Praca - IPPT PAN

2.2. Wybrane miary niezawodności 25
Skrót SFEM w powyższym oznaczeniu s̷luży podkreśleniu, że βC
SFEM jest ‘mutacja’ ˛ wskaźnika
Cornella uzyskana˛
przy pomocy metody stochastycznych elementów skończonych.
Tak zdefiniowana miara niezawodności wymaga jednak krytycznej oceny:
• metoda perturbacji drugiego rzędu zastosowana do otrzymania wyrażeń na wielkości
średnie oraz macierz kowariancji wektora uogólnionych przemieszczeń jest wystarczajacym
˛ przybliżeniem jedynie w przypadku ma̷lych wspó̷lczynników zmienności
zmiennych losowych X (przyjmuje się, że max ν < 20%).
• wskaźnik (2.29) 1 posiada wszystkie wady wskaźnika niezawodności Cornella: nieinwariantość
w przypadku równoważnych sformu̷lowań powierzchni granicznej, nie
uwzględnianie informacji o typach rozk̷ladów zmiennych losowych (zak̷ladanie normalności
zmiennych X, q oraz g(q)).
• ciagle ˛ jeszcze nie ma zbyt wielu komercyjnych pakietów SFEM. Zak̷ladaj ac, ˛ że
mamy taki program do dyspozycji i nie mamy dostępu do jego wersji źród̷lowej
trudno wyobrazić sobie sytuację, iż program ten nie dostarcza informacji na temat
pochodnych ∂q(X)/∂x i umożliwiajac ˛ policzenie wskaźnika Cornella bezpośrednio
ze wzoru (2.14). Udogodnienie wynikajace ˛ z ̷latwego policzenia występujacego ˛ we
wzorze (2.28) gradientu ∇g(q) ∣ q=q 0
(g jest jawna˛
funkcja˛
q) jest w rzeczywistości
ma̷lo istotne.
Z innych pomys̷lów na wykorzystanie SFEM w analizie niezawodności konstrukcji warto
wspomnieć zaprezentowana˛
w pracy [91] tzw. metodę W-SOTM (Weibull-Second-Order
and Three-Moment method). Zak̷lada się w niej znajomość trzech momentów statystycznych
zmiennych losowych (wartości średnich, wariancji oraz skośności) oraz podobnie jak
w SFEM rozwija się funkcję graniczna˛
wokó̷l wartości średnich w szereg Taylora do drugiego
rzędu w̷l acznie. ˛ Po obliczeniu wektora przemieszczeń oraz wrażliwości przemieszczeń
pierwszego i drugiego rzędu otrzymuje się wartość średnia, ˛ wariancję oraz skośność odstępu
bezpieczeństwa Y = g(X). Przyjmujac, ˛ że Y ma rozk̷lad Weibulla (por. dodatek C)
prawdopodobieństwo zniszczenia obliczane jest z dystrybuanty (C.24) tego rozk̷ladu jako
P f = F Y (0). Możliwość lepszej reprezentacji zmiennych losowych o różnych rozk̷ladach
prawdopodobieństwa dostaje się jednak kosztem dok̷ladniejszej informacji statystycznej
oraz konieczności obliczania wrażliwości drugiego rzędu.
2.2.3. Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda
Wskaźnik niezawodności (2.5) oraz wskaźnik Cornella (2.14) w przypadku zmiennych
niezależnych (macierz C X diagonalna) maja˛
prosta˛
interpretację geometryczna. ˛ Wracajac
˛
do przedstawionego w punkcie 2.1 przyk̷ladu pręta rozciaganego ˛ i wprowadzajac ˛ nowe
zmienne standaryzowane U R oraz U S , zdefiniowane jako
powierzchnia graniczna (2.3) przybiera postać
U R = X R − X 0 R
σ XR
, U S = X S − X 0 S
σ XS
, (2.30)
G(U R , U S ) = U R σ XR − U S σ XS + (X 0 R − X0 S ) , (2.31)