Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

More documents

Recommendations

Info

6 H. Żołądek 3.TwierdzeniaHirzebrucha A.Klasycharakterystycznewiązekwektorowych.Sątopewne kohomologiczneprzeszkody,abywiązkabyłatrywialna. PrzykłademjestklasaEulerae(TM)∈H n (M, Z),n=dimM,wiązki stycznejdorzeczywistejrozmaitościM.JesttoklasadualnawsensiePoincarégodopewnego0-wymiarowegocyklu,czylielementuH0(M, Z).Tencykl to X(p)=0indp(X)·p,gdzieX:M→TMjestgenerycznympolemwek torowymzizolowanymipunktamiosobliwymip∈Moindeksachindp(X)= ±1. Znane twierdzenie Poincarégo–Hopfa mówi, że 〈e(TM),[M]〉 = indp(X)równasięcharakterystyceEulerarozmaitości (−1) ibi ,bi = dimHi (M, R).Wgeometriizespolonejtęcharakterystykęoznaczasięprzez e(M),dlaodróżnieniaodgenusualgebraicznego 2 (3.1) χ(M)= (−1) i dimH i (M,O) (porównajz(2.11)). UogólnienieklasyEuleraprowadzidoteoriiprzeszkóditzw.klascharakterystycznychStiefela–Whitney’a(patrz[DNF,I,9]i[36]).SpróbujmyskonstruowaćkliniowoniezależnychpólwektorowychX1,...,XknaM.Możemy zakładać,żetepolatworząukładortonormalny(względemdanejmetryki riemannowskiej)wTxM,czylistanowiąprzekrójs(x)wiązkizwłóknem Vn,k=SO(n)/SO(n−k)(rozmaitośćStiefela).JeśliprzedstawimyMw postaciCW-kompleksuzj-wymiarowymiszkieletamiMj,tomożemyko- lejnoprzedłużaćprzekrójzeszkieletuMj−1doszkieletuMj.PonieważMj powstajezMj−1przezdoklejaniej-wymiarowychkomórekσ j doMj−1,to dostajemykołańcuchσ j →[s| ∂σ j:S j−1 →Vn,k]owartościachwgrupie homotopiiπj−1(Vn,k).Tenkołańcuchokazujesiębyćkocyklem,azatem definiujeelementgrupyH j (M,πj−1(Vk,n)),tzw.przeszkodę.Dalej,naćwiczeniachztopologiialgebraicznejwyliczasię,żeπi(Vn,k)=0dlai
TwierdzenieAtiyaha–Singeraoindeksieijegookolice 7 zespoloną).Analogiczniejakpoprzednio,cj(E)∈H 2j (M, Z)jestklasądualnądocykludefiniowanegojakozbiórpunktówliniowejzależnościk−j+1 typowychprzekrojóws1,...,sk−j+1wiązkiE. Wszczególności,gdyMjestpowierzchniąRiemannaiEjestholomorficznąwiązkąliniową(t.j.k=1)nadM,toc1(E)jestkocyklemdualnym docyklumiejsczerowychtypowegoprzekrojus:M→E.Ponieważkażdy przekrójmeromorficznysmer:M→Emożnazamienićnaprzekrójciągły scont:M →Etaki,żebiegunypprzekrojusmerstająsięzeramiscont zujemnymindeksem,indp(scont)=ordp(smer),tomamy 〈c1(E),[M]〉= indp(scont)=degsmer=degD. scont(p)=0 WprzypadkuwiązekrzeczywistychEnadrzeczywistymirozmaitościami MrozważasieklasyChernakompleksyfikacjiE⊗CwiązkiE.WtedyE⊗ C jestizomorficznezE⊗ C,coprowadzidoc2j+1(E⊗ C)=0.Elementy pj(E)=(−1) j c2j(E⊗ C)∈H 4j (M, Z)nazywająsięklasamiPontriagina wiązkiE. PełneklasycharakterystycznezapisujesięwpostaciszeregówwH ∗ (M) =H 0 (M)⊕H 1 (M)...: w(TM) = 1+w1+w2+... (3.2) c(E) = 1+c1+c2+... p(E) = 1+p1+p2+... Stosujesięteżtakiotozapis: (3.3) c(E)=(1+α1)...(1+αk), k=dimE; wtedycjsąfunkcjamisymetrycznymiod2-wymiarowychklasαi. Klasycharakterystycznecj(orazwjipj)zachowująsięnaturalnieprzy odwzorowaniachrozmaitościiprzeciąganiuwiązekorazspełniająnastępującewłasności: (3.4) c(E⊕F) = c(E)c(F), c(E⊗F) = (1+αi+βj), ij c(L) = 1+α, gdziec(F)= (1+βj)orazLjestwiązkąHopfanad CP 1 ,zaśαgeneruje H 2 (CP n , Z).Naturalnośćipowyższewłasnościsłużąjakoaksjomatyczna definicjaklasCherna.Odnotujmyjeszczewłasności (3.5) c(TholCP n )=(1−α) n+1 , p(TCP n )=(1+α 2 ) n+1 . WielowymiaroweuogólnieniacharakteruChernaigenusuToddasąnastępujące: (3.6) ch(E) = e α1 +...+e αk , Td(E) = 1+T1(E)+...= k j=1 αj 1−e −αj ,
Page 1 and 2: ROCZNIKIPOLSKIEGOTOWARZYSTWAMATEMAT
Page 3 and 4: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 5: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 43: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie

Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?