Praca - IPPT PAN

2.3. Metody wykorzystujace ˛ informacje o rozk̷ladach prawdopodobieństwa 31
z osi), prawdopodobieństwo, że realizacja u należy do podprzestrzeni nie zawierajacej
˛ u = 0 wynosi Φ(−b), gdzie b jest odleg̷lości a˛
hiperp̷laszczyzny od poczatku
˛
uk̷ladu wspó̷lrzędnych.
2.3.2. Transformacja do przestrzeni U
Transformacja podstawowych zmiennych losowych do gaussowskiej przestrzeni standardowej,
U = T(X), musi zapewniać równoważność sformu̷lowania problemu niezawodności.
Prawdopodobieństwo zniszczenia zdefiniowane w przestrzeni X musi być równe prawdopodobieństwu
zdefiniowanemu w przestrzeni U
∫ ∫
∏ n
P f = f X (x) dx = ϕ(u i ) du 1 du 2 . . .du n , (2.43)
Ω f
∆ f i=1
gdzie f X (x) jest ̷l aczn ˛ a˛
gęstościa˛
prawdopodobieństwa zmiennych podstawowych, Ω f jest
obszarem awarii w przestrzeni X, a ∆ f jest obszarem awarii w przestrzeni U. Transformację
tych obszarów można zapisać symbolicznie jako
Ω f = {x : g(x) ≤ 0} −−−→ ∆ f = {u : G(u) ≤ 0} . (2.44)
Powierzchnia graniczna transformuje się następujaco:
˛
g(x) = 0 −−−→ g [ T −1 (u) ] = G(u) = 0 . (2.45)
Jeśli zmienne X maja˛
rozk̷lad normalny (lecz nie standardowy), przedstawiona przy
okazji omawiania wskaźnika Hasofera-Linda transformacja liniowa (2.37) spe̷lnia warunek
(2.43). W przypadku zmiennych niegaussowskich transformacja U = T (X) ma charakter
nieliniowy. I tak, dla niegaussowskich zmiennych niezależnych ma ona postać
u i = Φ −1[ F Xi (x i ) ] i = 1, . . .,n , (2.46)
gdzie Φ −1 jest funkcja˛
odwrotna˛
do dystrybuanty standardowego rozk̷ladu normalnego,
a F Xi jest dystrybuanta˛
rozk̷ladu zmiennej X i .
Dla ogólnego przypadku niegaussowskich, zależnych zmiennych losowych Hohenbichler i
Rackwitz [55] zaproponowali użycie tzw. transformacji Rosenblatta [101] postaci
Φ(u 1 ) = H 1 (x 1 ) = F 1 (x 1 ) =
Φ(u 2 ) = H 2 (x 2 |x 1 ) =
.
∫ x2
−∞
∫ x1
−∞
f 2 (x 1 , t)
f 1 (x 1 )
Φ(u i ) = H i (x i |x 1 , x 2 , . . .,x i−1 ) =
f 1 (t) dt ,
dt ,
∫ xi
−∞
f i (x 1 , x 2 , . . .,x i−1 , t)
f i−1 (x 1 , x 2 , . . .,x i−1 ) dt ,
dla i = 1, . . .,n ,
(2.47a)
(2.47b)
(2.47c)