Praca - IPPT PAN

2.3. Metody wykorzystujace ˛ informacje o rozk̷ladach prawdopodobieństwa 45
gdzie X k sa˛
niezależnymi wektorami losowymi o rozk̷ladzie prawdopodobieństwa zdefiniowanym
funkcja˛
gęstości f X (x), a K jest liczba˛
symulacji. Wartość średnia oraz wariancja
estymatora (2.85) dane sa˛
jako
̂P 0 f = E[ ̂P f ] = 1 K
K∑
χ 0 Ω f
(X k ) = 1 K KP f = P f (2.86)
k=1
σ 2P f
= Var[ ̂P f ] = 1 K 2
K
∑
k=1
Wspó̷lczynnik zmienności estymatora ma postać
Var [ χ Ωf
(X k ) ] = 1 K 2KP f(1 − P f ) = 1 K P f(1 − P f ) (2.87)
νP f
= σP f
̂P 0 f
=
√
1 − P f
KP f
. (2.88)
Z powyższego wzoru wynika, że uzyskanie wspó̷lczynnika zmienności estymatora rzędu 0.1
przy przewidywanym prawdopodobieństwie awarii, które dla rzeczywistych konstrukcji
waha się w granicach 10 −7 ÷ 10 −4 , wymaga przeprowadzenia K = 10 6 ÷ 10 9 symulacji
co nawet przy wspó̷lczesnych komputerach wieloprocesorowych jest zadaniem ogromnym,
jeśli w ogóle wykonalnym w możliwym do zaakceptowania czasie.
Olbrzymi nak̷lad obliczeniowy zwiazany ˛ z klasyczna˛
metoda˛
Monte Carlo dyskwalifikuje
jej przydatność do analizy praktycznych problemów niezawodności konstrukcji. Dla niewielkich
zadań, gdy czas obliczenia wartości funkcji granicznej jest bardzo ma̷ly, metoda
ta może być stosowana do weryfikacji wyników otrzymanych przy użyciu FORM lub
SORM (np. wykrycia grubych b̷lędów wynikajacych ˛ z nieuwzględnienia wielokrotnych
punktów projektowych).
Przyk̷lad 2.7
Przyjmujac ˛ opis stochastyczny jak w przyk̷ladach 2.1 i 2.3 oraz zak̷ladaj ac, ˛ że mnożnik
obciażenia ˛ λ (zmienna losowa X 8 ) ma rozk̷lad Gumbela o odchyleniu standardowym
σ X8 = 0.2 przeprowadzono K = 600000 symulacji losowych. Do generacji wektora
zależnych zmiennych logarytmiczno-normalnych (opisujacych ˛ pola przekrojów prętów)
wykorzystano generator zależnych zmiennych gaussowskich po odpowiedniej modyfikacji
macierzy kowariancji, opisanej w pracy [30]. W tabeli poniżej przedstawiono wyniki
symulacji oraz odpowiadajace ˛ im wyniki FORM i SORM.
FORM SORM Monte Carlo
β 1.984 1.976 1.972
P f 0.0236 0.0240 0.0243
Wspó̷lczynnik zmienności estymatora prawdopodobieństwa awarii, obliczony na podstawie
wzoru (2.88) wynosi 0.008. ♦