Praca - IPPT PAN

2.2. Wybrane miary niezawodności 27
odleg̷lość od poczatku ˛ uk̷ladu oraz wskaźnik β maja˛
postać
δ ∗ = |a 0|
√
aT a , β = sign[l(0)]δ∗ . (2.36)
Z powyższej definicji wynika, że β > 0 wtedy gdy g(X 0 ) > 0.
Zaprezentowana analogia geometryczna wykorzystana zosta̷la w definicji wskaźnika niezawodności
Hasofera i Linda [53]. Pokazali oni, że problem braku niezmienniczości, charakterystyczny
dla wskaźnika Cornella, może być rozwiazany ˛ przez rozwinięcie funkcji g(X)
w szereg Taylora wokó̷l punktu leżacego ˛ na powierzchni granicznej. Ponieważ alternatywnym
sformu̷lowaniom funkcji granicznych odpowiada ta sama powierzchnia graniczna,
to linearyzacja pozostaje niezmiennicza w stosunku do równoważnych sformu̷lowań. Jako
punkt linearyzacji wybrano punkt leżacy ˛ najbliżej poczatku ˛ uk̷ladu wspó̷lrzędnych
w gaussowskiej przestrzeni standardowej U. W przypadku znajomości jedynie wektora
wartości średnich oraz macierzy kowariancji (2.9) transformacja z przestrzeni X do U ma
postać (por. [28])
U = L −1 D −1 (X − X 0 ) , (2.37)
gdzie D = ⌈σ Xi ⌋ jest macierza˛
diagonalna˛
z odchyleniami standardowymi zmiennych
losowych na przekatnej, ˛ a L jest macierza˛
trójkatn ˛ a˛
dolna˛
otrzymana˛
z dekompozycji
Cholesky’ego (zob. [41]) macierzy wspó̷lczynników korelacji ρ = ρ ij taka, ˛ że ρ = LL T .
Punkt linearyzacji nazywany jest punktem projektowym (ang. design point) i oznaczany
jest jako u ∗ , a w przestrzeni X jako x ∗ . Ze względu na osiowa˛
symetrię przestrzeni U jest
to punkt, któremu odpowiada największa wartość funkcji gęstości prawdopodobieństwa
spośród punktów leżacych ˛ w obszarze awarii (zob. rys. 2.7), co t̷lumaczy wybór w̷laśnie
tego punktu do linearyzacji. Definiuje się go następujaco:
˛
‖u ∗ ‖ = min
G(u)=0 ‖u‖ = δ∗ , (2.38)
gdzie G(U) = g(X 0 + DLU) jest przetransformowana˛
do przestrzeni U funkcja˛
graniczna,
˛ a ‖·‖ norma˛
euklidesowa. ˛ Korzystajac ˛ z powyższej definicji oraz przedstawionej
wcześniej analogii geometrycznej wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda dany jest jako
β = sign[G(0)] δ ∗ . (2.39)
Prawdopodobieństwo zniszczenia stowarzyszone ze wskaźnikiem (2.39) wynosi
P f = Φ(−β) . (2.40)
Wskaźnik Hasofera-Linda oznaczany jest czasami w literaturze przez β FOSM , gdzie FOSM
jest skrótem angielskiej nazwy First-Order, Second-Moment. Znalezienie punktu projektowego
u ∗ jest zadaniem programowania nieliniowego z ograniczeniami. W wykorzystywanym
w pracy pakiecie analizy niezawodności COMREL [12] do lokalizacji punktu projektowego
używany jest, omówiony w dodatku A.2, algorytm Abdo-Rackwitza-Fiesslera [1].