Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

24 H. Żołądek
własnymi(2πkj) 2 ±πkjαj.Zatem √ detDR= l
∞
j=1
(2πk)
k=1
4
1+ αj 2
4πk
.
Iloczyny (2πk) 4regularyzujesięprzypomocyζ-funkcji,np. (ck) 4 =
exp(−4d ds |s=0
−s d (ck) )=exp(−4 ds (ζ(s)c−s )|s=0).Pozostaje
l
∞ αj
2
const· 1+
4πk
−1 αj/2
=const· =const·
sinhαj/2
Â(R)−1 ,
j=1
k=1
gdzie ÂjestÂ-genusem.
AleRzależyodx0 iψ0,apamiętamy,żewmetodziefazystacjonarnejtrzebasumowaćwkładyodposzczególnychpunktówkrytycznych.
Wnaszymprzypadkupowinniśmyjeszczescałkować[detDR(x0,ψ0)] −1/2 =
const· Â(R)posuper-rozmaitościΠTM.Przytymwszystkojesttakwykombinowane,żenieparzysteskładoweψ0,i,jakofunkcjenaΠTx0M,sąelementamidxi∈T
∗M,acałkaBerezinapoΠTx0 Mjeststała.Zatemwyraże-
x0
nieR(ψ0,ψ0)trzebazastąpić2-formą Rij(x0)dxi∧dxj.Tęformęnależy
jeszczewstawićdo Â(R)iodpowiedniąn-formędopierowycałkowaćpoM.
Dostajemy
(4.36) ianD +
Dir =C·
M
Â(R),
pluswyższepotęgiβ.TutajCjestpewnąstałą,któramogłabybyćpostaci
C1β ν ,aleponieważwynikjestskończonyiniezerowy,toν=0iCzależy
tylkoodn=2l.
IstniejedefinicjaklasCherna(iPontriagina)poprzezkrzywiznękoneksji
wwiązceE(patrz[31],[36]).JeśliRjest2-formą(owartościachwEnd(E))
krzywiznytejkoneksji,tozachodziwzór
(4.37) c(E)=det(1+ i i 1
R)=1+ trR−
2π 2π 4π2trR∧R+..., gdzieposzczególneskładnikisązamkniętymiformamiisątraktowanejako
klasykohomologiideRhama.Zatem
Â(R)= Â(M),[M] ,czylimamy
twierdzenieoindeksiezdokładnościądostałejC.Zprzykładówwynika,
żeC=1.W[1]wanalogicznysposóbpoliczonoindeksyoperatorówDEul
iDτ.
Wzór(4.36)jestprzykłademtzw.lokalnegotwierdzeniaoindeksie.InnymprzykłademjestwzórGaussa–Bonneta2πe(M)=
MKdlapowierzch niizeskalarnąkrzywiznąK.
CiekawajestteżpracaAtiyaha[6],gdziewykonanopodobnerachunkijak
powyżej,aleprzywykorzystaniunieprzybliżonegorozwinięciametodąfazy
stacjonarnej,tylkopewnegodokładnegowzoruDuistermaataiHeckmana