispektralnej. Wpracy[12]znalezionozastosowaniewzorupodobnegodo(6.11)wanalitycznejteoriiliczb.PewienszeregpostaciL(s)= µ sign(N(µ))·|N(µ)|−s (tzw.L-szereg),gdzieµprzebiegapewnąkratęwdanymrozszerzeniualgebraicznymciałaliczbwymiernych,aN(µ)jestjegonormą,jestanalogiczny doszereguw(6.10).Hirzebruchpostulował,aM.Atiyah,H.DonnellyiI. Singerudowodnili,żeL(s)wyrażasięwzoremanalogicznymdo(6.11)dla pewnejspecjalniedobranejrozmaitościM. 7.Fizykamatematyczna.Jaknajednegozczołowychmatematyków swoichczasów,Atiyahbardzopóźnozainteresowałsięfizyką(Singerbyłdużo
TwierdzenieAtiyaha–Singeraoindeksieijegookolice 31 bardziejaktywnynatympolu).Prawdopodobnieprzyczynąbyłbrakproblemówpochodzeniafizycznego,któreby‘pasowały’dojegozainteresowań idoświadczeń(którewywodząsięzK-teoriiigeometriialgebraicznej). A.Instantony.Takiproblempojawiłsięwpołowielat70-tychubiegłegostulecia.W1975r.A.Belavin,A.Polyakov,A.SchwartziY.Tyupkin [23]znaleźliprzykładynietrywialnychglobalnychrozwiązańrównańEulera– Lagrange’adlalagranżjanuYanga–Millsa.Powstałopytanie,jakznaleźć wszystkierozwiązania.Matematycy,naczelezAtiyahem,rozwiązaliten problemwsposóbnaprawdęimponujący.Prawdopodobniebyłatoostatniaspektakularnademonstracjaintelektualnejprzewagimatematykównad fizykami. Wartododać,żepolaYanga–Millsastanowiąuogólnieniapolaelektromagnetycznegoiokazałysiębardzoużyteczneprzyklasyfikacjicząstekelementarnych,np.wteoriiWeinberga–Salamasłabychoddziaływańiwchromodynamicekwantowej(patrz[47]). Działanierozważaneprzezfizyków,tofunkcjonałenergii (7.1) S(A)= 1 2 R 4 |F| 2 d 4 x, gdzieF= Fµνdxµ∧dxν,Fµν=∂µAν−∂νAµ+[Aµ∧Aν]=[∇µ∧∇ν], jestformąkrzywiznykoneksji∇µ=∂µ+AµdxµtrywialnejwiązkiEnad R4zwłóknem C2izgrupąstrukturalnąSU(2) =Sp(1).(TutajkrzywiznajestoznaczanaprzezF,anieprzezR,jakwpunkcie4G.)Zatem Aµ(x),µ=1,...,4,iFµν(x),µ,ν=1,...,4,sąelementamialgebryLiego iα β su(2)= −¯ :α∈R,β∈ C .Ponadto|F| β −iα 2 =− µ,νtr(Fµν) 2 , czylilagranżjanwynosi (7.2) L= 1 2 |F|2 VOL=−trF∧∗F, gdzie∗jestgwiazdkąHodge’a:∗dx1∧dx2=dx3∧dx4,∗dx1∧dx3=dx4∧dx2, ∗dx1∧dx4=dx2∧dx3.Zauważmy,że∗ 2 =idnaΛ 2 R 4 oraz,że(A,B)= −tr(AB)jestdodatniookreślonąformąKillinganasu(2). JeśliA+ajestwariacjąkoneksji(a=δAmałe),towariacjąkrzywizny jestF+δF,δF=∇∧aiwariacjadziałaniawynosiδS=− (F,[∇∧a]). Ponieważ∇ = d+Aid ∗ = −∗d∗,orazniezmienniczośćformyKillinga(A,[B,C])=−([B,A],C)implikuje(adA) ∗ =−∗adA∗,więcmamy δS= (∇ ∗ F,a),gdzie∇ ∗ =−∗∇∗.ZatemrównaniaEulera–Lagrange’a przyjmująpostaćtzw.równańYanga–Millsa (7.3) ∇∧∗F=0.
Page 1 and 2: ROCZNIKIPOLSKIEGOTOWARZYSTWAMATEMAT
Page 3 and 4: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 29: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 43: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie

Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?