Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Regel 2) følger af højrehåndsreglen; bytter man om på rækkefølgen af a og b , så
skal højre hånd også vendes om, hvilket betyder, at tommelfingeren kommer til at pege
i den modsatte retning.
Ved beviset for regel 3) starter man med at observere, længderne af de indgående
vektorer er ens. Man skal da blot undersøge retningerne, og her skal man dele op i tre
tilfælde: k > 0 , k = 0 , k < 0 .
Når k er positiv, så bliver den ene af vektorerne k gange længere, hvilket gør længden
af krydsproduktet k gange længere; men alle retninger forbliver uændrede.
Når k er nul, så bliver en af faktorerne i krydsproduktet nulvektoren, og dette gør
naturligvis resultatet til nulvektoren.
Når k er negativ, så ændres retningen af en af vektorerne til den modsatte, hvilket
ændrer omløbsretningen af faktorerne. Højre hånd skal da vendes på hovedet, hvilket
igen ændrer retningen af krydsproduktet.
Reglerne 4) og 5) er temmeligt komplicerede at bevise, så vi nøjes med at give et
overbevisende eksempel nedenunder.
Eksempel
Vi vil vise, at
i × ( j + k) = i × j + i × k .
Højresiden er en smal sag at udregne, idet vi har sætning 12:
i × j + i × k = k + ( − j) = − j + k
Længden af denne vektor er
⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ 2 2 2
− j + k = ⎜−1⎟
= 0 + ( − 1) + 1 = 2 .
⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠
Venstresiden er værre; vi har
⎛ ⎞
⎜ ⎟
j + k = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
0 0 ⎛0⎞
⎜ ⎟
1 0 ⎜1⎟
⎜ ⎟
0 1 ⎝1⎠
hvilket giver
2 2 2
j + k = 0 + 1 + 1 = 2
Vi betegner vinklen mellem i og
j + k med v. Idet
i ⋅ ( j + k) = i ⋅ j + i ⋅ k = 0 + 0 = 0
er v = 90 ° , og faktorerne i krydsproduktet på venstresiden er orthogonale. Derfor
fås
i × ( j + k) = i j + k sin90°= 1⋅ 2 ⋅ 1= 2 .
10