Praca - IPPT PAN

2.3. Metody wykorzystujace ˛ informacje o rozk̷ladach prawdopodobieństwa 37
oraz parametry funkcji granicznej g. Jako zmienne projektowe zadania optymalizacji moga˛
być bowiem wybrane wartości średnie i odchylenia standardowe rozk̷ladów zmiennych
losowych, a także parametry deterministyczne nie wchodzace ˛ do opisu stochastycznego
konstrukcji.
Znajomość wrażliwości wskaźnika niezawodności może być również pomocna w optymalizacji
interaktywnej do prognozowania trendów procesu optymalizacji oraz we wstępnych
studiach przy budowaniu modelu stochastycznego. W celu lepszej interpretacji oraz porównania
wartości otrzymywanych wrażliwości wygodnie jest wprowadzić znormalizowana˛
miarę wrażliwości, tzw. elastyczność wskaźnika niezawodności (z ang. ‘elasticity of the
reliability index’, zob. [34,104]) postaci
S i = ∂β p i
∂p i β
i = 1, . . .,m θ + m η . (2.60)
S i można interpretować jako procentowa˛
zmianę β przy zmianie parametru p i o 1%.
Znajomość wektora elastyczności umożliwia ewentualna˛
redukcję liczby zmiennych losowych
przyjętych do opisu konstrukcji. Jeśli np. elastyczność wskaźnika niezawodności
ze względu na odchylenie standardowe zmiennej X i jest ma̷la w porównaniu do innych
elastyczności, to można uznać, iż wp̷lyw X i na wartość prawdopodobieństwa zniszczenia
jest niewielki i traktować ja˛
w kolejnych obliczeniach jako parametr deterministyczny.
Decyzję o redukcji modelu stochastycznego u̷latwić moga˛
także, zdefiniowane przez
Madsena [79], tzw. wspó̷lczynniki wrażliwości pominięcia (ang. omission sensitivity factors)
będace ˛ stosunkiem wskaźnika niezawodności obliczonego po zastapieniu ˛ niektórych
zmiennych losowych przez wartości deterministyczne do wskaźnika niezawodności obliczonego
dla wyjściowego modelu stochastycznego. W przypadku zmiennych niezależnych
wspó̷lczynnik wrażliwości pominięcia ma postać
γ i (x d i ) =
β ∣ ∣
Xi =x d i
β
≈ β − α iΦ −1[ F Xi (x d i ) ]
β √ 1 − α 2 i
, (2.61)
gdzie β ∣ Xi
oznacza wartość wskaźnika β otrzymana˛
po zastapieniu ˛ zmiennej losowej
=x d i
X i wartościa˛
deterministyczna˛
x d i .
Przyk̷lad 2.4
Dla danych jak z przyk̷ladu 2.1 (funkcja graniczna (2.15)) oraz przy za̷lożeniu rozk̷ladu
logarytmiczno-normalnego dla pól przekrojów oraz Gumbela dla mnożnika obciażenia
˛
wskaźnik niezawodności i odpowiadajace ˛ mu prawdopodobieństwo awarii wynosza˛
β = 1.984499 , P f = 0.02360002 , (2.62)
natomiast wektor α, oraz wektory wrażliwości oraz elastyczności na odchylenia standar-