Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

More documents

Recommendations

Info

18 H. Żołądek (zadanejprzezkocyklϕ∈H 1 (M,O ∗ ))jakoδ(ϕ)∈H 2 (M, Z)wanalogicznymciągudokładnymjak(4.21)(patrz[31]).Nawetwprzypadkuzespolonej rozmaitościMokazujesię,żew2=c1(TholM)mod2(patrz[34]). WybórSpin(2l)-strukturynaM oznacza,żemożemynapisaćTM = P× Spin(2l) R 2l ,gdziePjestgłównąwiązkązwłóknemSpin(2l)izgrupą strukturalnąSpin(2l).DefiniujemynastępującewiązkinadM: E=P× Spin(2l)S, E + =P× Spin(2l)S + , E − =P× Spin(2l)S − . NaTMistniejeSO(2l)-koneksjaLevi–Civity∇,którapodnosisiędokoneksjiwwiązcegłównejP→M.(Przypomnijmy,żekoneksjazadajemożliwośćjednoznacznegowyboruelementówzwłóknawiązkiwzdłużkrzywych γ(t)wbazie(przywybranympunkciepoczątkowymwłóknanadγ(0)).Ten wybórjestzadanyprzezrodzinęoperatorówT(t)∈SO(2l),zaś∇= d dt T(t). RodzinęT(t)możnateżtraktowaćjakokoneksjęwwiązcegłównejzwłóknemSO(2l).PonieważwiązkaPjestdwukrotnymnakryciemtejostatniej, toelementyT(t)lokalniejednoznaczniepodnosząsiędoP.)Zatemmożemy podnieśćkoneksję∇równieżdowiązekE,E ± . Ponadtomamyhomomorfizmywiązek (4.22) TM⊗E→E, gdziewektoryzTxM≃V działająnaExprzezmnożeniewalgebrzeCliffordaCn(wzorowanejnaTxM).Wiemyteż,żeTM⊗E ± →E ∓ . OperatorDiracadziałanaprzekrojachs∈Γ(E)imapostać (4.23) DDirs(x)= ei·(∇ei s)(x), gdzie(e1,...,e2l)jestdowolnąbaząortonormalnąwTxM ielementyei działająjakw(4.22).Wistocie(4.23)definiujedwaoperatoryDiraca D + Dir :Γ(E+ )→Γ(E − ), D − Dir :Γ(E− )→Γ(E + ), gdzieD − Dir =(D+ Dir )∗ .RozwiązaniarównaniaDiracaDDirη=0nazywają sięspinoramiharmonicznymi.Indeks (4.24) ianD + Dir =dimkerD+ Dir −dimkerD− Dir operatoraD + Dir nazywasięspinorowymindeksemrozmaitościioznaczasię przezSpin(M). ZakończmytenpunktwyrażeniemSpin(M)zapomocąitopD + Dir ,czyli wterminachklasPontriaginapj(M).Użyjemywzoru(4.15)zeSpin(2l)modułamiX=S + iY=S − .Jeśliω1,...,ωlsąbazowymiwagamiSO(2l)modułuV(związanegozTM),tosąonezwiązanezmaksymalnymtorusem T0wSO(2l).MożnajerozpatrywaćtakżejakowagidlaSpin(2l)-modułów, związaneztorusemmaksymalnymT⊂Spin(2l)(którydwukrotnienakrywa
TwierdzenieAtiyaha–Singeraoindeksieijegookolice 19 T0).WagiSpin(2l)-modułówS + (odpowiednioS− )sąpostaci 1 2 (±ω1±...± ωl)zparzystą(odpowiednionieparzystą)liczbąminusów.Stądwynika,że ch(S + )−ch(S − l )= (e ωj/2 −ωj/2 −e ). Ponieważe(V ∗ )= (−ωj),toch(D + Dir )= (e αj/2 −e −αj/2 )/(−αj),gdzie αj=f ∗ (ωj)(patrzpunktD).Zatem ch(D + Dir )T(M)= yj/2 sinh(yj/2) 1 =1− 1 24 p1+... = Â(M)= Âr(p1,...,pr). Jesttotzw. Â-genus(wprowadzonyrównieżprzezHirzebrucha). Zatemmamynastępującetwierdzenie (4.25) Spin(M)= Â(M),[M] ; ponadtoSpin(M)=0,jeślidimMniejestkrotnością4(jakoże Âzależy tylkoodklasPontriagina). (Zatempoznaliśmytrzyfunkcjegenerująceniezmiennikówtopologicznychrozmaitości:T-genus(genusTodda),L-genus(genussygnatury)iÂgenus(genusspinorowy).Iwystarczy,niebędziewięcejgenusówwtym artykule.) WteoriiindeksuzwykłosięuważaćoperatorDiracazanajważniejszy eliptycznyoperatorróżniczkowy.Wistocie,używającpewnejalgebro-topologicznejiK-teoryjnejanalizymożnasprowadzićdowódogólnegotwierdzeniaoindeksiedodowodutegotwierdzeniawprzypadkuoperatoraDiraca (patrz[11]). F.Równanieprzewodnictwaciepła.Oczywiściejesttozagadnienie początkowepostaci ∂u ∂t =∆u,u(0,x)=u0(x)zrozwiązaniemu(t,x)= (e t∆ u0)(x),t≥0;(tutaj∆≤0wprzeciwieństwiedonastępnychlaplasjanów). Myzastosujemyjewprzypadku,gdy‘laplasjan’jestpostaci (4.26) ∆E=D ∗ D:Γ(E)→Γ(E) lub ∆F=DD ∗ :Γ(F)→Γ(F). Tutaj∆Ei∆Fsąsamosprzężonymiinieujemnymioperatoramizdyskretnymwidmemoskończonejkrotności.Ponadtoker∆E=kerD,ker∆F= kerD ∗ oraz dlaλ > 0podprzestrzeniewłasneΓλ(E) = ker(∆E−λ) iΓλ(F)=ker(∆F−λ)sąizomorficzne(zizomorfizmemD| Γλ(E)).Stąd wynika,że (4.27) ianD=tr(e −t∆E )−tr(e −t∆F ) = e −tλ dimΓλ(E)− e −tλ dimΓλ(F). λ λ
Page 1 and 2: ROCZNIKIPOLSKIEGOTOWARZYSTWAMATEMAT
Page 3 and 4: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 17: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie
Page 43: TwierdzenieAtiyaha-Singeraoindeksie

Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?