Praca - IPPT PAN

2.1. Podstawowe pojecia ˛
17
prawdopodobieństwo zniszczenia pręta obliczyć można z jednego z poniższych wzorów
∫∫
P f = P[X R ≤ X S ] = f R (x R )f S (x S ) dx R dx S
(2.2a)
x R ≤x S
=
=
∫ ∞
0
∫ ∞
0
F R (x S )f S (x S ) dx S
[
1 − FS (x R ) ] ∫ ∞
f R (x R ) dx R = 1 − F S (x R )f R (x R ) dx R ,
0
(2.2b)
(2.2c)
gdzie F R (x R ) = ∫ x R
f
0 R (t) dt i F S (x S ) = ∫ x S
f
0 S (t) dt sa˛
dystrybuantami odpowiednio
zmiennych X R i X S . Graficzna˛
reprezentację równania (2.2b) pokazano na rysunku
2.2. Jak widać, ca̷lkowany jest iloczyn prawdopodobieństw P[x S < X S ≤ x S + dx S ] oraz
P[X R ≤ x S ]. W przypadku większości rozk̷ladów prawdopodobieństwa powyższe ca̷lki musza˛
być obliczane numerycznie.
f R (x R )
f S (x S )
P[X R ≤ x S ]
x S
P[x S < X S ≤ x S + d x S ]
dx S
x R , x S
Rys. 2.2. Graficzna reprezentacja ca̷lki (2.2b)
Rozpatrywany problem można również przedstawić definiujac ˛ tzw. funkcję graniczna˛
g(X R , X S ) = X R − X S . (2.3)
Można teraz napisać, że zniszczenie pręta nastapi ˛ gdy g ≤ 0, a więc prawdopodobieństwo
zniszczenia jest równe
P f = F g (0) , (2.4)
gdzie F g (0) jest dystrybuanta˛
zmiennej losowej g = g(X R , X S ). Powyższe sformu̷lowanie
jest szczególnie wygodne gdy zmienne X R i X S maja˛
rozk̷lad normalny, odpowiednio
N(XR, 0 σ XR ) i N(XS, 0 σ XS ) (z pomijalnie ma̷lym prawdopodobieństwem przyjmowania
wartości ujemnych). W takim przypadku również g ma rozk̷lad normalny (por. dodatek
C) o wartości średniej g 0 = X 0 R − X0 S i odchyleniu standardowym σ g = (σ 2 X R
+ σ 2 X S
) 1 2.