Lecture notes 2011 (slides), pdf.file - Katedra matematiky FEL ČVUT

D˚ukaz: R poloměr konvergence pro ∞
n=0 anz n .
lim
n→∞
n√ cn = 1 =⇒
pro každé ε > 0 je n√ cn ≤ 1 + ε až na konečně mnoho n .
pro každé ε > 0 je cn ≤ (1 + ε) n až na konečně mnoho n .
Volme 0 < q < R a
Až na konečně mnoho n platí:
|z| < q
(< R) .
1 + ε
|cn an z n | ≤ (1 + ε) n |an| |z| n < (1 + ε) n |an| ·
q n
(1 + ε) n = |an| q n .
Ovšem ∞
n=0 |an| q n < ∞ . Pˇrechodem ε → 0+, q → R−
máme:
∞
n=0 cn an z n konverguje absolutně pro |z| < R.
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 118 / 369