Lecture notes 2011 (slides), pdf.file - Katedra matematiky FEL ČVUT

More documents

Recommendations

Info

1. Komplexní čísla a geometrie komplexní roviny Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou hledat koˇreny polynom˚u Geronimo Cardano (1501-1576) - vzorce pro ˇrešení kvadratické a kubické rovnice René Descartes (1596-1615) - pojem imaginární ˇrešení Carl Friedrich Gauss (1777-1855) - korektní zavedení komplexních čísel, komplexní rovina William Rowan Hamilton (1805-1856) - komplexní čísla jako dvojice čísel reálných, zavedl i kvaterniony Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 4 / 369
Chceme model rozšiˇrující množinu reálných čísel R a obsahující element (imaginární jednotku) j tak, že j 2 = −1. 1.1. Definice. Symbolem C označíme množinu uspoˇrádaných dvojic {(x, y) | x, y ∈ R} s následujícími operacemi: • Sčítání: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) • Násobení: (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) C ... množina komplexních čísel (1, 0) · (x, y) = (x, y), (0, 1) · (x, y) = (−y, x) a tedy pro j ∼ (0, 1) platí j 2 = (−1, 0) ∼ −1. Obecně: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) ∼ x + jy. Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku <strong>Lecture</strong> Notes 5 / 369
Page 1 and 2: Matematika pro Kybernetiku Lecture
Page 3: Literatura J.Hamhalter, J.Tišer: F
Page 7 and 8: Komplexní (Gaussova) rovina Re z =
Page 9 and 10: Pˇríklad: Je dán trojúhelník s
Page 11 and 12: Pˇríklad: Nalezněte 4 1 − j. T
Page 13 and 14: (4) |z| 2 = | Re z| 2 + | Im z| 2
Page 15 and 16: Apolloniovy kružnice: α = α1 + j
Page 17 and 18: Pˇríklad: Určete parametry kruž
Page 19 and 20: K = {z | |z − a| = r} Kruhová in
Page 21 and 22: Analytické výjádˇrení sterogra
Page 23 and 24: Každá kružnice je pr˚unik S s r
Page 25 and 26: Jan Hamhalter http://math.feld.cvut
Page 27 and 28: poloměr sféry: asi 40 cm zajímav
Page 29 and 30: 2. Základní pojmy analýzy v C
Page 31 and 32: Pˇríklad • zn = (1 + 1 n )n + j
Page 33 and 34: "Souvislý celek nelze roztrhnout n
Page 35 and 36: 2.8. Definice. Množina G ⊂ C se
Page 37 and 38: 2.12. Tvrzení. Otevˇrená konvexn
Page 39 and 40: Pˇríklad: f (z) = z 2 . (x + jy)
Page 41 and 42: geometricky: |z|(cos ϕ + j sin ϕ)
Page 43 and 44: 3.2. Diferencovatelnost komplexníc
Page 45 and 46: Pˇríklad: Určete f ′ (z) pro f
Page 47 and 48: D˚ukaz: f ′ f (z+h)−f (z) (z)
Page 49 and 50: 3.3. Holomorfní funkce 3.6. Defini
Page 51 and 52: 3.9. Věta. Věta o zachování úh
Page 53 and 54: 3.10. Definice. Holomorfní funkce
Page 55 and 56:
Taktéž v splňuje Laplaceovu rovn
Page 57 and 58:
Polynomy polynom stupně n: f (z) =
Page 59 and 60:
• složením lineárních lomený
Page 61 and 62:
Pˇríklad: f (z) = j 1+z 1−z . U
Page 63 and 64:
Exponenciální funkce e z = e Re z
Page 65 and 66:
Cauchy-Riemannovy podmínky + spoji
Page 67 and 68:
Některé vlastnosti exponenciáln
Page 69 and 70:
Deformace souˇradnicové sítě: .
Page 71 and 72:
Pˇríklady: Ln 1 = {2kπj | k ∈
Page 73 and 74:
Goniometrické a hyperbolické funk
Page 75 and 76:
Cyklometrické funkce mnohoznačné
Page 77 and 78:
M˚užeme definovat větve: arctg z
Page 79 and 80:
4.2. Definice. Množina C ⊂ C se
Page 81 and 82:
3. Elipsa, stejné parametry, osy r
Page 83 and 84:
C (z − z0) k dz = 2π Je-li k =
Page 85 and 86:
Technické pˇríklady: 1. C 1/z d
Page 87 and 88:
2. C z2 dz , kde C je kladně orie
Page 89 and 90:
Pˇríklad: Určete limitu lim e R
Page 91 and 92:
4.8. Tvrzení. Necht’ f je funkce
Page 93 and 94:
Nezávislost na cestě odpovídá k
Page 95 and 96:
Pˇríklad: C 1/z dz, C... [j, 1].
Page 97 and 98:
4.2. Cauchyova věta Cauchy 1814 -
Page 99 and 100:
V Cauchyově větě je d˚uležité
Page 101 and 102:
Pˇredpokládejme, že p > 0. Vezm
Page 103 and 104:
Pˇríklad: Ukažte, že C 1 dz =
Page 105 and 106:
4.3. Cauchy ˚uv integrální vzore
Page 107 and 108:
4.18. Definice. Funkce holomorfní
Page 109 and 110:
• Mocninná ˇrada konverguje bod
Page 111 and 112:
Avšak pro Mϱ = {z ∈ C | |z| <
Page 113 and 114:
5.2. Tvrzení. Konverguje-li ˇrada
Page 115 and 116:
Pˇríklady: 1 ∞ n=0 zn , R = 1.
Page 117 and 118:
5.4. Tvrzení. Necht’ (cn) je pos
Page 119 and 120:
Tedy R ≤ R ′ , kde R ′ je pol
Page 121 and 122:
5.7. Věta. Pokud má mocninná ˇr
Page 123 and 124:
D˚ukaz: ˇRady v (1) a (2) mají s
Page 125 and 126:
Pˇríklady: 1 1 − z = 1 = (1 −
Page 127 and 128:
D˚usledky: Koeficienty ˇrady jsou
Page 129 and 130:
Pˇríklad: Nalezněte součet ˇra
Page 131 and 132:
D ˚ukaz: C f (z) dz = (z − z0)
Page 133 and 134:
5.2. Taylorovy ˇrady 5.13. Definic
Page 135 and 136:
Tedy 1 w − z = ∞ 1 (z − z0)
Page 137 and 138:
Zobecněný Cauchy ˚uv vzorec: Je-
Page 139 and 140:
5.18. Pˇríklad. f (n) (0) = 1 pro
Page 141 and 142:
5.20. Pˇríklad. f (z) = arctg z ,
Page 143 and 144:
2. Platí pro n pak platí pro n +
Page 145 and 146:
D˚ukaz: cn = 1 n! h(n) (z0) = 1 n!
Page 147 and 148:
6.1. Definice. ˇRada tvaru ∞ n=
Page 149 and 150:
6.2. Definice. ˇRada ∞ n=−∞
Page 151 and 152:
6.3. Věta. Necht’ ∞ n=−∞
Page 153 and 154:
3. Konverguje v P(0, 1, ∞). −1
Page 155 and 156:
6.5. Věta. Cauchy˚uv vzorec pro m
Page 157 and 158:
D˚ukaz: 1. Existence rozvoje z0 =
Page 159 and 160:
Jednoznačnost a integrální vyjá
Page 161 and 162:
f (z) = Derivace člen po členu: 1
Page 163 and 164:
Integrace: c = 0 f (z) = f (z) = l
Page 165 and 166:
6.8. Věta. Necht’ f je funkce ho
Page 167 and 168:
Póly mají jemnější klasifikaci
Page 169 and 170:
z0 je pólem násobnosti k ⇐⇒ 1
Page 171 and 172:
0 je pól násobnosti 5 1 ... pól
Page 173 and 174:
6.12. Věta. Necht’ ∞ n=−∞
Page 175 and 176:
Pˇríklady: dvojnásobný pól f (
Page 177 and 178:
Laurentovým rozvojem se stˇredem
Page 179 and 180:
Reziduum — co zbyde po integraci
Page 181 and 182:
Pˇríklad: res2j z + 2 (z − 2j)
Page 183 and 184:
6.16. Tvrzení. Necht’ f je holom
Page 185 and 186:
7. Reziduová věta a její aplikac
Page 187 and 188:
7.2. D ˚usledek. Je-li funkce f (z
Page 189 and 190:
C 1 dz , 1 + z100 kde C je kladně
Page 191 and 192:
6.2. Výpočet určitých integrál
Page 193 and 194:
Závěr: ∞ −∞ Pˇríklad:
Page 195 and 196:
Položme F(z) = 1 a + b z2 +1 2z ·
Page 197 and 198:
D˚ukaz: Kr f (z)e jz π dz = f (
Page 199 and 200:
Platí tedy π 2 0 Závěr: e
Page 201 and 202:
Pˇríklad: ∞ −∞ = 2πj res2
Page 203 and 204:
D˚ukaz: Skutečnost, že f má v b
Page 205 and 206:
8.1. Fourierovy ˇrady 8. Fourierov
Page 207 and 208:
Princip: Spojité funkce integrovat
Page 209 and 210:
Je-li f reálná funkce, pak m˚už
Page 211 and 212:
D˚uležité je, že Fourierovy koe
Page 213 and 214:
Za definiční obor se považuje mn
Page 215 and 216:
8.3. Pˇríklad. Obraz bránové fu
Page 217 and 218:
8.6. Pˇríklad. Vybíjení kondenz
Page 219 and 220:
Substituce pro p = 0: u = −pt, du
Page 221 and 222:
Souvislost Fourierovy transformace
Page 223 and 224:
8.8. Věta. Věta o inverzní Fouri
Page 225 and 226:
8.10. Pˇríklad. Podle Pˇríkladu
Page 227 and 228:
D˚ukaz: 1 F{f (t − a)} = e −jp
Page 229 and 230:
8.12. Pˇríklad. 8.13. Pˇríklad.
Page 231 and 232:
8.16. Věta. Riemannovo-Lebesgueovo
Page 233 and 234:
8.18. Pˇríklad. f (t) = e−a t2
Page 235 and 236:
Konvoluce je operace na množině i
Page 237 and 238:
8.23. Věta. Obraz konvoluce Necht
Page 239 and 240:
8.25. Pˇríklad. Určete konvoluci
Page 241 and 242:
Fourierova transformace je základe
Page 243 and 244:
Konvence: 1(t) = Často ztotožňuj
Page 245 and 246:
9.3. Pˇríklad. ∞ F(p) = Vzhled
Page 247 and 248:
D˚ukaz: (ii) Vezměme p s Re p >
Page 249 and 250:
Pravidla o translaci: f (t) 1(t −
Page 251 and 252:
9.8. Pˇríklad. Nalezněte obraz p
Page 253 and 254:
9.10. Pˇríklad. n=0 sin t f (t) =
Page 255 and 256:
9.12. Pˇríklad. rozklad na část
Page 257 and 258:
Vzor: B = lim p→−j F(p)(p + j)
Page 259 and 260:
9.15. Pˇríklad. F(p) = 1 1 − p
Page 261 and 262:
M˚užeme použít větu o inverzn
Page 263 and 264:
Též používáme zápis f (t) = 1
Page 265 and 266:
Technické pˇredpoklady implikují
Page 267 and 268:
9.18. Poznámka. Pokud je singulari
Page 269 and 270:
9.21. Pˇríklad. F(p) = singularit
Page 271 and 272:
f (t) = 1 2 − = 1 2 − ∞ n=−
Page 273 and 274:
Metoda odštěpení pol˚u Motivace
Page 275 and 276:
To nás vede k úloze nalézt vzor
Page 277 and 278:
Závěr: Vzor f (t) je tvaru f (t)
Page 279 and 280:
G(p) = 1 p − 2 − A(1 − e−3p
Page 281 and 282:
Fourierovo vyjádˇrení g(t): n =
Page 283 and 284:
9.25. Pˇríklad. Určete analytick
Page 285 and 286:
10.1. Pˇrímá Z -transformace 10.
Page 287 and 288:
Podle integrálního vyjádˇrení
Page 289 and 290:
Značení: Z0 ... množina všech k
Page 291 and 292:
10.2. Definice. Z-obraz posloupnost
Page 293 and 294:
10.6. Pˇríklad. 10.7. Pˇríklad.
Page 295 and 296:
10.9. Pˇríklad. Víme, že se pos
Page 297 and 298:
10.11. Věta. Základní gramatika
Page 299 and 300:
10.12. Pˇríklad. (c + 2 a n ) ∞
Page 301 and 302:
10.16. Pˇríklad. Z (n 2 ) ∞ n=0
Page 303 and 304:
D˚ukaz: Z (bn) ∞ n=0 = a0 z 10.1
Page 305 and 306:
D˚ukaz: z k F(z) − Z (bn) ∞ n
Page 307 and 308:
Diference posloupnosti (an) ∞ n=0
Page 309 and 310:
10.24. Definice. Pˇredpokládejme,
Page 311 and 312:
10.29. Věta. Věta o konvoluci Pˇ
Page 313 and 314:
10.33. Pˇríklad. Pro jakou poslou
Page 315 and 316:
vstup: výstup: a0(1, 0, 0, . . .)
Page 317 and 318:
10.2. Inverzní Z -transformace Z
Page 319 and 320:
• známé obrazy • konvoluce 10
Page 321 and 322:
10.38. Pˇríklad. Metodou reziduí
Page 323 and 324:
10.40. Pˇríklad. Pomocí Z transf
Page 325 and 326:
(yn+2) ∞ n=0 (yn+1) ∞ n=0 (yn)
Page 327 and 328:
Mnohdy dává lepší pˇredstavu n
Page 329 and 330:
Transformace rovnice: z 2 Y (z)
Page 331 and 332:
10.44. Pˇríklad. ∆(yn) ∞ n=0
Page 333 and 334:
10.45. Pˇríklad. ∆ 2 yn = 2 y0
Page 335 and 336:
10.47. Pˇríklad. Vyjádˇrete vzo
Page 337 and 338:
10.49. Pˇríklad. Pomocí diferen
Page 339 and 340:
11.1. Náhodné vektory Reálný n
Page 341 and 342:
ozptyl: korelace: var(Z ) = cov(Z ,
Page 343 and 344:
var Z = cov(X + jY , X + jY ) = = c
Page 345 and 346:
11.3. Pˇríklad. Xt = X. Konstantn
Page 347 and 348:
11.5. Pˇríklad. X1, X2, . . . , X
Page 349 and 350:
Pro kovariančně stacionární pro
Page 351 and 352:
R(n) = σ2 + σ2 1 n = 0 σ2 n = 0
Page 353 and 354:
11.13. Definice. Stochastický proc
Page 355 and 356:
11.3. Spektrální analýza stacion
Page 357 and 358:
11.17. Pˇríklad. Y0, Y1, . . . ,
Page 359 and 360:
Volme pevně k ∈ Z. Pak π −π
Page 361 and 362:
11.20. Věta. Necht’ (Xt)t∈R je
Page 363 and 364:
11.22. Pˇríklad. Určete kovarian
Page 365 and 366:
Posloupnost klouzavých součt˚u M
Page 367 and 368:
Spektrální hustota f (λ): Bude t
Page 369:
Lineární pokles kovarianční fun
show all

Lecture notes 2011 (slides), pdf.file - Katedra matematiky FEL ČVUT

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?