Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

32 H. Żołądek
ZdrugiejstronytożsamośćJacobiegowsu(2)implikujenastępującątożsamośćBianchi
(7.4) ∇∧F=0.
KoneksjaAnazywasięsamodualną(odpowiednioanty-samodualną),jeśli
F=∗F (odp.F=−∗F).
Jestzatemoczywiste,żesamodulaneianty-samodualnekoneksjetworzą
rozwiązaniarównańYanga–Millsa.Ponieważzmianaorientacjiprowadzido
zmiany∗→−∗,tosamodualnekoneksjeprzechodząnaanty-samodualne
iodwrotnie.
Dlafizykówistotnejest,abyenergiapolabyłaskończona,czyliaby|F(x)|
malałodostatecznieszybkoprzy|x|→∞.Tooznacza,żebliskonieskończonościpotencjałA(x)możnasprowadzićdoniemalzerazapomocąodpowiedniegocechowania,czylizamianyy→g(x)yzmiennychwewłóknach
Ex.TakazamianaprowadzidoA(x)→g −1 Ag+g −1 dgiF→g −1 Fg.
Zatemzakładamydodatkowo,żeA(x)∼g −1 (x)dg(x)przy|x|→∞,
gdzieg(x)∈SU(2).Wszczególności,możemyokreślićodwzorowanieg:
S 3 R →SU(3),gdzieS3 R jestsferąodużympromieniuR,aSU(2)≃S3 .Zakładasię,żestopieńtegoodwzorowaniajestniezerowy;oznaczamygoprzez
k.Okazujesię,żetegotypudaneprowadządokoneksjiwpewnejwiązce
nadS 4 = R 4 ∪∞,którądalejbędziemyoznaczaćprzezE,alektórajużnie
jesttrywialna.Dokładniej,Emanietrywialnytzw.topologicznyładunek
(7.5) k= 1
8π2 S4 tr(F∧F),
czylik= −c2(E),[S4 ] = 1
p1(E),[S 2
4 ] .Przypomnijmy,żec(E)=det(1+
i
i F)=1+c1+c2+...,gdziec1= 2π 2πtrF=0iżep1(E)=c 2 1−2c2. Zatemp1(E)=2k.
Jeślirozłożymykrzywiznęnaczęśćsamodualnąianty-samodualną,
(7.6) F=F + +F − ,
tomożemynapisać
(7.7) S= F + 2 + F − 2 , 8π 2 k= F + 2 − F − 2 .
Zatemrozwiązaniasamodualne(odpowiednioanty-samodualne)realizują
minimumSprzywarunku(7.5)dlak0).Nazywamyjeodpowiednioinstantonamiianty-instantonami.Zadanie(zktórymfizycysobienieporadzili)poleganaznalezieniuwszystkichanty-samodualnychkoneksjimoduloprzekształceniacechowaniaozadanym(dodatnim)ładunkutopologicznym.
Poniżejprzedstawiamytekoneksje.Potemnakreślimyschematdowodu,
żesątowszystkierozwiązania.