Lecture notes 2011 (slides), pdf.file - Katedra matematiky FEL ČVUT

5.2. Tvrzení. Konverguje-li ˇrada ∞
n=0 an (z − z0) n pro w ∈ C
pak konverguje absolutně na množině
{z ∈ C | |z − z0| < |w − z0|} .
D˚ukaz: z0 = 0.
Z konvergence pro z = w vyplývá omezenost člen˚u ˇrady, tedy
existuje konstanta M ≥ 0 tak, že pro všechna n ∈ N,
|an| |w| n ≤ M .
Pro z ∈ C s |z| < |w| volme ϱ tak, že |z| < ϱ < |w|. Pak
m˚užeme odhadnout
|anz n | = |an| · |z| n ≤ |an| ϱ n = |an||w|
n ϱn ϱn
≤ M .
n n
|w|
∞ ϱn
n=0 M |w| n < ∞, a proto ∞ n=0 |an| |z| n < ∞.
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 113 / 369
|w|