Praca - IPPT PAN

2.3. Metody wykorzystujace ˛ informacje o rozk̷ladach prawdopodobieństwa 47
szym zadaniem jest teraz wybranie takiej funkcji g W (·), która maksymalizowa̷laby efektywność
estymatora (2.92). Powinna ona spe̷lniać następujace ˛ warunki (zob. [29]):
∫
g W (w) dw = 1 , (2.93)
∆ f
g W (w) = ζ ϕ n (w,0, I) χ ∆f
(w) prawie w ca̷lym obszarze ∆ f , (2.94)
gdzie ζ jest liczba˛
rzeczywista. ˛ Wynika stad, ˛ iż gęstość rozk̷ladu prawdopodobieństwa
wektora W powinna koncentrować się w otoczeniu punktu, wokó̷l którego skupia się
przeważajaca ˛ część masy prawdopodobieństwa decydujaca ˛ o wartości P f . Często jako
funkcję g W (·) przyjmuje się n-wymiarowa˛
gaussowska˛
funkcję gęstości prawdopodobieństwa,
‘rozpięta’ ˛ nad punktem projektowym u ∗ , postaci
g W (w) = ϕ n (w, u ∗ , I) =
Estymator prawdopodobieństwa awarii zapisać można wtedy jako
̂P f = 1 K
K∑
k=1
n∏
ϕ(w i − u ∗ i ) . (2.95)
i=1
χ ∆f
(W k ) ϕ n(W k ,0, I)
ϕ n (W k , u ∗ , I) . (2.96)
Takie rozwiazanie ˛ zwiększa znacznie efektywność estymacji, ciagle ˛ jednak konieczne jest
przeprowadzenie kilku tysięcy symulacji. Dalsza˛
poprawę efektywności można uzyskać
uwzględniajac ˛ w̷lasności funkcji granicznej przy określaniu funkcji gęstości g W (·). Wprowadzajac,
˛ tak jak to by̷lo zrobione przy wyprowadzaniu wzorów metody drugiego rzędu
(zob. punkt 2.3.4), uk̷lad wspó̷lrzędnych [v], prawdopodobieństwo awarii można wyrazić
w postaci (por. (2.74))
∫
P f = P[G v (V ) ≤ 0] = P[V n ≥ f v (Ṽ )] = ϕ(v n )ϕ n−1 (ṽ,0, I) dv =
v
∫ n≥f v(ṽ)
∞ ∫ ∞
= · · · Φ ( −f v (ṽ) ) [ (
ϕ n−1 (ṽ,0, I) dṽ = EṼ Φ −fv (Ṽ ))] . (2.97)
−∞ −∞
} {{ }
n−1
Z porównania wzorów (2.97) i (2.89) widać, że do oszacowania prawdopodobieństwa
awarii, P f , wykorzystać można estymator wartości średniej, postaci
̂P f = 1 K
K∑
k=1
Φ ( −f v (Ṽ k) ) ϕ n−1 (Ṽ k,0, I)
g W (Ṽ k)
, (2.98)
gdzie g W (·) jest (n−1) wymiarowa˛
funkcja˛
gęstości rozk̷ladu prawdopodobieństwa, której
postać i parametry należy tak dobrać, aby efektywność estymacji by̷la jak największa.
Przyjęcie gaussowskiego rozk̷ladu prawdopodobieństwa
g W (w) = ϕ n−1 (w,0,Σ) =
n−1
∏
i=1
1
( wi
)
ϕ , (2.99)
σ i σ i