Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice

20 H. Żołądek
Sumywostatnimwzorzesąskończonedlat>0iichróżnicaniezależyod
t.Wgranicyt→∞otrzymujemydimΓ0(E)−dimΓ0(F).Głównaideazastosowaniarównaniaprzewodnictwapoleganapoliczeniugranicywyrażenia
tr(e −t∆E )−tr(e −t∆F )przyt→0 +. .
Okazujesię,żeistniejeasymptotycznerozwinięcie(rozwinięcieSeeley’a)
postaci
(4.28) tr e −t∆ ∼
∞
k=−n
t k/2m Uk(∆), t→0 + ,
gdzien=dimM,2mjestrzędemnieujemnegoeliptycznegooperatoraróżniczkowego∆i
(4.29) Uk(∆)=
M
µk(∆),
gdzieµk(∆)jestpewnąmiarąnaMjednoznaczniewyznaczonąprzezwspół-
czynnikioperatora∆.Dalej,miaraµk(∆)jestjednorodnawagi k
2m względemwspółczynników∆.Wprzypadkum=1,czyligdy∆=
aij(x)∂xi ∂xj
+ ai(x)∂xi +a0(x),miaraµk(∆)wyrażasięzapomocąwielomianuod
współczynnikówaij,ai,odichpochodnychorazoddet −1 (aij).
Dlanasważnesąmiaryµ0(∆E)iµ0(∆F).Ponadtochcemywyliczyć
µ0wprzypadkupewnychnaturalnychoperatorówpierwszegorzędu,jak
operatorsygnaturyDτluboperatorDiracaD +
Dir (patrzuwaganakońcu
poprzedniegopunktu).Wobectegom=1imamywyrażenie
ianD=
M
gdzieωjestpewnąn-formąkanoniczniewyznaczonąprzezmetrykęispełniającąokreślonewłasności.Naprzykład,wprzypadkuoperatoraDτformaω=ω(g)jestdanajakowielomianodwspółczynnikówgijmetryki,odskończonejliczbypochodnych∂
α xgijioddet −1 gijorazjestjednorodnastopnia0.
P.Gilkey[30]udowodnił,żejedynetakieformyω(g)sąwielomianamiod
formróżniczkowychp1(M),p2(M),...reprezentującychklasyPontriagina
rozmaitości;w[10]podanoprostszydowódtegotwierdzenia.ZatemianDτ=
Mfk(p1,...,pk)dlapewnegoquasi-jednorodnegowielomianufkstopnia k=n/4.AnalogiczniejakwdowodzietwierdzeniaHirzebruchaosygnaturze
sprawdzasię,żefk =Lk,adosprawdzeniasłużąproduktyprzestrzeni
rzutowych.
J.-M.Bismut[24]wyliczyłtr(e −t∆ )zapomocąrachunkustochastycznego.Wiadomo,żegdy∆=−∂
2 x1−...−∂2 xnw Rn ,tojądrooperatorae −t∆
mapostać
ω,
K(x,y)=pt(x|y),