Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

4 H. Żołądek
WistocieRiemannudowodniłtylko,żeh 0 (D)≥d−g+1,apoprawkę
wyliczyłRoch.Wzastosowaniachczęstookazujesię,żeh 0 (K−D)=0(np.
gdyD−Kjestefektywny)idlategowzór(2.7)jesttakużyteczny.
D. Interpretacja topologiczna. Teraz zinterpretujemy wzór(2.7)
wterminachwiązekliniowychiichklascharakterystycznych.
Istniejewzajemnajednoznacznośćpomiędzyholomorficznymiwiązkami
liniowymi(tzn.z1-wymiarowymwłóknem)EnadMiklasamirównoważnościdywizorównaM.Wybierającmeromorficznyprzekrójs:M
→E
wiązkidefiniujemydywizorD=(s)jegozeribiegunów.Zdrugiejstrony,
jeśliD= ni·pi,towybieramypokrycieU=(Uα)powierzchniMtakie,że
Uα∩pi={ψα,i=0}(jeślipi/∈Uαtokładziemyψα,i≡1).Zrozłącznejsumy
Uα×CkonstruujemywiązkęEprzypomocysklejeń(x,y)∼(x,ϕα,β(x)y),
α
ϕα,β=
(ψα,i/ψβ,i)
i
ninadUα∩Uβ.Taodpowiedniośćprzenosisięnaprzy padekrozmaitościzespolonychwyższychwymiarów(naprzykładrzutowych
rozmaitościalgebraicznych).
JeśliwiązkaEjeststowarzyszonazdywizoremD,toprzezE −1oznacza sięwiązkęstowarzyszonązdywizorem−D,asumiedywizorówodpowiada
iloczyntensorowywiązekliniowych.Naprzykład,E⊗E −1jestwiązkątry wialną.Ważnawgeometriialgebraicznejjesttzw.wiązkaHopfa(związanazrozwłóknieniemHopfaS3
nadS2 )Lnad CP n zfunkcjamiprzejściaϕi,j=zi/zj
(wjednorodnychwspółrzędnych(z)=(z0:...:zn)),taka,żeH=L −1ma przekrojeliniowe ajzj.WłóknemL (z)nad(z)jestprosta C·(z0,...,zn)⊂
Cn+1 .
ZkażdąholomorficznąwiązkąwektorowąF(niekonieczneliniową)jest
stowarzyszonysnopO(F)jejlokalnych(holomorficznych)przekrojów.RozważasiętakżesnopyΩ
k (E)kiełkówholomorficznychk-formowartościach
wF.SnopyO(H m )=O(H ⊗m )=O(L −m )nad CP n sąoznaczaneprzez
O(m),asnopyO(E⊗H m )przezE(m).
KohomologieČechaHq (M,F)snopaF sądefiniowaneprzypomocy
pokryćistanowiąważnenarzędziewgeometriialgebraicznej.Dlawiązek
liniowychEnadzespolonąrozmaitościąrzutowąM(lubtylkorozmaitościąKählera)grupyH
q (M,Ωp (E))utożsamiasięjeszczeznastępującymi
obiektami:
–jakokohomologieDolbeaultazwiązanezresolwentą0→Γ(Ω p (E)) ¯ ∂
→
Γ(Ω p,1 (E))...;
–jakoformyharmonicznetypu(p,q)owartościachwE(teoriaHodge’a).
OdnotujmyjeszczedualnośćKodairy–Serre’a,tzn.niezdegenerowaność
formydwu-liniowej
(2.8) H q (M,Ω p (E))×H n−q (M,Ω n−p (E −1 ))→C, n=dimCM,