Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

22 H. Żołądek
Kwantyzacjanasuper-rozmaitościpolegałabynaprzypisywaniuparzystymwspółrzędnymipędom(parzystych)operatorówmnożeniaipochodnychcząstkowych,zaśzmiennenieparzystepowinnyprzechodzićna(nieparzyste)operatoryzalgebryCliffordadziałającenaspinory.
Typowesuper-działaniemapostać
(4.30) S(X)=−
R 1|1
dtdθ 1
2 〈˙x(t)+θ∇tψ,ψ−θ˙x(t)〉,
gdzie R 1|1 ={(t|θ):tparzyste,θnieparzyste},X=x(t)+θψ(t):R 1|1 →
ΠTM={(x|ψ):xparzyste,ψnieparzyste},〈·,·〉jestmetrykąRiemanna
naM,a∇koneksjąLevi–Civity.Ponadto dθjesttzw.całkąBerezina:
dθ·1=0, dθ·θ=1.Ponieważθ 2 =0(antyprzemienność),to(4.30)
możnaprzepisaćwnastępującejpostaci
(4.31) S(x,ψ)= 1
2
|˙x| −〈∇tψ,ψ〉
2
dt=− 1
2
gdzie
R
R 1|1
dtdθ ˙X(t),QX(t) ,
Q= ∂
∂θ −θ∂
∂t
jest(nieparzystym)polemwektorowymgenerującymprzekształceniasupersymetrii(mieszaniezmiennychprzystychznieparzystymi).MamyQ
2X= −∂ ∂tX,coodpowiada(parzystej)hamiltonowskiejewolucji. RównaniaEulera–Lagrange’aprzyjmująpostać∇tQX=0lub(równoważnie)
∇tψ=0, R(ψ,˙x)ψ=∇t˙x,
gdzieRjestkrzywizną.TutajodpowiednikiemparzystejprzestrzenisymplektycznejT
∗ Mjestprzestrzeńπ ∗ ΠTM,gdzieπ:T ∗ M→Mjestrzutowaniem.
OdpowiednikiemparzystejprzestrzeniHilbertaL 2 (M)jestprzestrzeń
H=L 2 (E)przekrojówwiązkispinorowejE=E + ⊕E − (zwłóknemS=
S + ⊕S − ).Jesttosuper-przestrzeńHilbertaH=H + ⊕H − ,H ± =L 2 (E ± ),
czylizZ2-gradacją.Wsuper-przestrzeniHilbertamamysuper-śladtrs=
tr| H +−tr| H −.
PonieważQ 2 odpowiadahamiltonianowiHwprzypadkuklasycznym,
tokwantyzacjaQpowinnadaćoperatorDiracaDDir(patrz[46]).Indeks
operatoraDiracawyrażasięzatemjakosuper-ślad,
(4.32) ianDDir=tr s e −βH .
Następnyetapdowodupoleganawyliczeniusuper-śladuoperatorae −βH
dlamałychβ.Towyliczeniedokonujesięzapomocącałekpotrajektoriach
(typuFeynmana).Rozważasięsuper-symetrycznepętleX=(x,ψ):S 1|1 →