Praca - IPPT PAN

2.3. Metody wykorzystujace ˛ informacje o rozk̷ladach prawdopodobieństwa 39
v ~
u 2
v n ′ ≡ v n
∆ f
v*
h (v) = f (v)
~
– v n = 0
v n = s (v)
~
0
u 1
∆ s
Rys. 2.12. Przybliżenie drugiego rzędu
uk̷ladu [u], aby nowa oś v n ′ pokrywa̷la się z wektorem u∗ (zob. rys. 2.12). Transformacja
ortogonalna opisujaca ˛ to przekszta̷lcenie ma postać
V ′ = Q T U , (2.65)
gdzie Q jest macierza˛
transformacji n × n, której ostatnia˛
kolumna˛
jest wektor cosinusów
kierunkowych α, dany wzorem (2.51), a pozosta̷le kolumny tworzone sa˛
za pomoca˛
odpowiednich metod ortogonalizacji, np. metody Grama-Schmidta [41]. Powierzchnia
graniczna G(u) = 0 transformuje się na powierzchnię
G v ′(v ′ ) = 0 , (2.66)
dana˛
w uk̷ladzie wspó̷lrzędnych [v ′ ] = [ṽ ′ , v n ′ ] = [v′ 1 , v′ 2 , . . .,v′ n−1 , v′ n ]. Równanie (2.66)
rozwiazane ˛ względem v n ′ zapisać można jako
v n ′ = f v ′(ṽ′ ) . (2.67)
n−1
{ }} {
Punkt projektowy u ∗ transformuje się na punkt v ′∗ = Q T u ∗ = { 0, 0, . . ., 0, β}, gdzie
β jest wskaźnikiem niezawodności danym przez (2.52). Paraboliczna aproksymacja powierzchni
granicznej wokó̷l punktu v ′∗ ma postać
v n ′ = f v ′(ṽ ′ ) ≈ s v ′(ṽ ′ ) = β + 1 ∑n−1
n−1
∑ ∂ 2 f v ′(ṽ ′ )
∣
2 ∂v
iv
i ′ ∂v′ j =0v ′ ′ ∣ṽ′ j = β + 1 2ṽ′T Hṽ ′ , (2.68)
i=1
j=1