Praca - IPPT PAN

2.2. Wybrane miary niezawodności 23
oczywista˛
konsekwencja˛
linearyzacji funkcji granicznej w punkcie X 0 , gdzie g(X 0 ) ≠ 0.
Niejednoznaczności tej unika się przyjmujac ˛ definicję wskaźnika niezawodności zaproponowana˛
przez Hasofera i Linda (patrz punkt 2.2.3).
2.2.2. Wskaźnik niezawodności Cornella a metoda stochastycznych elementów
skończonych
Po przedstawieniu metody obliczania wskaźnika niezawodności Cornella, a przed zdefiniowaniem
wskaźnika Hasofera-Linda warto jest wspomnieć o sposobach obliczania prawdopodobieństwa
awarii przy użyciu metody stochastycznych elementów skończonych. Dodatkowa˛
motywacja˛
do poruszenia tego tematu jest to, iż program PSAP-T-NL posiada
zaimplementowany przez T.D. Hiena modu̷l metody stochastycznych elementów skończonych
(ang. skrót SFEM). Ideę SFEM w ujęciu perturbacyjnym (zob. [65]) zaprezentować
można wychodzac ˛ od równania metody elementów skończonych dla liniowej statyki
K(X) q(X) = Q(X) , (2.19)
gdzie K, q i Q sa˛
odpowiednio: macierza˛
sztywności konstrukcji, wektorem uogólnionych
przemieszczeń oraz wektorem obciażeń ˛ węz̷lowych. W równaniu (2.19) zaznaczono zależność
wszystkich występujacych ˛ w nim wyrazów od wektora zmiennych losowych X =
{X i }, i = 1, . . ., n. Należy jednak podkreślić, że K oraz Q zależa˛
od wektora X w sposób
jawny, natomiast q jako rozwiazanie ˛ uk̷ladu (2.19) jest niejawna˛
funkcja˛
X. Rozwijajac
˛
macierz K oraz wektory Q i q w szereg Taylora wokó̷l wartości średnich zmiennych
losowych oraz zachowujac ˛ wyrazy rozwinięcia do drugiego rzędu w̷l acznie ˛ i stosujac ˛ regu̷lę
sumacyjna˛
względem powtarzajacych ˛ się indeksów, dostajemy
K(X) = K(X 0 ) + ∂K ∣
∣∣x=X
∂x ∆X i + 1 ∂ 2 K
∣
∣∣x=X
0 i 2 ∂x i ∂x ∆X i∆X
0 j ,
j
Q(X) = Q(X 0 ) + ∂Q ∣
∣∣x=X
∂x ∆X i + 1 ∂ 2 Q
∣
∣∣x=X
0 i 2 ∂x i ∂x ∆X i∆X
0 j ,
j
q(X) = q(X 0 ) + ∂q ∣
∣∣x=X
∂x ∆X i + 1 ∂ 2 q
∣
∣∣x=X
0 i 2 ∂x i ∂x ∆X i∆X
0 j ,
j
(2.20a)
(2.20b)
(2.20c)
gdzie ∆X i = X i − Xi 0. Podstawiaj ac ˛ powyższe rozwinięcia do (2.19) i grupujac ˛ wyrazy
tych samych rzędów uzyskuje się następujace ˛ równania:
• równanie zerowego rzędu: jeden uk̷lad równań liniowych na q(X 0 )
K(X 0 ) q(X 0 ) = Q(X 0 ) , (2.21)
• równania pierwszego rzędu: n uk̷ladów równań liniowych na ∂q/∂x i , i = 1, . . .,n
K(X 0 ) ∂q
∂x i
∣
∣∣x=X
0 = ∂Q
∂x i
∣
∣∣x=X
0 − ∂K
∂x i
∣
∣∣x=X
0 q(X0 ) , (2.22)