Lecture notes 2011 (slides), pdf.file - Katedra matematiky FEL ČVUT

Některé metody výpočtu rezidua (mimo Laurent˚uv rozvoj)
6.14. Tvrzení. Necht’ z0 ∈ C je k-násobný pól funkce f . Pak
1 d
resz f = lim
0
z→z0 (k − 1)!
k−1
d zk−1
(z − z0) k
f (z) .
D˚ukaz:
f (z) =
a−k
+
(z − z0) k a−k+1
a−1
+ · · · + + a0 + · · ·
(z − z0) k−1 z − z0
(z−z0) k f (z) = a−k+a−k+1(z−z0)+· · ·+a−1(z−z0) k−1 +a0(z−z0) k +· ·
d k−1
d zk−1
(z − z0) k
f (z) = (k − 1)!a−1 + k!a0(z − z0) + · · · .
Limitou z → z0 jde poslední výraz k (k − 1)!a−1.
Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes 180 / 369