Praca - IPPT PAN

2.3. Metody wykorzystujace ˛ informacje o rozk̷ladach prawdopodobieństwa 41
Wykorzystujac ˛ rozwinięcie w szereg Taylora funkcji ln Φ(−β − x) ≈ lnΦ(−β) − xψ(−β),
gdzie ψ(−β) = ϕ(−β)/Φ(−β), oszacowanie prawdopodobieństwa zniszczenia (2.74) dane
jest następujaco:
˛
P f2 ≈ Φ(−β)
= Φ(−β)
∫ ∞
−∞
∫ ∞
· · ·
−∞
exp
(− 1 n−1
2 ψ(−β) ∑
κ i v 2 i
) n−1
∏
} {{ }
i=1 i=1
n−1
n−1
∏
∫ ∞
1
(
√ exp − 1 (
2π 2 v2 i 1 + κi ψ(−β) )) dv i =
i=1
n−1
−∞
1
(
√ exp − 1 )
2π 2 v2 i dṽ =
∏[ = Φ(−β) 1 + κi ψ(−β) ] − 1 2
. (2.75)
i=1
W przypadku gdy β → ∞, ψ(−β) → β (zob. [10]), wzór (2.75) uprościć można do postaci
n−1
∏
P f2 ≈ Φ(−β) [1 + κ i β] −1 2 . (2.76)
Wskaźnik niezawodności odpowiadajacy ˛ prawdopodobieństwu zniszczenia P f2 wynosi
i=1
β SORM = −Φ −1 (P f2 ) . (2.77)
Aproksymacja funkcji granicznej paraboloida˛
pozwala wprowadzić wspó̷lczynnik poprawkowy
do oszacowania prawdopodobieństwa awarii (2.54). Uwzględnia on krzywizny powierzchni
granicznej w punkcie u ∗ . Wzory (2.75) i (2.76) moga˛
być stosowane przy za-
̷lożeniu, że odpowiednio κ i > −1/ψ(−β) oraz κ i > −1/β, i = 1, . . ., n − 1. Krzywizna
mniejsza niż −1/β jest nieakceptowalna, gdyż świadczy o istnieniu na powierzchni granicznej
w otoczeniu wyznaczonego punktu u ∗ innego punktu bliższego poczatkowi ˛ uk̷ladu
wspó̷lrzędnych.
Jak to zosta̷lo wcześniej pokazane, doprowadzenie macierzy hesjanu funkcji f v ′(ṽ ′ ) do postaci
diagonalnej wymaga rozwiazania ˛ zagadnienia w̷lasnego. W przypadku problemów
o dużej liczbie zmiennych losowych może być to zadanie wymagajace ˛ dużego nak̷ladu
obliczeń numerycznych. Der Kiureghian i in. w pracy [21] (zob. też [129]) zaproponowali
uproszczona˛
metodę aproksymacji drugiego rzędu, która nie wymaga rozwiazywania
˛
problemu w̷lasnego. Zak̷lada się w niej, że osie uk̷ladu [v ′ ] pokrywaja˛
się z kierunkami
g̷lównych krzywizn paraboloidy niezależnie od ich rzeczywistej orientacji. Krzywizny
potrzebne w oszacowaniu (2.75) uzyskuje się poprzez odpowiednia˛
konstrukcję paraboloidy,
dopasowanej do rzeczywistej powierzchni granicznej w punktach znajdujacych ˛ się w
pewnej odleg̷lości od punktu projektowego.
Przyk̷lad 2.5
Przyjmujac ˛ dane jak w przyk̷ladzie 2.3 policzono prawdopodobieństwo awarii wspornika
kratowego metoda˛
niezawodności drugiego rzędu. Na rysunku 2.13 przedstawiono porównanie
wyników otrzymanych przy za̷lożeniu rozk̷ladów normalnego i Gumbela mnożnika